上海市杨浦区2025-2026学年九年级（下）段考数学试卷（3月份）(含解析)

这是一份上海市杨浦区2025-2026学年九年级（下）段考数学试卷（3月份）(含解析)，共7页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．2026的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于的方程一定有实数解的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果，，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
4．在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形图
C．斐波那契螺族线D．科克曲线
5．如果正十边形的边长为，那么它的半径是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ．
8．分解因式： ．
9．方程的解为： ．
10．如果正比例函数的函数值随的增大而减小，且它的图象与反比例函数的图象没有公共点，那么的取值范围是 ．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
12．一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为 ．
13．如图，△中，过重心的直线平行于，且交边于点，交边于点，如果设，，用，表示，那么 ．
14．半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于 ．
15．如图，已知在正方形网格中，点、、、在小正方形的顶点上，线段与线段相交于点，那么 ．
16．如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 ．
17．我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点与点是某反比例函数图象上的等距点，那么点、之间的距离是 ．
18．如图，在矩形中，过点的圆交边于点，交边于点，已知，，．如果以点为圆心，为半径的圆与圆有两个公共点，那么的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中，射线与函数的图象交于点，点在函数的图象上，且轴，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）连接，如果，求△的面积．
22．（10分）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
23．（12分）如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过、两点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）设与交于点，联结并延长，交的延长线于点，若，求证：．
24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，判断△的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以、为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；
（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求△的面积．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．2026的相反数是（ ）
A．B．C．D．
解：2026的相反数是．
故选：．
2．下列关于的方程一定有实数解的是（ ）
A．B．C．D．
解：．中△，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
．中当时，方程无解，不符合题意；
．由知此方程组无解，不符合题意；
．有增根，此方程无解，不符合题意；
故选：．
3．如果，，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
解：，
一次函数的图象经过第二、四象限．
又时，
一次函数的图象与轴交于正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：．
4．在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形图
C．斐波那契螺族线D．科克曲线
解：、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
5．如果正十边形的边长为，那么它的半径是（ ）
A．B．C．D．
解：设是圆内接正十边形的边长，
连接、，过作于，
则，
，，
，
故选：．
6．如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
解：分别取、中点和，连接，
是梯形的中位线，
，
分别以、为直径的圆的圆心是和，
和的圆心距，
的半径，的半径，
，
这两圆的位置关系是外离．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ．
解：，
，
．
8．分解因式： ．
解：，
，
．
9．方程的解为： 1 ．
解：原方程可化为：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，
故答案为：1．
10．如果正比例函数的函数值随的增大而减小，且它的图象与反比例函数的图象没有公共点，那么的取值范围是 ．
解：的函数值随的增大而减小，
而的图象与反比例函数的图象没有公共点，
综合以上可知：．
故答案为．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 且 ．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
12．一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为 ．
解：由题意知：，
方差
标准差是方差的平方根为．
故答案为：．
13．如图，△中，过重心的直线平行于，且交边于点，交边于点，如果设，，用，表示，那么 ．
解：连接，延长交于．
是△的重心，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为．
14．半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于或 ．
解：如图，设两圆的圆心分别为，，公共弦，，，，
根据相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦，
，，
，
，
①当公共弦在圆心的同侧时，圆心距，
②当公共弦在两个圆心之间时，圆心距，
故这两个圆的圆心距是或．
故答案为：或．
15．如图，已知在正方形网格中，点、、、在小正方形的顶点上，线段与线段相交于点，那么 3 ．
解：如图，取格点，连接、，
设网格中的小正方形的边长为1，
则，
．
由网格可以看出：，．
．
同理，．
．
．
．
在△中，．
．
故答案为：3．
16．如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 ．
解：，，
，
，
，
．
．
，
，
．
．
故答案为：．
17．我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点与点是某反比例函数图象上的等距点，那么点、之间的距离是 ．
解：由题意可知，与关于直线对称，
点，
，
，
故答案为．
18．如图，在矩形中，过点的圆交边于点，交边于点，已知，，．如果以点为圆心，为半径的圆与圆有两个公共点，那么的取值范围是 ．
解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
则是的直径，
取的中点，连接，作，
则点是的中点，
，
是△的中位线，
，
，，
圆与圆有两个公共点，
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）解方程组：．
解：由（2）得．
或．
原方程组可化为
解这两个方程组，得原方程组的解为（2分）
另解：由（1）得．（3）（2分）
把（3）代入（2），得．（2分）
整理，得．（2分）
解得，．（2分）
分别代入（3），得，．（1分）
原方程组的解为（1分）
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中，射线与函数的图象交于点，点在函数的图象上，且轴，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）连接，如果，求△的面积．
解：（1）轴，点的坐标为，
点的纵坐标为2，
点在函数的图象上，
，
，
，
设直线的表达式为，
把代入，得，
，
直线的表达式为；
（2）如图，延长交轴于点，作轴于点，轴于点，
，，
，
，，
轴，，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
，
，
轴，
△△，
，
，
△，
．
22．（10分）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
解：（1）本次共抽取了（名学生的模具设计成绩．
将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，
成绩的中位数是（分．
在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为．
故答案为：50；83.5；．
（2）组的人数为（人．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）（人．
估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于8（0分）的人数约720人．
（4）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
23．（12分）如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过、两点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）设与交于点，联结并延长，交的延长线于点，若，求证：．
【解答】证明：（1），
，
平分，
，
，，
，
是圆直径，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是， ；
（2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，判断△的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以、为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）矩形的顶点坐标分别是，，，，
矩形的“梦之点” 满足，，
点，是矩形的“梦之点”，点不是矩形的“梦之点”，
故答案为：，；
（2）△是直角三角形，
理由：点，是抛物线上的“梦之点”，
，
即，
解得，，
当时，，当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
△是直角三角形；
（3）存在，理由如下：
设，
以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
，
，
解得：，
当时，；
当时，；
点坐标为或．
，，
，或，．
25．（14分）已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；
（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求△的面积．
解：（1），
，，
又，
，即，
，
，
，
，
，
，
则；
（2）如图1，连接，
为直径，，
，
，
，
、，
△△，
、，
又，
是△的中位线，
设，则，
，
，
解得：，
则、，
，
，
，
则；
（3）如图2，
是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，
、，
则，
解得：或，舍去．
、，
，
，
，
则，
．
调查主题
“逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的
通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象
某校学生模具设计成绩
调查方式
抽样调查
数据收集与表示
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．
下面给出了部分信息：
其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
调查主题
“逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的
通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象
某校学生模具设计成绩
调查方式
抽样调查
数据收集与表示
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．
下面给出了部分信息：
其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 50 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）