湖南师范大学附属中学2026届高三下学期月考（七）数学试卷（含解析）

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1. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知幂函数的定义域为，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
3. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 放射性元素特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）
A. 贝克B. 贝克C. 贝克D. 贝克
6. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A. -126B. -70C. -56D. -28
7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数恰有三个零点时，关于的函数的零点个数为（参考数据：）（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8
11. 已知（且），若，且（e为自然对数底数），则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，且，则的取值范围是________．
13. 在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________．
14. 某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，，，求的值；
（2）若偶函数与的图象关于直线对称，且在上单调递增，求的值．
16. 在平面四边形ABCD中，为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，将沿向上翻折至，其中P为动点．
（1）若，证明：平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值取到最大值时，求点到平面的距离．
17. 已知椭圆左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线与椭圆C交于两点，为坐标原点，且，的斜率之积为，试判断的面积是否为定值，并说明理由．
18. 已知函数的定义域为，区间，当时，如果，则称函数是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递增．
（1）证明：函数是凹函数；
（2）若函数是上凹函数，证明：对于任意的和任意的，总有；
（3）求证：，其中，均为正数．
19. 已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由．
1. 【答案】C
【详解】因为命题为全称命题，则其否定为，.
故选：C
2. 【答案】D
【详解】因为为幂函数，
所以，即，解得，或，
所以或
又函数的定义域为，所以，，
所以，
故选：D
3. 【答案】B
【详解】由题意知，，，
所以，
故选：B.
4. 【答案】D
【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为
设线段的中点为，则到准线的距离为：，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、，
根据梯形中位线定理，可得，
再由抛物线的定义知：，，
．
故选：D.
5. 【答案】C
【详解】求导得：，
因为，
所以，所以
所以，
故选：C
6. 【答案】C
【详解】只有第5项的二项式系数最大，
，的展开式的通项为，
展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第5项的二项式系数最大，
因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，
系数为.
故选：C
7. 【答案】A
【详解】设双曲线上存在以为中点弦，其中，（）；
由中点坐标性质，得：
因为点在双曲线上，满足双曲线方程：，
用两式作差：
利用平方差公式展开：
两边同时除以（因，分母不为0），并代入，：
设弦的斜率为，化简得：
由点斜式，弦的直线方程为：
整理为斜截式：
将直线方程代入双曲线方程，消去：
展开并通分（两边同乘）：
展开括号并整理：
合并同类项，得到关于的一元二次方程：
双曲线存在以为中点的弦的充要条件是：上述一元二次方程有两个不同的实根（对应弦的两个端点），且两个实根对应的点在双曲线上，反之，弦不存在时，方程无两个不同实根，分两种情况讨论：
情况1：方程不是一元二次方程（二次项系数为0）
令二次项系数，解得或，
因题目要求，故取，
此时方程退化为一次方程：
显然无实根，即不存在对应的弦，符合题意。
情况2：方程是一元二次方程（二次项系数不为0）
此时（即且），需方程无两个不同实根，即判别式，
对于一元二次方程，判别式，
对比方程，记：
计算判别式：
展开并化简：
提取公因式 ：
化简括号内的表达式：
展开并合并同类项：
因此，判别式最终化简为：
要求，结合（题目限定正实数），，，故不等式等价于：
令（），则不等式变为：
解此一元二次不等式，得：
即，结合，开方得：；
情况1（）和情况2（）合并，得正实数的取值范围为：.
故选：A
8. 【答案】C
【详解】，
当时，恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
当时，为偶函数，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
易得函数为偶函数，由此作出函数的大致图象如图1所示.
由函数恰有三个零点可得，
由得，
所以将函数的零点个数问题转换为函数的图象与直线的交点个数问题，
易得直线与轴的交点坐标为在点的左边，
又，可求得函数斜率为的切线方程为：
，
因为，所以的图象与直线必有2个交点，如图2所示，
即的零点有2个.
故选：C.
9. 【答案】BD
【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，
所以，可得，故B正确；
又，所以，故A错误；
由，所以，故C错误；
，故D正确.
