2026年中考数学二轮信息必刷卷01（无锡专用）

这是一份2026年中考数学二轮信息必刷卷01（无锡专用），共30页。试卷主要包含了下列因式分解中，完全正确的是等内容，欢迎下载使用。
考情速递
中考・新动向：命题重基础且全覆盖核心考点，相反数、科学记数法等基础知识点以选择填空基础题呈现，同时实现轻综合，如第 9 题将反比例函数 k 的几何意义与三角形中位线、等腰三角形性质结合；题目梯度鲜明，选择填空从纯基础（1-5题、11-14题）过渡到基础综合（6-10题、15-18题），解答题按“计算—证明—应用—压轴” 排布，压轴题多小问设计降低入口难度；新定义成创新载体，第10题“对偶关系”、第28题“对称四边形”，以核心知识为基底考查阅读理解与知识迁移能力。
中考・新考法：常规考点跨模块融合，第 16 题圆的切线性质结合等腰三角形、解直角三角形，第 18 题平行四边形融合折叠性质与勾股定理，打破知识壁垒；经典题型设问创新，第 7 题因式分解考查分解完整性，第 24 题尺规作图要求作出满足 “DE=CF” 的点，实现 “作图+推理+计算” 融合；压轴题叠加考点与思想，27 题二次函数结合相似、等腰直角三角形，28 题新定义四边形融合全等、解直角三角形，考查数形结合、分类讨论思想。
中考・新情境：生活实际情境深度融入，第 8 题轮船航行考分式方程应用，第 26 题围墙测高考相似三角形应用，要求提取信息建立数学模型；几何操作情境贴合新课标，第 18 题平行四边形折叠、第 24 题正方形尺规作图，强调 “操作—推理—计算” 闭环；学科内创新情境灵活多变，紧扣新定义将函数、四边形知识转化为常规问题求解，考查学生应变能力。
命题・大预测：①基础知识点必考且形式灵活，需夯实基础，强化变式训练，保证基础题不丢分；② 几何综合题持续融合多定理，突出投影、角平分线全等模型，需梳理定理联系，总结模型解法；③ 新定义题型成热点，均基于教材核心，需掌握 “理解定义—转化知识—推导求解”步骤；④函数综合题聚焦数形结合，结合几何存在性、最值考查，需强化函数与几何转化训练；⑤ 实际应用题侧重建模，需提升信息提取能力，熟练掌握各类应用题解题思路；⑥尺规作图与几何操作题持续创新，需夯实基本作图方法，强化操作后的推理计算。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．2026的相反数是（ ）
A．﹣2026B．2026C．12026D．−12026
【答案】A
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：2026的相反数是﹣2026．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．将数据﹣970000用科学记数法表示为（ ）
A．9.7×105B．0.97×106C．﹣9.7×105D．﹣0.97×104
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：﹣970000＝﹣9.7×105．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．（a3）3＝a9D．a2+a2＝a4
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、a2⋅a3＝a5，故该选项错误；
B、a3÷a＝a2，故该选项错误；
C、（a3）3＝a9，故该选项正确；
D、a2+a2＝2a2，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（ ）
A．75B．80C．85D．90
【答案】B
【分析】先根据算术平均数的定义求出被污损的数据，然后根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答．
【详解】解：∵该组数据的平均数为82，
设被污损的数据为x，
∴（75+80+85+90+x）÷5＝82，
解得x＝80，
∴这组数据为：75，80，85，90，80，
∵80出现的次数最多，
∴这组数据的众数为80．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平均数以及众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若∠B＝36°，则∠ADE的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．144°
【答案】A
【分析】由三角形中位线定理推出DE∥BC，得到∠ADE＝∠B＝36°．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝36°．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边．
6．半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．6π
【答案】A
【分析】利用弧长公式求解．
【详解】解：半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为：60π×6180=2π．
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180．
7．下列因式分解中，完全正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1）B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2
【答案】D
【分析】先分解每一个整式，根据分解结果得结论．
【详解】解：A．x2﹣1还能分解，故选项A因式分解不正确；
B．整式B应该用完全平方公式分解，故选项B因式分解错误；
C．原整式C二项，不能用完全平方公式分解，故选项C因式分解错误；
D．整式D因式分解正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法等知识点是解决本题的关键．
8．安江镇一艘轮船在静水中最大航速为30km/h，它以最大航速沿沅江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则方程为（ ）
A．100v+30=60v−30B．10030−v=6030+v
