2026年广东省广州市中考模拟数学模拟预测卷含答案

这是一份2026年广东省广州市中考模拟数学模拟预测卷含答案，共10页。
A．32B．23C．−32D．−23
2．（2026•广州模拟）今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈．连续三天的客流强度，不是第二，就是第一．2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．302.1×104次B．3.021×106人次
C．3.021×105人次D．30.21×105人次
3．（2026•广州模拟）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2026•广州模拟）要使得式子x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
5．（2026•广州模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．900x+3=2×900x−1B．900x−3=2×900x+1
C．900x−1=2×900x+3D．900x+1=2×900x−3
6．（2026•广州模拟）不等式组x−5≤0x+1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2026•广州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．35°
8．（2026•广州模拟）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（ ）
A．120°B．122°C．132°D．148°
9．（2026•广州模拟）如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤1
10．（2026•广州模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1B．2C．32D．3
填空题（每小题3分，共18分）
11．（2026•广州模拟）因式分解：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（2026•广州模拟）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 条．
13．（2026•广州模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为 ．
14．（2026•广州模拟）如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠OBA＝60°，OB⊥AD交AC于点B，若OB＝5，则BC＝ ．
15．（2026•广州模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
16．（2026•广州模拟）如图，直线y＝4﹣x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y=2x（x＞0）图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，则AF•BE＝ ．
解答题（共72分）
17．（4分）（2026•广州模拟）(π−1)0−9+2cs45°+(15)−1．
18．（4分）（2026•广州模拟）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣a（a﹣b）+（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝2．
19．（6分）（2026•广州模拟）先化简，再求值：a−1a+2×a2−4a2−2a+1÷1a2−1，其中a满足a2﹣a＝2．
20．（6分）（2026•广州模拟）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C种类的扇形所对的圆心角的度数为 ；
（3）某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
21．（8分）（2026•广州模拟）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知△ABC三个顶点都在格点（网格线的交点叫做格点）上．点A，B，C的坐标分别是（1，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕O点旋转后得△A2B2C2，若点C的对应点C2的坐标为（3，0），则B点的对应点B2的坐标为 ．
22．（10分）（2026•广州模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△OCD沿CD所在直线翻折，点O的对称点为点E．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠CBD＝30°，CD＝2，求四边形OCED的面积．
23．（10分）（2026•广州模拟）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．（12分）（2026•广州模拟）新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1﹣x2|叫做函数G在直线l上的“截距”．
（1）求双曲线G：y=4x与直线l：y＝﹣2x+6上的“截距”；
（2）若抛物线y＝2x2+（2﹣b）x与直线y＝﹣x+b相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为6，且x1＜x2＜0，求b的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，抛物线y＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt在x轴上的“截距”为d1，抛物线y＝﹣x2+（2t﹣n）x+2nt在x轴上的“截距”为d2．如果d1≥d2对一切实数t恒成立，求m，n的值．
25．（12分）（2026•广州模拟）如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）证明：∠ABO＝∠ACO；
（2）连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长；
（3）①试探究(ADOD)2−OCOD的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S2=S1⋅S3，求OD的长．
参考答案
1．（2026•广州模拟）32的倒数是（ ）
A．32B．23C．−32D．−23
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可知．
【解答】解：根据倒数的定义，可知32的倒数是23．
故选：B．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．
2．（2026•广州模拟）今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈．连续三天的客流强度，不是第二，就是第一．2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．302.1×104次B．3.021×106人次
