2026届湖南省湘西土家族苗族自治州高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届湖南省湘西土家族苗族自治州高考临考冲刺数学试卷（含答案解析），共5页。试卷主要包含了已知复数，则，已知双曲线，已知等式成立，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若，则的最小值为（ ）
参考数据：
A．B．C．D．
4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知等式成立，则（ ）
A．0B．5C．7D．13
8．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ）
A．56B．72C．88D．40
9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知集合，则=（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
14．设，满足条件，则的最大值为__________.
15．复数为虚数单位）的虚部为__________．
16．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.
18．（12分）在中，内角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.
19．（12分）已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.
20．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
（1）求的极值点与极值.
（2）当，时，证明：.
21．（12分）已知函数
（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵，∴，解得.
故选：B
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
2．B
【解析】
画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.
【详解】
由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.
故选：B
本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.
3．A
【解析】
首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.
【详解】
由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.
故选：A
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
4．C
【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】
A：为非奇非偶函数，不符合题意；
B：在上不单调，不符合题意；
C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
D：为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C.
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
5．B
【解析】
利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故.
故选：B
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
6．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．D
【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.
【详解】
由可知：
令，得；
令，得；
令，得，
得，，而，所以
.
故选：D
本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.
8．B
【解析】
，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.
【详解】
由已知，，，故，解得或（舍），
故，.
故选：B.
本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.
9．C
【解析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.
【详解】
如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线
平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面
内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因
为，所以，从而，故④正确.
故选：C.
本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.
10．B
【解析】
为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值
【详解】
，，，
，同理
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角
，又
，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则，设
，整理可得：
在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，
为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值
此时
故选
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
11．C
【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：
则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，
由中位线定理可得且，
所以即为与直线所成的角，
，
由余弦定理可得
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故选：C.
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.
12．D
【解析】
先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求
【详解】
，所以 .
故选：D
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.
【详解】
解：，
所以应从分以上的试卷中抽取份.
故答案为：.
本题考查正态分布曲线，属于基础题.
14．
【解析】
作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.
【详解】
作出可行域如图所示
由得，则是直线在轴上的截距.
平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.
解方程组，得，.
.
故答案为：.
本题考查简单的线性规划，属于基础题.
15．1
【解析】
试题分析：，即虚部为1，故填：1.
考点：复数的代数运算
16．
【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.
【详解】
根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，
故，解得
从而离心率.
故答案为：
本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程；
（2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离.
【详解】
（1）易知点，又，所以点，则直线的方程为.
联立，解得或，所以.
故抛物线的方程为；
（2）设的方程为，联立有，
设点，，则，所以.
所以，解得.
所以直线的方程为，恒过点.
又点，故当直线与轴垂直时，点到直线的最大距离为.
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
18．（1）（2）
【解析】
（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；
（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.
【详解】
解：（1）
整理得
解得或(舍去)
又
；
（2）由题意知
，
又，
，
又
周长的取值范围是
本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.
19．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；
（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
（1），，
，当时，，，，则函数在上单调递增；
当时，，，，则函数在上单调递减；
当时，，，，则函数在上单调递增.
，，，，.
所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.
综上所述，函数在区间上的零点的个数为；
（2），.
由（1）得，在区间与上存在零点，
所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，
且满足即，，
，
又，即，，
，，，
由在上单调递增，得，
再由在上单调递减，得
，即.
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
20．（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为.
，由已知得，解得
∴，
令，得
令，得，∴在上单调递增.
令，得∴在上单调递减
∴的极小值点为，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，∴，
令，
即
∵，， ∴恒成立.
∴在上单调递增
又，∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴， 即
∴
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.
（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.
【详解】
（1），
①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；
②当时，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数。
（i）当即,所以符合题意，
（ii）当即 时，
因为，
故存在,所以 不符题意
（iii）当 时，
因为，
设，
所以,单调递增，即，
故存在，使得，不符题意；
综上，的取值范围为。
（2）。
①当时，恒成立，所以 单调递增，所以，
即符合题意；
②当 时，恒成立，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，且当时，。
即在上单调递减，所以，不符题意。
综上，的取值范围为.
本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.
22．（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析
【解析】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．
（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
【详解】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，
则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，
其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：
2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，
∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．
基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，
再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，
∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，
列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，
X的分布列如下表：
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，
三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，
这个结果发生的可能性很小，
∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P