C．10030+v=6030−vD．100v−30=60v+30
【答案】C
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行100km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，根据此等量关系列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：10030+v=6030−v，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，列出方程．
9．如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，点C，点D分别为OA、OB的中点，连接CD，点E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，若△ABE的面积为4，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣8C．﹣6D．12
【答案】B
【分析】过点A作AH⊥x轴交于点H，根据三角形中位线的性质求出S△AOB的值，根据等腰三角形的性质求出S△AHO的值，利用反比例函数中k的几何意义，求出k的值即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥x轴交于点H，
由题可知：点C，点D分别为OA、OB的中点，
∴CD是△ABO的中位线，
点E在线段CD上，
∴S△AOB＝2S△ABE＝8，
∵AO＝AB，
∴△AOB是等腰三角形，AH⊥x轴，
∴AH是△AOB的中线，
S△AOH=12S△AOB＝4，
设A（x，y），
S△AOH=12|x|×|y|＝4，
根据图象，x＜0，y＞0，
∴x•y＝﹣8，
点A在反比例函数上，
∴k＝﹣8．
故选：B．
【点睛】本题以反比例函数为背景考查了反比例中k值得几何意义，考查学生对反比例函数和三角形性质的综合运用．本题利用三角形的性质求出点A坐标中横纵坐标的乘积是解决问题的关键．
若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4不具有“对偶关系”；
②函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4的“对偶值”为6；
③若函数y1＝kx﹣2与函数y2=4x的“对偶值”为2，则k＝2；
④若函数y1=−2x+b(−2≤x≤−12)与函数y2=2x(x＞0)具有“对偶关系”，则﹣3≤b≤3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据P、Q关于y轴对称，称函数y1和y2具有“对偶关系”，则P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可．
【详解】解：①设函数y1＝2x+2上点P坐标轴为（m，2m+2），
∵P、Q关于y轴对称，
∴Q点坐标为（﹣m，m+4），
若点P或点Q的纵坐标相等，
∴2m+2＝m+4，
解得：m＝2，
则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称，
∴函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4具有“对偶关系”；
故①错误，不符合题意；
②当y1＝y2＝6时，则2x+2＝6，
解得x＝2；
﹣x+4＝6，解得x＝﹣2；
横坐标是相反数，
故②正确，符合题意；
③当y1＝y2＝2时，则4x=2，
解得x＝2，
把x＝﹣2，y＝2代入y1＝kx﹣2得：2＝﹣2k﹣2，解得k＝﹣2，
故③错误，不符合题意；
④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为（﹣m，−2m），
∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，
∴﹣2m+b=−2m，
整理得b＝2m−2m，
∵﹣2≤m≤−12，对于函数b＝2m−2m，b随m的增大而增大，
当m＝﹣2时，b＝2×（﹣2）−2−2=−4+1＝﹣3，
当m=−12时，b＝2×(−12)−2−12=−1+4＝3，
∴﹣3≤b≤3，
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查新定义题型，涉及反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征及性质、轴对称的性质等内容，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分;第18题第一个空1分，第二个空2分.）
11．计算：9−|−2|= ．
【答案】1
【分析】先计算算术平方根和绝对值，再计算加减．
【解答】解：9−|−2|
＝3﹣2
＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
12．在函数y=2x−3中，自变量x的取值范围为 ．
【答案】x≠3
【分析】根据分母不为0可得x﹣3≠0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
13．若5amb4与﹣4a3bn+2是同类项，则m+n的值为 ．
【答案】5
【分析】根据同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项求得m、n值，进而代入求解即可．
【详解】解：∵5amb4与﹣4a3bn+2是同类项，
∴m＝3，4＝n+2，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n＝3+2＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查同类项、代数式求值，理解同类项的概念，并正确求得m、n值是解答的关键．
14．命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是 命题．（填“真”“假”）
【答案】假
