2026年江苏省常州市中考模拟数学模拟预测卷含答案

这是一份2026年江苏省常州市中考模拟数学模拟预测卷含答案，共10页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2024的相反数是（ ）
A．12024B．−12024C．2024D．﹣2024
【答案】C
【解答】解：由题意可得﹣2024 的相反数是2024，
故选：C．
2．函数y=xx−1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≥1C．x＞1D．x＞1且x≠0
【答案】C
【解答】解：根据二次根式有意义的条件x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵xx−1是分式，
∴x−1≠0，
∴x≠1，
综上可知，x＞1，
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
【答案】D
【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；
三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项B错误，不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项C错误，不符合题意；
垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinA的值是（ ）
A．43B．45C．34D．35
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
∴在Rt△ABC中，sinA=BCAB=35．
故选：D．
5．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田x亩，则可列方程为（ ）
A．13x+14x+15x=100
B．3x+4x+5x＝100
C．13×x+14×2x+15×3x=100
D．3×x+4×2x+5×3x＝100
【答案】A
【解答】解：根据题意，得13x+14x+15x＝100，
故选：A．
6．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为15，则BC长为（ ）
A．25B．45C．215D．415
【答案】B
【解答】解：连接AF，
∵G、H分别为AE、EF的中点，
∴AF＝2GH，
∴当AF⊥BC时，AF有最小值，即GH有最小值，
∵GH的最小值为15，
∴AF的最小值为215，
∵∠B＝60°，AF⊥BC，
∴∠BAF＝30°，
∴AF＝2BF，AF=3BF，
∴BF＝25，AB＝2BF＝45，
故选：B．
7．如图，直线AB与x轴交于点C，与反比例函数y=a−1x的图象交于A、B两点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，若S△ACD＝5，则a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣9C．6D．11
【答案】B
【解答】解：连接AO，
∵S△ACD＝5且AD⊥y轴，
∴S△AOD＝S△ACD＝5，
∴|a−1|2=5，
解得a＝11或﹣9．
又∵a＜0，
∴a＝﹣9．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③m≠1时，a+b＜am2+bm，④a﹣b+c＜0，⑤当ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2时，x1+x2＝2，⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②④⑥C．②⑤⑥D．②③⑤
【答案】D
【解答】解：①由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下可得a＞0，
由对称轴在y轴的右边可得x=−b2a＞0，从而有b＜0，
由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c＜0，
则abc＞0，故①错误；
②由对称轴方程x=−b2a=1得b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；
③由图可知，当x＝1时，y＝a+b+c最小，则对于任意实数m（m≠1），都满足a+b+c＜am2+bm+c，即a+b＜am2+bm，故③正确；
④由图像可知，x＝﹣1所对应的函数值为正，
∴x＝﹣1时，有a﹣b+c＞0，故④错误；
⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，
则ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴对称，
∴1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，故⑤正确．
⑥由图可知，当﹣1＜x＜3时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；
故选：D．
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．二元一次方程组x=32x−y=8的解是 x=3y=−2 ．
【答案】x=3y=−2
【解答】解：x=3①2x−y=8②，
把①代入②得：6﹣y＝8，
解得：y＝﹣2，
则方程组的解为x=3y=−2，
故答案为：x=3y=−2
10．白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米，0.000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣5 ．
【答案】1.2×10﹣5．
【解答】解：0.000012＝1.2×10﹣5．
故答案为：1.2×10﹣5．
11．已知一个样本有50个数据，其中最大值为83，最小值为32，若取组距为10，则应把它分成 6 组．
【答案】6．
【解答】解：∵最大值与最小值的差为：83﹣32＝51，
∴51÷10＝5.1，
即应把它分成6组．
故答案为：6．
12．已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．
【答案】5
【解答】解：边数n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
13．若关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是2，3，则c的值为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是2，3，
