山西省太原市2026年初中学业水平模拟考试(一) 数学（含解析）

这是一份山西省太原市2026年初中学业水平模拟考试(一) 数学（含解析），共4页。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示：
其中当天最低气温最高的县区是（ ）
A. 迎泽区B. 小店区C. 阳曲县D. 古交市
【答案】A
【解析】
【分析】利用负数比较大小的方法即可得到结果．
【详解】解：，，，，且 ，
∴ ，
∴最高的最低气温为 ，即当天最低气温最高的县区是迎泽区．
2. 青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含对称美．下列青铜器纹样图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意．
3. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则和单项式乘法法则逐一判断即可．
【详解】解：选项A：，错误；
选项B：，错误；
选项C：，错误；
选项D：，正确．
4. 高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到2000℃以上．如图是一种高铝拱角砖的示意图，其形状为五棱柱．若其主视图为五边形，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的定义即从物体左边看到的平面图形，中间线段看不到，故为虚线．
【详解】解：该几何体的左视图为：
5. 已知点，都在反比例函数的图象上，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可将点的横坐标代入反比例函数解析式，求出和的值后直接比较大小，也可结合反比例函数的性质判断．
【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，
把代入，得，
把代入，得，
，
．
6. 如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：连接，
∵与相切于点B，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键．
【详解】解：∵不等式，
∴，
∵不等式的解集是，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：．
8. 如图，中，，将沿方向平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．若，则平移的距离为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平移的性质得到，进而可得，即可得解．
【详解】解：根据平移的性质可得，，
又∵，，
∴，
∴平移的距离为3．
9. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，当时分式无意义，
∴A不合题意；
∵当时，分式无意义，
∴B不合题意；
∵时分式的值为，
∴C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
10. 如图，扇形纸片的半径，．将该扇形纸片对折，使得和完全重合，折痕与交于点，然后展平纸片；再沿过点的直线折叠扇形纸片，使点与点重合，折痕与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出阴影部分的面积与的面积是相同的，均为扇形减去弓形面积，得为等边三角形，由勾股定理求出的长度，即可得出结果．
【详解】解：观察图象，可知阴影部分的面积与的面积是相同的，均为扇形减去弓形面积，
∵，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置．
11. 计算的结果是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的除法运算计算即可．
【详解】
故答案为：
本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
12. 如图是一个由量角器和直尺组成的测角仪器，用它测量一个三角形零件中残缺的内角的度数．若测得的度数为，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【详解】解：由图得是的邻补角，
的度数为，
．
13. 2026年央视春晚节目《贺花神》构建了“一月一人一景，一花一态一观”的视觉叙事，生动演绎了中华优秀传统文化．小宁据此制作了六张卡片（除正面外完全相同），其中三张正面分别是代表正月、二月、三月的梅花、杏花、桃花；另外三张正面依次是这三个月的花神林逋、陆游、息国国君夫人．他将六张卡片分两组背面朝上分别洗匀，先从三张花卉卡片中随机抽取一张，再从三张花神卡片中随机抽取一张，则两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：正月、二月、三月分别用A、B、C表示，花神林逋、陆游、息国国君夫人分别用D、E、F表示，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中取出的两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的结果有：，，，共3种，
∴取出的两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的概率为．
14. 植树节来临之际，学校组织320名学生进行植树活动，计划种植杨树和松树两种树苗，已知种植1棵杨树需要3名学生，种植1棵松树需要5名学生．若要种植的两种树苗总棵数不少于100棵，则种植杨树的学生至少______人．
【答案】270
【解析】
【分析】设种植杨树的学生人数为未知数，根据总学生数表示出种植松树的学生人数，再根据总棵数的限制条件列出一元一次不等式，解不等式得到种植杨树学生人数的最小值．
【详解】解：设种植杨树的学生有人，则种植松树的学生有人．
由题意可知，杨树总棵数为，松树总棵数为，根据两种树苗总棵数不少于棵，列一元一次不等式：
不等式两边同乘去分母得：
去括号得：
合并同类项得：
系数化为得：
故种植杨树的学生至少为人．
15. 如图，在四边形中，，，对角线平分，且，．点是上一点，连接，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】已知平分，，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，构造辅助线，过点作于点，可得到，要求的面积，底边上的高已求得，则只需求得的长即可，构造全等三角形，过点作，交的延长线于点，易证四边形是矩形，可得，，结合平行线的性质即可证明，从而得到，，由等腰三角形三线合一即可得到，设，则，在中，由勾股定理得，，列方程求解即可得解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，，