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了命题和定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
15．正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正 边形．
【答案】八
【分析】求出正多边形的一个外角为45°，设该多边形的边数为n，根据多边形的外角和为360°，列出方程，即可解决问题．
【详解】解：∵正多边形的一个内角等于135°，
∴正多边形的一个外角＝180°﹣135°＝45°，
设该多边形的边数为n，
由题意得：45°n＝360°，
解得：n＝8，
故答案为：八．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和为360°是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB＝4，tan∠CAB＝2，则切线DE的长为 ．
【答案】4
【分析】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，推导出OD∥AC，则∠DOE＝∠CAB，由切线的性质得∠ODE＝90°，而AB＝4，tan∠CAB＝2，则OD=12AB＝2，DEOD=tan∠DOE＝tan∠CAB＝2，求得DE＝2OD＝4，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠DOE＝∠CAB，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵AB＝4，tan∠CAB＝2，
∴OD=12AB＝2，DEOD=tan∠DOE＝tan∠CAB＝2，
∴DE＝2OD＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的性质、解直角三角形等知识，推导出OD∥AC是解题的关键．
17．如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 m．
【答案】24
【分析】 根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG＝GM＝2m，同理可证出AF＝EF＝2m，再根据AB＝BG+GF+AF，求出AB的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF，
∴∠BMG＝∠BGM＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG＝GM＝2m，
同理可证：AF＝EF＝2m，
∴AB＝BG+GF+AF＝2×3＝6（m），
∴扩建后菱形区域的周长为6×4＝24（m），
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝9，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，AD与BE交于点F，F恰好为AD的中点，则BF＝ ；△BDE与平行四边形ABCD重叠部分的面积为 ．
【答案】92；72
【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝9，再由平行线的性质和折叠的性质可证明∠ADB＝∠EBD，则FB＝DF，再根据线段中点的定义可得BF=DF=AF=12AD=92，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明∠ABD＝90°，利用勾股定理求出BD，再根据重叠部分的面积为△BDF的面积，即△ABD面积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝9，
∴∠ADB＝∠CBD，
由折叠的性质可得∠EBD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴FB＝DF，
∵F恰好为AD的中点，
∴BF=DF=AF=12AD=92，
∴∠FAB＝∠FBA，∠FBD＝∠FDB，
∵∠FAB+∠FBA+∠FBD+∠FDB＝180°，
∴∠FBA+∠FBD＝90°，即∠ABD＝90°，
∴BD=AD2−AB2=42，
∴S△BDF=12S△ABD=12×12AB⋅BD=14×7×42=72，
∴△BDE与平行四边形ABCD重叠部分的面积为72，
故答案为：92；72．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等等，掌握平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；
（2）解不等式组：2x+3≤3x−4x−13＜1．
【分析】（1）根据配方法求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
x−2=±5，
x1=5+2，x2=−5+2；
（2）2x+3≤3①x−4x−13＜1②．
由①得：x≤0；
由②得：x＞﹣2．
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，注意正确计算．
20．（5分）先化简，再求值：(a−1+a+3a+2)÷a2−1a+2，其中a＝2．
【分析】先根据分式的混合运算，结合因式分解化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：原式=[(a+2)(a−1)a+2+a+3a+2]÷a2−1a+2
=(a2+a−2a+2+a+3a+2)⋅a+2(a+1)(a−1)
=a2+2a+1a+2⋅a+2(a+1)(a−1)
=(a+1)2a+2⋅a+2(a+1)(a−1)
=a+1a−1，
当a＝2时，原式=2+12−1=3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝DF．
（2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长．
【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△DFA即可得出结论；
