2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷（含答案）

这是一份2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷（含答案），文件包含沪教牛津版八年级下册Unit4Artsandheritage知识清单背诵版docx、沪教牛津版八年级下册Unit4Artsandheritage知识清单默写版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱B. 长方体C. 圆锥D. 四棱柱
4. 如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ）
A. B. C. D.
7. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
8. 一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（ ）
A 25B. C. D.
9. 在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A. B. C. D.
10. 用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13. 计算：________．
14. 若式子有意义，则的取值范围是________．
15. 分解因式：________．
16. 已知，是关于一元二次方程的两个根，则________．
17. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________．
18. 计算：________．
19. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________．
20. 如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________．
21. 观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）．
22. 在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是________．
三、解答题（本题共6个小题，共64分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23. 尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为．
24. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图．
（2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
25. 自主研发和创新让我国科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元．
（1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元．
（2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是________．
②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________．
26. 如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求线段的长．
27. 综合与实践
如图，在边长为8的正方形中，作射线，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形，连接交射线于点，连接．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学眼光观察】
（1）请判断与的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若，请你用含的代数式直接写出的正切值________．
【用数学的语言表达】
（3）设，正方形的面积为．请求出与的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
28. 综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

（1）求抛物线的函数解析式．
（2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
（3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
二〇二五年绥化市初中学业水平考试
数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键；
根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答.
【详解】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是；
故选：D.
2. 据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将万写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：万．
故选C．
3. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱B. 长方体C. 圆锥D. 四棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键；
由题目给出的三视图可知，这个几何体是圆柱，即得答案.
【详解】解：根据题意可得：这个几何体是圆柱；
故选：A.
4. 如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键．
由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选C．
5. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可．
【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解．
【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和，
相似比为，
较大三角形与较小三角形的周长比为：，
它们的周长之和为，
较小三角形的周长为：，
故选：B．
7. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可．
本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化．
【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为．
原平均数总和为 ，平均数为．
去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意．
方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意．
原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意．
原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变．
故选： D．
8. 一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（ ）
A. 25B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键．
如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由勾股定理得，，
∴矩形的面积．
故选：B．
9. 在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
10. 用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键．
设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程．
【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．
∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为，
∴，
即．
故选：C．
11. 如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可．
【详解】解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
12. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴直线为，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方，
∴抛物线与直线两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③正确；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13. 计算：________．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可．
【详解】解：
故答案为：0
14. 若式子有意义，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：要使式子有意义，
即，
∴．
故答案为：．
15. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
16. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
17. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键．
根据坐标与图形的性质进行解答即可．
【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，，
则与的相似比为，
故答案为：．
18. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
19. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________．
【答案】##米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡的斜坡坡度，
∴，而，
即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，（米），
故答案为：．
20. 如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
连接，根据两点之间线段最短可知的最小值为，再结合菱形的性质得，然后根据勾股定理得，可得，结合等腰三角形的性质得，，接下来根据勾股定理得，此题可解．
【详解】解：如图，连接，
作点P关于直线对称点，则，点是的中点，
∴．
根据两点之间线段最短，可知的最小值为，
∵四边形是菱形，
∴，
根据勾股定理，得，
∴．
∵点是的中点，
∴，．
在中，．
所以的最小值为．
故答案为：．
21. 观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．
详解】解：第一个图形中有个三角形；
第二个图形中有个三角形；
第三个图形中有个三角形；
第四个图形中有个三角形；
；
第n个图形中有个三角形．
故答案为：
22. 在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是________．
【答案】6或8或9
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答．
【详解】解：过点D作交于点E，
①当时，如图（1），
∵是等边三角形，，
∴，，即是等边三角形，
∴
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
②当时，如图（2）
同理可得，，
∴，即，
∴，
∴．
③当时，如图（3）
同理可证，
∴
∴．
∴．
④当时，如图（4）
同理可证，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
三、解答题（本题共6个小题，共64分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23. 尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为．
【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形的面积与扇形半径之比为，只要画出或的中点即可．方法一：作扇形半径的垂直平分线找到中点，然后以为半径作弧交半径于点．方法二：扇形的圆心角为，根据含的直角三角形是斜边的一半，过点作出的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]
作法一：如图所示
①连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧交于点，标注出点
②画直线
③直线即为所求
作法二：如图所示
①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，标注出点.
③画直线，直线即为所求
[拓展探究]
扇形的面积与扇形的面积比为，设扇形的半径为，扇形的半径为
扇形的面积∶扇形的面积
只要画出或的中点即可
作法一：
①作的垂直平分线交于点，标注出点
②以为圆心长为半径画弧，交于点，标注出点
③弧即为所求．（同理作的垂直平分线也可得分）
作法二：
过点作出的垂线或者过点作的垂线，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．（依据：含的直角三角形是斜边的一半）
24. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答：
（1）这次抽查志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图．
（2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
【答案】（1）40，，见解析
（2）见解析，
【解析】
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键．
（1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可；
（2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可．
【小问1详解】
解：这次抽查的志愿者共有：（人），
扇形统计图中的圆心角度数是，
C组的人数为（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：40，
【小问2详解】
解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、
根据题意可以画出如下的树状图
列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种.
25. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元．
（1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元．
（2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是________．
②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________．
【答案】（1）购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元
（2）当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元
（3）①；②或或
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题：
（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；
（3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．
【小问1详解】
设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元
由题意得
解得
答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元
【小问2详解】
设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元
由题意得：
随的增大而减小
购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍，
解得
取正整数
当时，取最小值，（元）
此时
答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元
【小问3详解】
①设的解析式为
将点，代入
得
解得
所以，的解析式为，
当时，
所以，甲车的速度为
②的解析式为
将点代入
得，解得
所以的解析式为
当函数的图象在函数上方时
可列方程
解得
当函数的图象在函数下方时
可列方程
解得
当甲车到达地，乙离目的地时，
可列方程
解得
综上所述，的值为：或或．
26. 如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；
（2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案．
【小问1详解】
方法一：
证明：过点作于点，
，
，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
方法二：
证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
是的平分线，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
【小问2详解】
，为半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键．
27. 综合与实践
如图，在边长为8的正方形中，作射线，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形，连接交射线于点，连接．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断与的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若，请你用含的代数式直接写出的正切值________．
【用数学的语言表达】
（3）设，正方形的面积为．请求出与的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
【答案】（1），理由见解析；
（2）；
（3）与的函数解析式为．
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质，得出线段之间的数量关系和角之间的数量关系，综合应用全等三角形的判定和性质即可确定与的位置关系；
（2）由正方形的性质，可得线段之间的位置关系，综合应用相似三角形的判定和性质，可得边之间的比例关系，化简整理即可；
（3）根据点的位置变化，进行分类讨论，应用勾股定理即可得出每种情况下正方形的面积，对各种情况所得结果进行整理即可．
【详解】（1）解：
理由：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）解：当点在对角线上时，如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
当点在上，点在上时，如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
当点在对角线的延长线上时，如图，过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
综上所述，，
答：与的函数解析式为．
【点睛】本题考查正方形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形全等和相似的判定定理，会用分类讨论的思想方法解决问题．
28. 综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

（1）求抛物线的函数解析式．
（2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
（3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，P点坐标为，或，或
【解析】
【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答；
（3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，
【小问3详解】
解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．
【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
组别
身高分组
人数
5
4
12
9
组别
身高分组
人数
5
4
12
9