所以2×3＝c，
则c＝6．
故答案为：6．
14．用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 3 ．
【答案】3
【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷2＝6π，
∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3，
故答案为：3
15．在△ABC中，∠A=60°，BC=23.若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径的最大值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，⊙O与AB、AC、BC分别相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，如图，
则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵BC＝23，
∴BF+CF＝23，
∵OD＝OE，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠OAE＝30°，
∵ODAD=tan∠OAD＝tan30°=33，
∴AD=3OD=3r＝AE，
∴AB+AC＝AD+BD+AE+CE＝23r+23，
∴当r最大时，AB+AC最大，
延长BA至C′，使AC′＝AC，连接CC′，
则∠C′＝∠ACC′，
∵∠C′＝∠ACC′＝∠BAC＝60°，
∴∠C′＝∠ACC′＝30°，
∵BC＝23，
∴点C′在以BC为弦，所对圆周角为30°的圆弧上运动，
作△BCC′的外接圆⊙O′，当BC′为⊙O′的直径，即点A与点O′重合时，AB+AC的值最大，
此时，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝23，
∴23r+23=43，
∴r＝1，
∴△ABC的内切圆⊙O的半径为r的最大值为1，
故答案为：1．
16．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（1，1），B（0，2），C（﹣2，0），若直线l：y＝mx+2m（m≠0）把△ABC分成面积相等的两部分，则m的值为 35 ．
【答案】35．
【解答】解：由题意，∵直线l为y＝mx+2m＝m（x+2），
∴当x+2＝0时，即x＝﹣2，则y＝0，
∴直线l为过（﹣2，0）的直线，即直线l过C（﹣2，0），
又∵直线l将△ABC的面积分成相等的两部分，
∴直线l过AB的中点．
∵A（1，1），B（0，2），
∴AB的中点为（12，32）．
又直线l过（12，32），
∴12m+2m=32．
∴m=35．
故答案为：35．
17．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF的长为 103 ．
【答案】103．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵AD＝6，
∴AC=AD2+CD2=62+82=10，
∵点E是AB的中点，
∴AE=12AB＝4，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA，∠DCF＝∠CAE，
∴△CDF∽△AEF，
∴CDAE=CFAF=84=2，
∴AF=13AC=103，
故答案为：103．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM+PM的最小值为 7﹣22 ．
【答案】7﹣22．
【解答】解：作MP′＝MP交x轴于点P′，则∠OP′P＝45°，OM+PM的长为OP′的长，此时PP′与⊙C相切，
连接CP，则CP⊥PP′，
∴∠CPP′＝90°，
作CN⊥x轴于点N，交PP′于点E，则∠ENP′＝90°，
∴∠NEP′＝45°，
∴EN＝NP′，∠PEC＝45°，
∵PC＝2，
∴CE＝22，
∵C（4，3），
∴ON＝4，CN＝3，
∴EN＝3﹣22，
∴NP′＝3﹣22，
∴OP′＝ON+NP′＝7﹣22，
∴OM+PM的最小值为7﹣22．
三．解答题（第19，20，21，22题6分，第23，24题8分，第25，26题10分，第27，28题每题12分，共84分）19．解方程组和不等式组：
（1）x−y=03x+y=4；
（2）3x−6＜0x−12＜x．
【答案】（1）x=1y=1；
（1）﹣1＜x＜2．
【解答】解：（1）x−y=0①3x+y=4②，
①+②，得：4x＝4，
∴x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴该方程组的解为：x=1y=1；
（1）3x−6＜0x−12＜x，
解不等式3x﹣6＜0，得：x＜2，
解不等式x−12＜x，得：x＞﹣1，
∴该不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．
20．先化简，再求值：2a2−aa−2−3aa−2，其中a＝﹣3．
【答案】2a，﹣6．
【解答】解：2a2−aa−2−3aa−2
=2a2−a−3aa−2
=2a2−4aa−2
=2a(a−2)a−2
＝2a，
当a＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）＝﹣6．
21．为了落实“双减”政策，学校组织各种社团活动，丰富孩子们的课余生活．为了解该校全体学生参加该学校五个社团的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
请你根据以上信息结合统计图解答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ；p＝ 10 ；扇形统计图中扇形B的圆心角是 108 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加手工制作社团？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题可知，m＝40×30%＝12（人），
p%＝1﹣10%﹣10%﹣30%﹣40%＝10%，
B的圆心角是：30%×360°＝108°，
故答案为：12，10，108；
（2）由（1）可知m＝12（人），n＝40×10%＝4（人），补全的条形统计图如下：
（3）2400×1640=960（人），
答：估计全校约有960名学生愿意参加手工制作社团．
22．在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 13 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率．