，，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，解得，
，
，，
，
的面积为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
16. 计算与解方程组
（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，得，
解得．
将代入①，得，
解得．
所以原方程组的解是．
17. 操作与探究：如图，在中，．
（1）动手操作：
用直尺和圆规按要求作图：①作的垂直平分线交于点O；②以点O为圆心长为半径作；③连接并延长交于点D，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母）．
（2）猜想证明：
在（1）所作的图形中：
①判断点A，B与的位置关系，并说明理由；
②判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①点A，B在上，理由见解析；②四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目的操作步骤画图即可；
（2）①根据线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质可得出，即可得证；
②根据，，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证．
【小问1详解】
解：如图即为所求．
【小问2详解】
解：①点A，B在上．
理由如下：∵垂直平分于点O，
∴点O是的中点，
∴．
在中，，是斜边上的中线，
∴．
∴．
∵是的半径，
∴点A，B在上．
②四边形是矩形．
理由如下：由作图可知，点D在上，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是矩形．
18. 为丰富学生的地理知识，学校举办中国地图拼图挑战赛，初赛阶段九年级遴选出甲、乙、丙、丁四名优秀队员晋级总决赛，赛前带队教练为评估实战水平，对四名晋级队员最近10次测试成绩（单位：s，精确到）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
信息1：甲、乙两名队员10次测试成绩的折线图：
信息2：丙队员10次测试成绩：

信息3：四名队员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
（1）表中m的值为______，p的值为______；
（2）乙的方差n与甲的方差的关系为：n______（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）根据这10次测试成绩，带队教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：
首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则10次测试中测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．
按以上方式评估，这四名队员按实力由强到弱的顺序依次为______．
【答案】（1）；；
（2）＜ （3）乙、丁、甲、丙
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义求解m，平均数的定义求解p即可；
（2）根据方差的定义计算乙的方差，再进行比较即可；
（3）先比较平均数得出丙最弱，再比较方差得出乙最强，最后根据比较测试成绩小于平均数的次数即可解答．
【小问1详解】
解：甲的10次测试成绩排列为：，
则中位数为；
丙的平均数为．
【小问2详解】
解：由题意可知，乙的平均数为，
则方差为.
∴．
【小问3详解】
解：由（1）可知，丙的平均数为，则丙的平均数最大，实力最弱，
由（2）可知，乙的方差为，
方差：，则乙的实力最强，
甲和丁的平均数都为，方差均为，丁的测试成绩中位数为，第5、6次成绩总和为，则前5次测试成绩小于平均数；甲10次测试成绩小于平均数的成绩有3次，说明丁比甲强，因此，这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙．
19. 2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量．
【答案】新品种小麦的亩产量为800公斤
【解析】
【分析】设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤．
由题意得，
解得．
经检验，是原方程的解．
当时，．
答：新品种小麦的亩产量为800公斤．
20. 综合与实践
某校开展校园手绘平面图测绘活动，数学实践小组为标注教学楼前人工湖内小岛两端点C，D之间的距离，进行了数据测量．如图，该小组测量方案和相关数据如下：
步骤一：甲同学在教学楼五层某教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点A处测得小岛一端C处的俯角；
步骤二：乙同学在该教学楼三层相同位置教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点B处测得小岛另一端D处的俯角；
步骤三：测得测倾器高为1.6m；
步骤四：每相邻两层楼地板之间的距离为3.5m，可求得点A到水平地面的距离▲m，点B到水平地面的距离▲m．
已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一铅垂线上，点D，C，G在同一水平线MN上．
（1）补全“步骤四”中“▲”处的结果；
（2）请根据上述测量方案和数据计算小岛两端C，D之间的距离（结果精确到，参考数据：，，，，，）．
【答案】（1）15.6；8.6
（2）小岛两端C，D之间的距离约为9m
【解析】
【分析】（1）直接利用有理数的四则混合运算法则求解即可；
（2）由平行线的性质可得，．分别在和解直角三角形可得、，然后根据线段的和差求解即可．
【小问1详解】
解：，．
【小问2详解】
解：由题意，得，，．
∵，，
∴，．
在中，，，
∵，
∴．
在中，，，
∵，
∴．
∴．
答：小岛两端C，D之间的距离约为9m．
21. 读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）“定义对象”部分“▲”处为 ▲ （填“锐角”“直角”或“钝角”）；
“定义运用”部分问题1的“▲”处为 ▲ ；
问题2的“▲”处为 ▲ ；
（2）补全上述报告中问题2的推理过程；