（2）根据（1）全等可知AE＝AD，根据矩形的性质，可知BC＝AD，∠B＝90°，设BC＝x，则AB2+BE2＝AE2，求解关于x的方程即可．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠BEA．
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°＝∠B．
在△ABE和△DFA中，
∠B=∠DFA∠BEA=∠FADAE=DA，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF；
（2）解：∵△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠B＝90°，
设BC＝x，
则AB2+BE2＝AE2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝10，
∴BC＝10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△ABE≌△DFA是解题的关键．
22．（9分）小亮和父母计划寒假期间从A：无锡鼋头渚、B：南京中山陵、C：连云港花果山、D：苏州拙政园这4个景点中随机选择景点游玩．
（1）若小亮一家从中随机选择一个景点游玩，则选中A：无锡鼋头渚的概率为 ；
（2）若小亮一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）求选中A、C两个景点的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中A、C两个景点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）∵共有4个风景名胜区，分别是A：无锡鼋头渚、B：南京中山陵、C：连云港花果山、D：苏州拙政园，
∴选中A：无锡鼋头渚的概率为14，
故答案为：14；
（2）用表格列出所有可能的结果：
共有12种等可能的结果，其中选择A、C两个景点的有2种，
选中A、C两个景点的概率是212=16．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2026年3月围绕“你最喜欢的体育运动项目（只写一项）”这一问题，对初一学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该市2026年约有初一学生20000人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有多少人？
【分析】（1）用健身操的人数除以其占总人数的百分比即可求解；
（2）先求得足球人数所占比例，再根据百分比之和为1得出篮球的百分比，总人数乘以其百分比求得人数即可补全图形；
（3）总人数20000乘以样本中足球所占的百分比即可求解．
【详解】解：（1）100÷20%＝500（人），
答：本次抽样调查的样本容量是500．
（2）解：足球所占的百分比：60500×100%=12%，
篮球的人数：500×（1﹣20%﹣19%﹣12%﹣20%）＝145（人），
补全图形如下：
（3）解：根据题意得：20000×12%＝2400（人），
答：全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有2400人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是结合两种统计图，对照统计图中各已知量，分析要求解的量．
24．（10分）已知：如图，BD为正方形ABCD的对角线．
（1）在BD上求作一点E，过点E作EF⊥BD，交DC于点F，使得DE＝CF；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知AB＝2，求DF的长．
【分析】（1）作∠CBD的平分线，交CD于点F，再过点F作FE⊥BD于点E，则点E即为所求．
（2）由正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝2，∠C＝90°，∠CDB＝45°，则BD=22.证明Rt△BCF≌Rt△BEF，可得BE＝BC＝2，则DE＝BD﹣BE=22−2，进而可得DF=2DE=4−22．
【详解】解：（1）如图，作∠CBD的平分线，交CD于点F，再过点F作FE⊥BD于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CDB＝45°，∠C＝90°，
∴DE＝EF，EF＝CF，
∴DE＝CF，
则点E即为所求．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠C＝90°，∠CDB＝45°，
∴BD=22．
由（1）知，EF＝CF，∠BEF＝∠C＝90°，
∵BF＝BF，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴BE＝BC＝2，
∴DE＝BD﹣BE=22−2，
∴DF=2DE=4−22．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆O交AB于点D，E是AC中点，射线DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是半圆O的切线；
（2）若BC＝12，tanA＝2，求线段DF的长．
【分析】（1）连接OD，CD，根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO＝90°，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）根据∠A+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°，可得∠A＝∠BCD，tan∠BCD＝tanA＝2，即BDCD=2，证明△FBD∽△FDC，得DFCF=BFDF=BDCD=2，DF2＝CF•BF，设CF＝x，则DF＝2x，可得（2x）2＝x•（x+12），解得x＝4，可得DF＝8．
【详解】（1）证明：连接OD，CD，
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=12AC=CE．
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°；
即OD⊥DF，