【答案】（1）13；
（2）13．
【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④，
∴抽到的数与文字描述相符合的概率为26=13．
23．已知：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，D是边BC上的点，且CD＝AD．
（1）证明：AD＝AB；
（2）若E、F分别是BD、AC的中点且AC＝6，如图2，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）EF＝3．
【解答】（1）证明：∵CD＝AD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C；
∵∠B＝2∠C，
∴∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
（2）解：如图，连接AE，
由（1）知，AD＝AB，
又∵E是BD的中点，
∴AE⊥BD，
∴△AEC是直角三角形，
∵F是AC的中点，AC＝6，
∴EF=12AC=3．
24．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：125（1﹣x）2＝80，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，
根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：最少购进40件甲种商品．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆外一点，连接CA，CB分别交⊙O于点D，E，OD∥BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长．
【答案】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠A＝∠CED，
∵OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠C＝∠CED，
∴CD＝DE；
（2）CE=83．
【解答】（1）证明：∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠A＝∠CED，
∵OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠C＝∠CED，
∴CD＝DE；
（2）解：∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴OAAB=ADAC，
∵AB＝12，AD＝4，
∴612=4AC，
∴AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
∵∠A＝∠C＝∠CED＝∠ADO，
∴△AOD∽△CDE，
∴OACD=ADCE，
∴64=4CE，
∴CE=83．
26．已知二次函数y=−3x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点M（a，y1）和N（a+3，y2）是该二次函数图象上的两点，当a＜0时，试比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE，记点D关于直线PE的对称点为F，当以点P、A、D、F为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=−3x2−23x+33；
（2）当a=−52时，y1＝y2；当a＜−52时，y1＜y2；当−52＜a＜0时，y1＞y2；
（3）(−23，733)和(4，73)．
【解答】解：（1）∵二次函数y=−3x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴0=−3×(−3)2−3b+c0=−3×12+b+c，
即0=−93−3b+c0=−3+b+c，
解得b=−23c=33，
∴该二次函数的表达式为y=−3x2−23x+33；
（2）∵点M（a，y1）和N（a+3，y2）是二次函数y=−3x2−23x+33图象上的两点，
∴y1=−3a2−23a+33，y2=−3（a+3)2−23(a+3)+33=−3a2−83a−123，
∴y1−y2=(−3a2−23a+33)−(−3a2−83a−123)=33(2a+5)，
结合a＜0，分三种情况讨论：
①当33(2a+5)=0，即a=−52时，y1＝y2；
②当33(2a+5)＜0，即a＜−52时，y1＜y2；
③当33(2a+5)＞0，即−52＜a＜0时，y1＞y2；
（3）∵抛物线y=−3x2−23x+33与y轴交于点C，顶点为点D，
∴C(0，33)，D(−1，43)，
设直线AC的解析式为 y＝kx+n，
将A（﹣3，0），C(0，33)代入得：−3k+n=0n=33，
解得k=3n=33，
∴直线AC解析式为y=3x+33，
∵点P是直线AC上的动点，
∴设P(m，3m+33)，
∵D、F关于直线PE对称，
∴PE垂直平分DF，
又∵PE⊥AC，
∴DF∥AC，
∴D到F的平移规律，与A到C的平移规律完全一致，
设D到DF中点M的横坐标变化为t，则纵坐标变化为3t，
∴M(−1+t，43+3t)，
如图，中点M在对称轴PE上，且PE⊥AC，
∴△APM为直角三角形，
∴AP2+PM2＝AM2，
∵AP2=(m+3)2+(3m+33−0)2=4m2+24m+36，PM2=(−1+t−m)2+[(43+3t)−(3m+33)]2=4(t−m)2+4(t−m)+4，AM2=(−1+t+3)2+(43+3t−0)2=4t2+28t+52，
∴（4m2+24m+36）+[4（t﹣m）2+4（t﹣m）+4]＝4t2+28t+52，
整理得2t（m+3）＝（2m﹣1）（m+3），
∵点P和点A重合时无法构成平行四边形，故m≠﹣3，
∴两边同时除以（m+3），得t=m−12，
∴M(m−32，3m+732)，
设F（x，y），
则x−12=m−32，y+432=3m+732，
化简得x＝2m﹣2，y=23m+33，
∴F（2m﹣2，23m+33），
若以点P，A，D，F为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论：
①以AD和PF为平行四边形的对角线，则AD的中点＝PF的中点，
∴横坐标相等，得−3+(−1)2=m+(2m−2)2，
解得m=−23，
纵坐标相等，得0+432=(3m+33)+(23m+33)2，
解得m=−23，
∴P(−23，733)；
②以AP和DF为平行四边形的对角线，则AP的中点＝DF的中点，
∴横坐标相等，得−3+m2=2m−32，
解得m＝0，
纵坐标相等，得0+(3m+33)2=43+(23m+33)2，
