2026年辽宁省抚顺市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年辽宁省抚顺市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共29页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的终边经过点，则的值是
A．1或B．或C．1或D．或
2．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为
A．B．C．D．
3．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A．B．3C．D．2
4．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
6．的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
7．已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．-4B．-2C．0D．4
8．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（ ）
A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]
9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A．B．C．D．
10．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
11．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
12．给出下列三个命题：
①“”的否定；
②在中，“”是“”的充要条件；
③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设、满足约束条件，若的最小值是，则的值为__________.
14．已知向量，满足，，，则向量在的夹角为______.
15．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.
16．在平面直角坐标系中，若函数在处的切线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值．
18．（12分）设函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，().
（i）求的取值范围；
（ii）求证:随着的增大而增大.
19．（12分）设函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设为的三个内角，若，求的值；
20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且.
（1）求证：平面ACE；
（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？
21．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC面积的最大值．
22．（10分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求锐二面角的大小．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据三角函数的定义求得后可得结论．
【详解】
由题意得点与原点间的距离．
①当时，，
∴，
∴．
②当时，，
∴，
∴．
综上可得的值是或．
故选B．
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．
2．B
【解析】
推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．
【详解】
解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，
基本事件总数，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28恰好在同一组的概率．
故选：B．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．D
【解析】
根据抛物线的定义求得，由此求得的长.
【详解】
过作，垂足为，设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
4．A
【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】
由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，
所以抛物线的准线，从而轴，所以，

即
故双曲线的离心率为
故选A
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.
5．B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
6．C
【解析】
利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.
故选：C
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
7．B
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数，
，即，表示直线与轴截距的相反数，
根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值为.
故选：.
本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.
8．B
【解析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
【详解】
画出不等式组所表示的可行域如图△AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
9．C
【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r，则，又，
故，所以，.
故选：C.
本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.
10．D
【解析】
先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
,
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
,
再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为
,
，
可得函数图象的一个对称中心为，故选D.
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
11．D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
12．C
【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.
【详解】
对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;
对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．
故假命题有①③.
故选:C
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由得，显然直线过时，最小，代入求出的值即可．
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，则点.
由得，显然当直线过时，该直线轴上的截距最小，此时最小，
，解得.
故答案为：．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
14．
【解析】
把平方利用数量积的运算化简即得解.
【详解】
因为，，，
所以，∴，
∴，因为
所以.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．
【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．
【详解】
由是单位向量．若，，
设，
则，，
又，
则，
则，
则，
又，
所以，（当或时取等）
即的取值范围是，，
故答案为：，．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16．
【解析】
利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.
【详解】
解：由条件得到
又
所以函数在处的切线为,
即
圆方程整理可得：
即有圆心且
所以圆心到直线的距离,
即.解得或,
故答案为：．
本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）
【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;
(2) 由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可.
【详解】
（1）直线的普通方程为，即，
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，，，
而，则，
即，
故直线l的普通方程为，
曲线C的直角坐标方程
（2）点在直线l上，且直线的倾斜角为，
可设直线的参数方程为：（t为参数），
代入到曲线C的方程得
，，，
由参数的几何意义知．
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.
18．（1）见解析；（2）（i）（ii）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论即可求解；
（2）（i）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii）设，通过转化，讨论函数的单调性得证.
【详解】
（1）因为，所以
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
当时，的解集为，的解集为，
所以的单调增区间为，的单调减区间为；
（2）（i）由（1）可知，当时，在上单调递增，至多一个零点，不符题意，当时，因为有两个零点，所以，解得，因为，且，所以存在，使得，又因为，设，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以存在，使得，综上，；（ii）因为，所以，因为，所以，设，则，所以，解得，所以，所以，设，则，设，则，所以单调递增，所以，所以，即，所以单调递增，即随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，命题得证.
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）将，利用三角恒等变换转化为：，，再根据正弦函数的性质求解，
（2）根据，得，又为的内角，得到，再根据，利用两角和与差的余弦公式求解，
【详解】
（1），
，
，
，
即的值域为；
（2）由，得，
又为的内角，所以，
又因为在中，，
所以，
所以.
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
20．（1）证明见解析；（2）当时，AC与平面PCD所成的角为.
【解析】
（1）连接交于，由相似三角形可得，结合得出，故而平面；
（2）过作，可证平面，根据计算，得出的大小，再计算的长．
【详解】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
，，
又平面ACE，平面ACE，
平面ACE.
（2），，
平面PAD
作，F为垂足，连接CF
平面PAD，平面PAD.
，有，，平面
就是AC与平面PCD所成的角，，
，，
，
，
时，AC与平面PCD所成的角为.
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．
21．（1）y2＝6x（2）．
【解析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.
【详解】
（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，
y0，kAB，
则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①
可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②
代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，
由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，
|AB|
，
又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，
所以S△ABC|AB|h•
，
当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），
或A（，），B（，）时等号成立，
所以S△ABC的最大值为．
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.
22．（1）；（2）.
【解析】
(1) 以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.
(2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.
【详解】
解：在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点
所以平面取的中点的中点
所以两两垂直,故以点为坐标原点,
以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．
设底面正方形边长为
因为
所以
所以,
所以,
设平面的法向量是,
因为,,
所以,,
取则,
所以
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的法向量是,
因为,,
所以,
取则
所以,
由知平面的法向量是,
所以
所以,
所以锐二面角的大小为．
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.