C．3.021×105人次D．30.21×105人次
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：302.1万＝3021000＝3.021×106．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2026•广州模拟）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
4．（2026•广州模拟）要使得式子x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
5．（2026•广州模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．900x+3=2×900x−1B．900x−3=2×900x+1
C．900x−1=2×900x+3D．900x+1=2×900x−3
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x−3=2×900x+1．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2026•广州模拟）不等式组x−5≤0x+1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣5≤0，得：x≤5，
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（2026•广州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．35°
【分析】先根据AB＝AD，∠B＝70°求出∠ADB的度数，再由AD＝DC得出∠C＝∠DAC，根据三角形外角的性质得出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠ADB＝70°．
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
8．（2026•广州模拟）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（ ）
A．120°B．122°C．132°D．148°
【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，
∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2026•广州模拟）如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：∵y＝x+3经过点A（m，4），
∴m+3＝4，
解得：m＝1，
∴A（1，4），
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
10．（2026•广州模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1B．2C．32D．3
【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2＝∠1，DE＝DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF＝DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．
【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，
∴DH=3，
在△ADE和△BDF中
AD=BD∠A=∠FBDAE=BF，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为3，
∴EF的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
11．（2026•广州模拟）因式分解：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【分析】先提取2，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2
故答案为2（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式2．
12．（2026•广州模拟）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 2000 条．
【分析】捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为120，而在整体中有标记的共有100条，根据所占比例即可解答．
【解答】解：∵捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，
∴在样本中有标记的所占比例为10200=120，
∴池塘里鱼的总数为100÷120=2000（条）．
故答案为：2000．
【点评】本题主要考查了通过样本去估计总体，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
13．（2026•广州模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】将根x＝0代入方程求出m的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）确定m的最终值．
【解答】解：将x＝0代入方程，得m2﹣4＝0，即m2＝4，
解得m＝2或m＝﹣2．
又∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
因此m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义及方程根的应用，解题的关键是根据根的定义代入求值，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的条件．
14．（2026•广州模拟）如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠OBA＝60°，OB⊥AD交AC于点B，若OB＝5，则BC＝ 5 ．
【分析】在Rt△AOB中，已知了OB的长和∠OBA的度数，根据直角三角形的性质可求得OA的长，也就得到了直径AD的值，连接CD，同理可在Rt△ACD中求出AC的长，由BC＝AC﹣AB即可得解．
【解答】解：如图，连接CD，
在Rt△AOB中，∠OBA＝60°，
∴∠A＝30°，
∵OB＝5，
∴AB＝2OB＝10，
∴OA=AB2−OB2=53，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AD＝2OA＝103，
∴AC＝cs30°×103=32×103=15，
∴BC＝AC﹣AB＝15﹣10＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质的应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2026•广州模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝0且k≠0，
解得：k＝1，