∵OD是半径，
∴DF是半圆O的切线；
（2）解：∵∠A+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴tan∠BCD＝tanA＝2，
即BDCD=2，
∵∠DBC+∠OCD＝90°，∠FDC+∠ODC＝90°，∠ODC＝∠OCD，
∴∠DBC＝∠FDC，
又∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDC．
∴DFCF=BFDF=BDCD=2，
∴，DF2＝CF•BF，
设CF＝x，则DF＝2x，
∵BC＝12，
∴BF＝x+12，
∴（2x）2＝x•（x+12），
解得x1＝4，x2＝﹣4（舍），
∴DF＝2x＝8．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，勾股定理，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．（10分）根据以下材料，完成探究任务．
【分析】（1）先证明△EOD∽△EBA，根据相似三角形的性质得1.2AB=0.80.8+OB①，再证明△FOC∽△FBA，根据相似三角形的性质得到1.8+1.2AB=66+OB②，则解①②组成的方程组得OB＝1.8，AB＝3.9，接着证明△EOD∽△EBA，根据相似三角形的性质得到EDEA=ODAB=413，利用比例的性质得到ADAE=913，然后证明△ADN∽△AEF，根据相似三角形的性质得DN6−0.8=913，从而可求出DN的长；
（2）由（1）得AB和OB的长．
【详解】解：（1）∵OD∥AB，
∴△EOD∽△EBA，
∴ODAB=OEEB，
即1.2AB=0.80.8+OB①，
∵CO∥AB，
∴△FOC∽△FBA，
∴COAB=FOFB，
即1.8+1.2AB=66+OB②，
解由①②组成的方程组得OB＝1.8，AB＝3.9，
∵△EOD∽△EBA，
∴EDEA=ODAB=，
∴ADAE=913，
∵DN∥OF，
∴△ADN∽△AEF，
∴DNEF=ADAE，
即DN6−0.8=913，
解得DN＝3.6，
答：DN的长为3.6m；
（2）由（1）得AB的长为3.9m，OB的长为1.8m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
27．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−12x2+2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．连接AB，AC，点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若点P的横坐标为m，用含m的式子表示DG的长，并写出m的取值范围；
（3）如图2，当点P的坐标为（5，72）时，若点M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，在点M运动时，抛物线上存在一点R，使得△ARS为等腰直角三角形，请求出此时点R的坐标．
【分析】（1）在解析式中，令x＝0，可求得点A的坐标；令y＝0，解一元二次方程则可求得点B、C的坐标；
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，则易得DH＝PH，由点P的坐标则可求得DH，易得△ABO∽△PGH，则可得GH，由DG＝DH﹣GH即可求解； （3）当A为直角顶点时，则AR＝AS，过点R、S作y轴的垂线，垂足分别为H、Q，则可得Rt△RHA≌Rt△SQA；求出直线AC解析式为y＝﹣x+6，设S（a，﹣a+6），则可得点R的坐标，由点R在抛物线上可求得a的值，从而求得点R的坐标；作点A关于对称轴的对称点R1，则此点也满足题意，此时点R或点S为直角顶点．
【详解】解：（1）令x＝0，得y＝6，即点A的坐标为（0，6）；
令y＝0，即−12x2+2x+6=0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴点B、C坐标分别为（﹣2，0），（6，0）；
即点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（﹣2，0）、（6，0）；
（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵A、C的坐标分别为（0，6）、（6，0），B（﹣2，0），
∴OA＝OC＝6，OB＝2，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°；
∵PD⊥AC，
∴∠PDC＝90°﹣∠OCA＝45°，
∴∠DPH＝∠PDC＝45°，
∴DH＝PH，
∵点P的横坐标为m，且在抛物线上，
∴P(m，−12m2+2m+6)，
∵点P在抛物线y=−12x2+2x+6对称轴右侧第一象限，其对称轴为直线x＝2，
∴2＜m＜6，−12m2+2m+6＞0，
∴DH=PH=−12m2+2m+6，
∵PG∥AB，
∴∠ABO＝∠PGH，
∵∠AOB＝∠PHG＝90°，
∴△ABO∽△PGH，
∴PHGH=OAOB=3，
∴GH=13PH，
∴DG=DH−GH=PH−13PH=23PH，
即DG=23(−12m2+2m+6)=−13m2+43m+4，
∴DG=−13m2+43m+4，且2＜m＜6；
（3）当A为直角顶点时，则AR＝AS，∠RAS＝90°，
如图，过点R、S作y轴的垂线，垂足分别为H、Q，
∵∠OAC＝45°，
∴∠RAH＝180°﹣∠RAS﹣∠OAC＝45°，
∴∠RAH＝∠ARH＝∠OAC＝∠ASQ＝45°，
∴AH＝RH，SQ＝AQ；
∵AR＝AS，
∴Rt△RHA≌Rt△SQA（ASA），
∴AQ＝SQ＝AH＝RH；
设直线AC解析式为y＝kx+b，
把A、C两点坐标分别代入得b=66k+b=0，
解得k=−1b=6，
∴y＝﹣x+6，
设S（a，﹣a+6），则AQ＝SQ＝AH＝RH＝a，
∴OH＝OA+AH＝a+6，
∴点R的坐标为（a，a+6），
∵点R在抛物线y=−12x2+2x+6上，
∴a+6=−12a2+2a+6，
解得a＝2或a＝0（舍去），
∴点R的坐标为（2，8）；
∴y=−12x2+2x+6=−12(x−2)2+8，
即此时点R为抛物线的顶点；