故选：BD
10. 【答案】ACD
【详解】对于A，若，由大角对大边得，
由正弦定理得，
故，故A正确；
对于B，由向量数量积的定义得，
则，即为锐角，但不确定是否是锐角，
可得不一定是锐角三角形，故B错误，
对于C，因为，
所以，得到，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，则为钝角三角形，故C正确，
对于D，由题意得，
则，可得，
即，故，
可得，
而锐角三角形，故，
所以，令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
11. 【答案】ACD
【详解】由，可知或，
又，因同正，两边同除以可得，
令，则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当且，此时与题意不符合；
当且时，，故．
令，则，
当时，，在上单调递减，
又，所以，所以，
所以，故A正确；
令，则，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因为，所以当时，，
即，即，故B错误；
令，则，
记，则，
所以，则，所以在上单调递增，
所以，即，即，
所以，即，故C正确；
令，，
则，
令，，则，即在上单调递增，
所以，，在上单调递增，
所以，即，故D正确．
故选：ACD．
12. 【答案】
【详解】集合是直线族上的所有点构成的集合，
集合是以原点为圆心，半径为的圆上的所有点构成的集合.
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离
因为，所以直线与圆没有交点，故，
即，又，所以.
故答案为：
13. 【答案】
【详解】
已知，即、均为边长为的等边三角形，
根据等边三角形面积公式（为边长）：，
因此，两个固定面的面积和为：；
取的中点，连接、，
由等边三角形“三线合一”的性质：，（三线合一），
因此是二面角的平面角，记（），
在中，，，
由勾股定理：
连接，在中，由余弦定理可得
在中，已知，，，
再由，得 ，
因此：
化简得：
由对称性可知，因此两个可变面的面积和为：
令，由得，
则需最大化二次函数：
该二次函数的二次项系数，开口向下，对称轴为：
对称轴 ，代入得 的最大值：
因此，可变面面积和的最大值为：
三棱锥表面积 ，代入最大值得：
三棱锥表面积的最大值为.
故答案为：.
14. 【答案】13
【详解】记文件最终成功恢复为事件，则由全概率公式，
.
根据二项式定理，因此有：
，，
所以.
令，得，
所以.
所以的最小值为13.
故答案为：13.
15.
【答案】（1）；
（2）1.
（1）
由题意得
，
当时，，而，则，
即，因为，所以，
此时，由同角三角函数的基本关系得，
而，
由两角和的正弦公式得
，故.
（2）
因为与的图象关于直线对称，
所以，
因为是偶函数，所以当时，取得最值，
此时，解得，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，解得，
则当时，，此时符合题意.
16.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
（1）
为边长为2的正三角形，，
为等腰三角形且，，
，，
，，
在中，，，为等腰三角形，
取中点，连接，,
，平面，平面，，平面.
（2）
，平面，以为原点，分别以为轴，
过作平面的垂线作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，
，，，设，
为边长为2的正三角形，，，
，设，则，
，
平面的法向量为，
设直线AP与平面ABD所成的角为，
则，
设，
设，，，
，，，
转化为，
，，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，，，，
即时，，则，
则，即，即，
则直线AP与平面ABD所成角的正弦值取到最大值为时，，
，则，
设点A到平面BPD的距离为，
点到平面ABD的距离为，
，，
，
，
，
点到平面的距离为.
17.
【答案】（1）
（2）定值，理由见解析
（1）
由题意可知的周长为，
即，则，
又，则，
所以，
所以椭圆C标准方程是：.
（2）
定值，理由如下
设，
由题意，即，
由，两式相乘可得，
即，
配方可得：，
所以，
则，
又直线的方程为，
点到直线的距离，
所以的面积，
即的面积为定值.
18.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
（1）
，定义域为，
，
设，则，
，，，
在上是单调递增函数，即在上是单调递增函数，
根据题中凹函数的充要条件，可知函数是凹函数.
（2）
设，，不妨设，
，，
，
，
，
，，
由凹函数的定义，，
，，
，，
转化为，
转化为，
，，
转化为，
，
，
，
，
.
（3）
要证明，即证明，
即证明，
即，
即，
即，
即，
当时，，；
当时，，；
综上可得，，其中，均为正数.
19.
【答案】（1），
（2）
（3）不存在符合条件的正整数，理由见解析
（1）
设，.
由题意，是公差为2的等差数列，因此；
是首项为4的等比数列，设公比为，因此.
由数列和差关系，可得：
代入已知条件、列方程：
，，代入，得；
，，代入，得.
联立方程解得，，因此：
，，
于是，.
（2）
已知，，因此：
.
设数列的前项和为，则：
(1)-(2)错位相减：
，
令：
，
两式相减：
，
故，因此：
，
于是，，
即.
（3）
对：，因此是单调递增的正项数列，
即对任意正整数成立；
对：，因此是单调递减数列，
且，时，即.
若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有：
，即，
，
为正整数，且，因此是2的正整数次幂，
仅当时，，此时，解得.
验证该解：四个数为，，，，
按从小到大排列为，相邻项的差不相等，无法构成等差数列.
其余正整数均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数.