内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试高二数学（含解析）

这是一份内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试高二数学（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 椭圆的长轴的长为（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的方程求出，即可得出长轴长.
【详解】由椭圆可知，，
即，，
所以椭圆的长轴长为，
故选：A
2. 已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解.
【详解】由，解得，
即两条直线的交点坐标为，
所以两条直线的交点所在的象限是第二象限，
故选：B
3. 可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得，，，则离心率为.
4. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ）
A. 6B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比.
【详解】由，，解得或，
因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以.
故选：B.
5. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A. 22B. 24C. 28D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解.
【详解】由可得，
解得，
故，
故选：C
6. 已知等差数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列下标和的性质及诱导公式即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，
所以，
所以.
故选：.
7. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，
故展开式中的常数项为.
8. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ）
A. 64B. 128C. -64D. -128
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可.
【详解】由可知正态曲线对称轴为，
因为，
所以，解得，
可得二项式为，
令，则，
所以展开式中各项系数之和为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D．
【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，
所以，A正确，C错误.
因为，且，，
所以，B正确.
，D错误.
故选：AB．
10. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所给的称为三角形数，记三角形数构成数列，其前项和为，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，根据等差数列的求和公式得到，故；BCD选项，利用通项公式得到B正确，CD错误.
【详解】A选项，由题得，……，
根据等差数列的求和公式可得，则，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，而，故，C错误；
D选项，，D错误．
故选：AB
11. 在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. AD∥平面B. ED∥C. BC⊥平面D. ED⊥
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A，利用正三棱台上下底面平行的性质，结合线面平行判定证明 ；对 B，由与异面可判断与为异面直线；对C，由线面垂直判定定理可证⊥ 平面 ，用基底表示，由数量积判断D.
【详解】对于选项A：正三棱台的上下底面互相平行，即平面平面，又平面，平面，
根据面面平行的性质，可得平面，A正确；
对于选项B：在侧棱上，在上，因为是异面直线，所以与是异面直线，B错误；
对于选项C：是正三角形，是中点，故；
因为正三棱台是由正三棱锥利用平行于底面的截面截去小三棱锥得到，所以,
因为、都在平面内，
且垂直于平面内两条相交直线、，故平面，C正确；
对于选项D：，设，
则
，因为、都是锐角，所以，D错误.
本题围绕正三棱台的结构特征，综合考查面面平行→线面平行的判定、异面直线的位置关系、线面垂直的判定定理，以及向量法判断线线垂直，是立体几何中 “平行与垂直” 核心考点的典型应用.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知各项均为正数的数列是等差数列，且，，则的通项公式为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列的性质，求得，得到，再由，求得，进而得到数列的通项公式.
【详解】由等差数列的性质，可得，
所以，可得的公差为，
又由，可得，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，代入直线中，可得的值，利用离心率的计算方法可得答案.
【详解】由椭圆方程可知，长轴在 轴上，
且 ，即焦点为 ，
直线 经过一个焦点，代入焦点坐标：
若焦点为 ，则 ，
解得 ，即 ；
若焦点为 ，则 ，无解；
故 ，此时 ，长半轴长为，
离心率 .
因此，椭圆 的离心率为 .
故答案为：
14. 某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担_______的责任.（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求出，即可得解.
【详解】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件，
则，
所以，
所以第四条流水线应该承担约的责任.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知焦距为10的椭圆C：过点.
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程.
【答案】（1）椭圆的标准方程：，离心率为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，列方程组，求的值即可.
（2）利用椭圆的定义，判断的形状，再求其外接圆方程.
【小问1详解】
由题意：.
所以椭圆的标准方程为，其离心率为.
【小问2详解】
如图：

因为点在椭圆上，所以，又，
所以，，又，
因为，所以为直角三角形.
所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆，
其方程为.
16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得；
（2）借助等差数列求和公式与作差法计算即可得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，有，即，
由，有，将代入得，
则或，又数列的公差不为，
故，则，
故数列的通项公式；
【小问2详解】
，
则，又，故使成立的的最大值为.
17. 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程.
（2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率，可得，即.
又因为焦点到渐近线的距离为，
根据点到直线距离公式，而，所以，则.
由且，，可得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得.
因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以.
由，解得.
对于，即，解得.
由，（结合），所以，解得.
由，解得，即或.
综合以上条件，取交集得.
则实数k的取值范围为.
18. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，结合线面平行的性质可完成证明；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后结合空间向量知识可得答案.
【小问1详解】
因，平面，平面，
则平面.又平面，平面平面，
则；
【小问2详解】
由题意，以为原点，以DA方向为轴，以DC方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.
设.
，
由，且，可知，
，
则平面的法向量；
，
则平面的法向量；
.
即平面与平面所成角的余弦值为.
19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【小问1详解】
根据频率分布直方图得：
．
【小问2详解】
由题意知，即，
所以．
【小问3详解】
由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
0
1
2
3