∴k的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16．（2026•广州模拟）如图，直线y＝4﹣x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y=2x（x＞0）图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，则AF•BE＝ 4 ．
【分析】过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，然后由直线y＝4﹣x交x轴、y轴于A、B两点，求得点A与B的坐标，则可得OA＝OB，即可得△AOB，△BCE，△ADF是等腰直角三角形，则可得AF•BE=2CE•2DF＝2CE•DF，又由四边形CEPN与MDFP是矩形，可得CE＝PN，DF＝PM，根据反比例函数的性质即可求得答案．
【解答】解：过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，
∵直线y＝4﹣x交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴BC＝CE，AD＝DF，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴四边形CEPN与MDFP是矩形，
∴CE＝PN，DF＝PM，
∵P是反比例函数2x图象上的一点，
∴PN•PM＝2，
∴CE•DF＝2，
在Rt△BCE中，BE=CEsin45°=2CE，
在Rt△ADF中，AF=DFsin45°=2DF，
∴AF•BE=2CE•2DF＝2CE•DF＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，以及矩形、等腰直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与转化思想的应用．
17．（2026•广州模拟）(π−1)0−9+2cs45°+(15)−1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（π﹣1）0−9+2cs45°+(15)−1
＝1﹣3+2×22+5
＝1﹣3+2+5
＝3+2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（2026•广州模拟）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣a（a﹣b）+（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝2．
【分析】利用完全平方公式，单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，再把a与b 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣a2+ab+a2﹣b2
＝a2﹣ab；
当a＝1，b＝2时，
原式＝12﹣1×2＝1﹣2＝﹣1．
【点评】此题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2026•广州模拟）先化简，再求值：a−1a+2×a2−4a2−2a+1÷1a2−1，其中a满足a2﹣a＝2．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
【解答】解：原式=a−1a+2×(a+2)(a−2)(a−1)2×（a+1）（a﹣1）
＝（a﹣2）（a+1）
＝a2﹣a﹣2，
当a2﹣a＝2时，原式＝2﹣2＝0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（2026•广州模拟）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
（1）a＝ 2 ，b＝ 45 ；
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C种类的扇形所对的圆心角的度数为 72° ；
（3）某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
【分析】（1）用a种类的人数除以其所占百分比求出抽样调查的总人数，再用抽样调查的总人数乘以D种类的百分比可得a的值；用抽样调查的总人数分别减去A，C，D种类的人数，求出B种类的人数，再求出其所占百分比，即可得b的值．
（2）根据B种类的人数直接补全条形统计图即可；用360°乘以C种类的百分比可得C种类的扇形所对的圆心角的度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及A、B两种口味同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）抽样调查的人数为12÷30%＝40（人），
∴a＝40×5%＝2，
∴B种类的人数为40﹣12﹣8﹣2＝18，
∴b%=1840×100%＝45%，
∴b＝45．
故答案为：2；45．
（2）补全条形统计图如图所示．
C种类的扇形所对的圆心角的度数为360°×840=72°．
故答案为：72°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中A、B两种口味同时被选中的结果有2种，
∴A、B两种口味同时被选中的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（2026•广州模拟）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知△ABC三个顶点都在格点（网格线的交点叫做格点）上．点A，B，C的坐标分别是（1，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕O点旋转后得△A2B2C2，若点C的对应点C2的坐标为（3，0），则B点的对应点B2的坐标为 （3，﹣2） ．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为 （3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．（2026•广州模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△OCD沿CD所在直线翻折，点O的对称点为点E．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠CBD＝30°，CD＝2，求四边形OCED的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质得到DO＝CO，由折叠的性质得到OD＝ED，OC＝EC，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到BC=3CD＝23，由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．根据菱形的性质得到CE∥OD且CE＝OD．推出四边形OBCE为平行四边形．根据平行四边形的性质得到OE＝BC＝23，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝CO，
由折叠可得，OD＝ED，OC＝EC，
∴OD＝ED＝OC＝EC，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，CD＝2，
∴BC=3CD＝23，
由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．
∴CE∥OD且CE＝OD．
∴CE∥BO且CE＝BO．