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
由抛物线的对称性，点A关于对称轴的对称点R1（4，6）满足∠ASR＝90°，AS＝SR1，
即△ASR1是以S为直角顶点的等腰直角三角形；
过R1作SR1⊥AR1交AC于点S1，则R1S1∥OA，
∴∠AS1R1＝∠OAC＝∠S1AR1＝45°，
故AR1＝R1S1，
此时△AR1S1是以R1为直角顶点的等腰直角三角形；
综上，满足条件的点R坐标为（2，8）与（4，6）．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．
28．（13分）如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．
问题发现
（1）如图①，四边形ABCD是“对称四边形，对角线AC，BD交于点O，AC是“对称线”，若AO＝4．OC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 ．
问题探究
（2）如图②，四边形ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，AC＝6+63，P，Q分别为线段AC，BC上的动点，求PB+PQ的最小值．
问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中．O为坐标原点，已知点A（6，63），过A作射线PQ∥x轴，交y轴于点P，E为射线AQ上的动点（不与点A重合），G，F分别为线段AO和x轴正半轴上的动点，连接EG，EF，点M是线段OE与GF的交点，并且四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”．请问△MEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△DAC≌△BAC（ASA），推出AD＝AB，CD＝CB，推出AC垂直平分线段BD，可得OD＝OB=CD2−OC2=132−122=5，推出BD＝2OD＝10，再根据S四边形ABCD=12•AC•BD．求解即可；
（2）如图，在CD上取一点Q′，使得CQ′＝CQ，连接PQ′，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．证明PQ＝PQ′，解直角三角形求出BH，利用垂线段最短，解决问题；
（3）存在，理由：过点E作EH⊥x轴于点H．证明S△EMF=12S△EOF=12×12•OF•EH=14EF⋅63=332EF，求出EF的最小值，可得结论．
【详解】解：（1）在△ADC和△ABC中，
∠DAC=∠BACAC=AC∠DCA=∠BCA，
∴△DAC≌△BAC（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴OD＝OB=CD2−OC2=132−122=5，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD=12•AC•BD=12×（4+12）×10＝80，
故答案为：80；
（2）如图，在CD上取一点Q′，使得CQ′＝CQ，连接PQ′，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．
由（1）可知AC⊥BD，
∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，
∴OA＝OD，OC=3OD，
设OD＝OA＝m，则OC=3m，
∵AC＝6+63，
∴m+3m＝6+63，
∴m＝6，
∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12，
∴CD＝CB＝12，
∵∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°，
∴CH=12BC＝6，BH＝63，
在△CPQ和△CPQ′中，
CQ=CQ'∠PCQ=∠PCQ'CP=CP，
∴△PCQ≌△PCQ′（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∴PB+PQ＝PB+PQ′≥BH＝63，
∴PB+PQ的最小值为63；
（3）存在，
理由：过点E作EH⊥x轴于点H．
∵PQ∥OF，A（6，63），
∴OP＝EH＝63，
∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”，
∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME，
∴S△EMF=12S△EOF=12×12•OF•EH=14EF⋅63=332EF，
∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为63，
∴△EMF的面积的最小值为27，
此时E（63，63），
∴M（33，33）．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了“对称四边形”的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，特殊直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．A
B
C
D
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
利用相似三角形测高
发现、提出问题
数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？
分析问题
结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作：
①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测得OF＝6m；
②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，测得窗高CD＝1.8m，窗户距地面的高度OD＝1.2m．
解决问题
（1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，DN∥OF，点N在光线AF上，求DN的长；
（2）求AB，OB的长．