（3）如图3，已知中，，，，点E在BC边上，若是差直角三角形，则的长为______．
【答案】（1）钝角；30；平行四边形的定义
（2）见解析 （3）5或
【解析】
【分析】（1）根据 ，得，判定是一个钝角，求解即可；
根据得，利用三角形内角和列式解答即可；
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，解答即可；
（2）根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等量代换，差直角三角形的定义解答即可；
（3）分和两种情况，利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
解： ，
，
是一个钝角，
故是一个钝角三角形；
，
，
，
，
，
，
解得；
∵四边形是平行四边形，
∴，（依据：平行四边形的定义）；
【小问2详解】
证明：是差直角三角形．
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，（依据：平行四边形的定义）
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
是差直角三角形．
【小问3详解】
解：，，，
，
点E在边上，且，
是一个钝角，
是差直角三角形，
或，
当时，此时，
，
，
过点E作于点F，根据题意，得，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴．
当时，此时，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
综上所述，的长为5或3.5．
22. 综合与实践
问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形．
工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题．
方案分析：在图1中，具体结构与数据如下：
①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为．
②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽．
建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式；
问题解决：
（2）如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）．
①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径；
②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）①圆形校徽的直径为；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可；
（2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可．
【小问1详解】
解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上，
且点、、、、，
故假设对应的函数表达式为，
将点、代入 ，
得，解得，
故对应的函数表达式为．
【小问2详解】
解：①令对应的函数表达式为，
当时，对应的函数值为．
∴，
结合点，得，
故可得方程组，解得，
∴对应的函数表达式为，
故点，
∴．
②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过，
即，
当时，得，
解得，
∴两个摄像头之间水平距离的最小值为．
23. 综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，．
（1）操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕分别交，边于点E，F，点A的对应点为点G．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，小慧沿过点C的直线折叠该矩形纸片，使点B的对应点H落在对角线的延长线上，折痕交线段于点M，交于点N，点A的对应点为点G．
①求此时线段的长；
②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点P，交线段于点Q．请你借助备用图进行分析，直接写出是等腰三角形时，点D到的距离．
【答案】（1），理由见解析
（2）①；②或2或
【解析】
【分析】（1）矩形的性质和折叠的性质即可得出；
（2）①由折叠可得，垂直平分于点，进而得出，结合勾股定理即可求出的长；②将矩形沿着平行于的直线继续折叠，如图所示，矩形与矩形关于对称，即矩形与矩形是全等图形，可得出，是等腰三角形等价于是等腰三角形，然后分类讨论即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由折叠可得，，
∴．
【小问2详解】
解：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，垂直平分于点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
②将矩形沿着平行于的直线继续折叠，如图所示，矩形与矩形关于对称，即矩形与矩形是全等图形，点对应点，点对应点，点对应点，点对应点，连接，
由对称可得，，，，点D到的距离即为的长度，
∴是等腰三角形，即是等腰三角形，
当时，
∴，
当时，由矩形的对角线相等且互相平分可得，此时为中点，
∴，
当时，过点作，
∴，
由三角形的面积公式可得，，
∴，
∴，
∴．
综上：点D到的距离为2或或．县区
迎泽区
小店区
阳曲县
古交市
最低气温
…
0
1
2
…
…
0
无意义
*
无意义
*
…
A
B
C
D
E
F
队员
统计量
甲
乙
丙
丁
平均数
p
中位数
m
方差
n
差直角三角形
【研究背景】
在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形．
【定义对象】
有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形．
由定义可知，差直角三角形一定是______三角形．
【定义运用】
定义——性质：
问题1：已知差直角三角形ABC中，，则的度数为______°．
定义——判定：
问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F．
若，则图中是差直角三角形．
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，（依据： ▲ ）
∴，．
∵，
∴……．