∴四边形OBCE为平行四边形．
∴OE＝BC＝23，
∴四边形OCED的面积=12CD•OE=12×2×23=23．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠性质），矩形的性质，菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
23．（2026•广州模拟）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据：“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：x+3y=263x+2y=29，
解得：x=5y=7，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W＝5m+7（50﹣m）＝﹣2m+350，
∵﹣2＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m＝37时，W最小＝﹣2×37+350＝276，
此时50﹣37＝13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
24．（2026•广州模拟）新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1﹣x2|叫做函数G在直线l上的“截距”．
（1）求双曲线G：y=4x与直线l：y＝﹣2x+6上的“截距”；
（2）若抛物线y＝2x2+（2﹣b）x与直线y＝﹣x+b相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为6，且x1＜x2＜0，求b的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，抛物线y＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt在x轴上的“截距”为d1，抛物线y＝﹣x2+（2t﹣n）x+2nt在x轴上的“截距”为d2．如果d1≥d2对一切实数t恒成立，求m，n的值．
【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解；
（2）由直线y＝﹣x+b与x轴成45°角，可得|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，由一元二次方程可得|x1−x2|=b2+2b+92=6，可求b的值；
（3）分别求出d1，d2，解不等式可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得y=4xy=−2x+6，
解得：x1=1y1=4或x2=2y2=2，
∴|x1﹣x2|＝1，|y1﹣y2|＝2，
∴双曲线G：y=4x与直线l：y＝﹣2x+6上的“截距”＝1，
（2）由条件可知|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，
∵2x2+（2﹣b）x＝﹣x+b，
∴2x2+（3﹣b）x﹣b＝0，
∴Δ＝（3﹣b）2+8b＝b2+2b+9＝（b+1）2+8＞0，
∴|x1−x2|=b2+2b+92=6，
解得：b1＝﹣5，b2＝3，
∵x1＜x2＜0，
∴x1⋅x2=−b2＞0，
∴b＜0，
∴b＝﹣5；
（3）令y＝0，则x2+（3﹣mt）x﹣3mt＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝mt，
∴d1＝|mt+3|，
由﹣x2+（2t﹣n）x+2nt＝0，
∴x1＝﹣n，x2＝2t，
∴d2＝|2t+n|，
由条件可知|mt+3|⩾|2t+n|，
∴（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+9﹣n2⩾0①，
∴当m2﹣4＞0，且Δ＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）⩽0时，①式对于一切实数t恒成立，
∴m＞24(mn−6)2⩽0，
∴m＞2mn=6且m，n为正整数，
∴m=3n=2或m=6n=1．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程等多个知识点，综合性较强，有一定的难度，题干中定义了“截距”新概念，解题的关键是理解“截距”这概念．
25．（2026•广州模拟）如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）证明：∠ABO＝∠ACO；
（2）连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长；
（3）①试探究(ADOD)2−OCOD的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S2=S1⋅S3，求OD的长．
【分析】（1）利用等腰三角形中等边对等角，或等弧所对圆周角相等来证明；
（2）分∠CDO＝90°，∠COD＝90°，∠C＝90°三种情况，分别讨论即可；
（3）①先证△ADO∽△BDA，推出AD2＝OD⋅BD，等量代换可得AD2＝OD⋅（OD+CO），变形可得(ADOD)2−OCOD=1；
②先证△ABO≌△ACO（SSS），推出S1＝S2+S3，作AH⊥BD交BD于H，设AH＝h，OD＝x，可得S1=12×1×ℎ，S2=12xℎ，S3=S1−S2=12(1−x)ℎ，利用S22=S1⋅S3列方程，求出x的值即可．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
同理：∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠OBC＝∠ACB﹣∠OCB，
即∠ABO＝∠ACO；
（2）解：（i）当∠CDO＝90°时，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为正三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DCO＝30°，
∴OD=12，CD=32，
∴AC=2CD=3=BC；
（ii）当∠COD＝90°时，∠BOC＝90°，
∴BC=2；
（iii）当∠C＝90°时，∠OAC＝90°，与三角形内角和定理矛盾，所以舍去．
综上所述：BC=3或BC=2；
（3）解：①∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵∠ABO＝∠ACO，
∴∠OAC＝∠B，
∵∠ODA＝∠ADB，
∴△ADO∽△BDA，
∴ADBD=ODAD，
∴AD2＝OD•BD，
∴AD2＝OD•（OD+BO）
∴AD2＝OD•（OD+CO），
∴AD2＝OD2+OD⋅OC，
∴(ADOD)2−OCOD=1；
②在△ABO和△ACO中，
OA=OAAB=ACOB=OC，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
作AH⊥BD交BD于H，设AH＝h，OD＝x，
S1=12×1×ℎ，S2=12xℎ，
∴S3=S1−S2=12(1−x)ℎ，
又S22=S1⋅S3，
∴(12xℎ)2=12ℎ⋅12(1−x)ℎ，
∴x2＝1﹣x，
∴x=−1±52，
∵x＞0，
∴x=5−12，即OD=5−12．
【点评】本题属于圆内综合题，考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题，能够综合运用上述知识点是解题的关键．