解得m＝﹣4，
∴此情况不成立；
③以AF和PD为平行四边形的对角线，则AF的中点＝PD的中点，
∴横坐标相等，得−3+(2m−2)2=m+(−1)2，
解得m＝4，
纵坐标相等，得0+(23m+33)2=3m+732，
解得m＝4，
∴P(4，73)；
综上，点P的坐标为(−23，733)和(4，73)．
27．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”．
（1）定义理解：如图①，已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝126°，∠D＝120°，求∠C的度数．
（2）定义运用：如图②，在五边形ABCDE中，DE∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）定义拓展：如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC边上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试猜想，在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生改变，并说明理由．
【答案】（1）57°；
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠ABD．
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）PM+PN的值不会发生改变；理由如下：
在等邻角四边形ABCD中，PN⊥CD，如图③，作BQ⊥CD，垂足为Q，自P作PR⊥BQ，垂足为R，
∴四边形PNQR是矩形．
∴PN＝RQ，∠BRP＝90°，且PR∥CQ，
∴∠C＝∠RPB．
∵∠B（∠MBP）＝∠C，
∴∠MBP＝∠RPB．
在∠BMP和∠PRB中，
∠BMP=∠BRP=90°∠MBP=∠RPBBP=PB，
∴∠BMP≌∠PRB（AAS），
∴PM＝BR，
∴BQ＝BR+RQ＝PM+PN．
故在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生改变，总等于BQ．
【解答】（1）解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝126°，∠D＝120°，
∴根据“等邻角四边形”定义，∠B、∠C均不可能与∠A、∠D中的任意一个角相等，否则总内角和大于360°，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴126°+120°+2∠C＝360°，
解得：∠C＝57°；
（2）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠ABD．
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）解：PM+PN的值不会发生改变；理由如下：
在等邻角四边形ABCD中，PN⊥CD，如图③，作BQ⊥CD，垂足为Q，自P作PR⊥BQ，垂足为R，
∴四边形PNQR是矩形．
∴PN＝RQ，∠BRP＝90°，且PR∥CQ，
∴∠C＝∠RPB．
∵∠B（∠MBP）＝∠C，
∴∠MBP＝∠RPB．
在∠BMP和∠PRB中，
∠BMP=∠BRP=90°∠MBP=∠RPBBP=PB，
∴∠BMP≌∠PRB（AAS），
∴PM＝BR，
∴BQ＝BR+RQ＝PM+PN．
故在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生改变，总等于BQ．
28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，点P是⊙O上一点．对平面内的一点Q，先将点Q关于点O作中心对称变换得到点Q1，再将点Q1沿射线OP的方向平移半径r的长度得到点Q2，称为一次关于半径OP的反射平移，点Q2称为点Q关于半径OP的反射平移点．
如图，已知点A（0，2）．
（1）点P是⊙O上的动点，当OP＝1时，在A1（0，﹣1），A2（1，﹣1），A3（0，﹣2），A4（﹣1，﹣2）中，可能是点A关于半径OP的反射平移点的是A1，A4 ．
（2）设直线l：y=33x+b(b＞0)与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线l经过A．
①在上述条件下，b＝ 2 ；
②当P的坐标为（0，1）时，如果线段MN上一点B关于半径OP的反射平移点在⊙O上或内部．直接写出点B的横坐标的取值范围；
③当P在y轴的正半轴上时，如果线段MN上存在点C，使点C关于半径OP的反射平移点在⊙O上，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
【答案】（1）A1，A4；
（2）①2；
②−32≤xB≤0；
②r≥43−6．
【解答】解：（1）点A（0，2）关于O的对称点A′（0，﹣2），
∵A′A″＝OP＝1，则A″在A′为圆心，1为半径的圆上，如图1所示，
∵A1（0，﹣1），A2（1，﹣1），A3（0，﹣2），A4（﹣1，﹣2）
A1A3＝﹣1+2＝1，A3A4＝0﹣（﹣1）＝1，则A4在⊙A′上，
故答案为：A1，A4；
（2）①∵y=33x+b（b＞0）经过点A，
∴b＝2，
故答案为：2；
②由①得y=33x+2，
如图2所示，线段MN上一点B关于半径OP的反射平移点在⊙O上或内部，即N″B″在⊙O的内部时，先中心对称再平移，
当y＝0时，x＝﹣23，则M（﹣23，0），
∴OM＝23，
∴tan∠MNO＝60°，
∵线段经过反射平移后与y轴的夹角不变，
∴∠ON″B″＝60°，
∴当B″在⊙O上且不与点N″重合时，连接OB″，则△OB″N″即为所等边三角形，
∴B″（32，−12），
∴B′（32，−32），B（−32，32），
结合图形，可得线段MN上一点B关于半径OP的反射平移点在⊙O上或内部时，−32≤xB≤0；
③如图3所示，当⊙O与y=33x+b（b＜0）相切时，为临界值；
延长OC″交M′N′于点T，作C′C″∥y轴，则OT⊥M′N′，∠ON′T＝60°，ON′＝ON＝2，
∴t＝2×sin60°=3，
∴C″T=3−r，
∵C′C″∥y轴，则C′C″=C″Tsin60°=3−r32=2−23r3，
又∵C′C″＝r，
∴2−23r3=r，
解得r＝43−6，
∴线段MN上存在点C，使点C关于半径OP的反射平移点在⊙O上，⊙O的半径r的取值范围为：r≥43−6．
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B（架子鼓）
C（手工制作）
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