第03讲 分式（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

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考点一
分式的概念和性质
1、分式的定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2、分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
3、分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【题型1 分式有、无意义的条件】
【例1】（2024·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数x有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
x+3>0，4−3x≥0
解得−30，则x>−1，据此可得答案．
【详解】解：∵分式1x+1的值为正数，
∴x+1>0，
∴x>−1，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【变式3-2】（2024·江苏扬州·三模）能使分式6x+212x−3值为整数的整数x有 个．
【答案】8
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将6x+212x−3转化为3+302x−3，进一步求解即可．
【详解】解：6x+212x−3=6x−9+302x−3=32x−3+302x−3=3+302x−3，
∵分式的值为整数，
∴302x−3的值为整数，
∴2x−3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，
∵x也是整数，
∴2x−3=±1,±3,±5,±15，
解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=−1,x=9,x=−6；
∴能使分式6x+212x−3值为整数的整数x有8个．
故答案为：8．
【变式3-3】（2024·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足y=xx+1，则x−y+3xyxy的值等于 ．
【答案】4
【分析】由条件y=xx+1变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由y=xx+1得：xy+y=x，即x-y=xy
∴x−y+3xyxy=xy+3xyxy=4xyxy=4
故答案为：4
【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件y=xx+1，变形为x-y=xy，然后整体代入．
【题型4 分式的基本性质】
【例4】（2024·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式0.02x+0.5yx+0.004y中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ）
A．5x+125y250x+yB．20x+500y100x+4yC．2x+50y1000x+4yD．2x+5yx+4y
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：0.02x+0.5yx+0.004y
＝1000×0.02x+0.5y1000×x+0.004y
＝20x+500y1000x+4y
＝5x+125y250x+y，
故选：A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
【变式4-1】（2024·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．2+xx−yB．2yx2C．2y33x2D．2y2(x−y)2
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、2+3x3x−3y≠2+xx−y，错误；
B、6y9x2≠2yx2，错误；
C、54y327x2≠2y33x2，错误；
D、18y29x−y2＝2y2x−y2，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.
【变式4-2】（2024·河北邢台·模拟预测）把分式7a分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（ ）
A．4B．7C．21D．28
【答案】C
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘上或除以相同的数 (0除外)，分式的大小不变；分式的分母乘上4，要使分式的大小不变，分子也要乘上4，然后即可算出分子应该加上几．
【详解】解：7a=7×4a×4=284a，
28−7=21，
故选：C．
【变式4-3】（2024·河北·中考真题）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=abB．a−2b−2=abC．a2b2=abD．12a12b=ab
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
∴a+2b+2≠ab，选项A错误；
a−2b−2≠ab，选项B错误；
a2b2≠ab，选项C错误；
12a12b=ab，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
【题型5 约分、通分】
【例5】（21-22八年级上·河北沧州·阶段练习）若将分式3mm+n与4n2m−n通分，则分式3mm+n的分子应变为（ ）
A．6m2−6mnB．6m−6n
C．2m−nD．2m−nm+n
【答案】A
【分析】分式3mm+n与4n2m−n的公分母是2m+nm−n，据此作出选择．
【详解】解：分式3mm+n与4n2m−n的公分母是2m+nm−n，则分式3mm+n的分子应变为6mm−n=6m2−6mn．
故选：A．
【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
【变式5-1】（2024·广东广州·二模）分式x+y3xy，3y2x2，xy6xy2的最简公分母是（ ）
A．3xB．xC．6x2D．6x2y2
【答案】D
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：x+y3xy，3y2x2，xy6xy2的分母分别是3xy、2x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
【变式5-2】（2024·广西崇左·中考真题）化简：a2b+ab22a2b2=2ab． ．
【答案】a+b.
【详解】试题分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解：a2b+ab22a2b2=ab(a+b)2a2b2=a+b2ab，故答案为a+b．
考点：分式的化简.
【变式5-3】（2024·广东广州·中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)2a+2a−2
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：A=2a2−8=2a2−4=2a+2a−2；
（2）解：①当选择A、B时：
BA=3a2+6a2a2−8=3aa+22a+2a−2=3a2a−4，
AB=2a2−83a2+6a=2a+2a−23aa+2=2a−43a；
②当选择A、C时：
CA=a3−4a2+4a2a2−8=aa−222a+2a−2=a2−2a2a+4，
AC=2a2−8a3−4a2+4a=2a+2a−2aa−22=2a+4a2−2a；
③当选择B、C时：
CB=a3−4a2+4a3a2+6a=aa−223aa+2=a2−4a+43a+6，
BC=3a2+6aa3−4a2+4a=3aa+2aa−22=3a+6a2−4a+4．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
【题型6 最简分式】
【例6】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知三张卡片上面分别写有6，x−1，x2−1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可）
【答案】6x−1/6x2−1
【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如AB，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案．
【详解】解：6为分母时不是分式，
x2−1x−1=x+1不是分式，
x+1x2−1=1x−1,x−1x2−1=1x+1 不是最简分式，
6x−1 是最简分式，
故答案为：6x−1．
【点睛】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．
【变式6-1】（2024·福建福州·二模）若m为实数，分式xx+2x2+m不是最简分式，则m= .
【答案】0或－4
【分析】由分式xx+2x2+m不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可.
【详解】∵分式xx+2x2+m不是最简分式，
∴x或x+2是x2+m的一个因式，
当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a，
则有x（x+a）=x2+ax=x2+m，
∴m=0，
当x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a，
则有(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m，
∴a+2=0m=2a，
解得：a=−2m=−4，
故答案为：0或-4.
【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题关键.
【变式6-2】（2024·河北保定·一模）要将分式5mn20m2n化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ．
【答案】5mn
【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键．
【详解】解：要将分式5mn20m2n化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是5mn，
故答案为：5mn．
【变式6-3】（2024·河北石家庄·一模）有分别写有x，x+1，x−1的三张卡片，若从中任选一个作为分式 x2−1的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．
【答案】x
【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可．
【详解】解：∵x+1x2−1=x+1x+1x−1=1x−1，
x−1x2−1=x−1x+1x−1=1x+1，
xx2−1是最简分式，
∴应选择写有x的卡片，
故答案为：x．
【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键．
考点二
分式的运算
1、分式的乘除
①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：。
2、分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型7 分式的乘除】
【例7】（2024·江西·模拟预测）计算−ba3÷1a2的结果为（ ）
A．−b3aB．b3aC．−b3a5D．b3a5
【答案】A
【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解．
【详解】解：−ba3÷1a2
=−b3a3÷1a2
=−b3a3⋅a2
=−b3a．
故选：A．
【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键．
【变式7-1】（2024·湖北随州·中考真题）2x2−4÷1x2−2x的计算结果为（ ）
A．xx+2B．2xx+2C．2xx−2D．2x(x+2)
【答案】B
【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．
【详解】2x2−4÷1x2−2x
=2(x+2)(x−2)÷1x(x−2)
=2(x+2)(x−2)·x(x−2)
=2xx+2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．
【变式7-2】（2024·河北·中考真题）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
【答案】D
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】∵x2−2xx−1÷x21−x
=x2−2xx−1·1−xx2
=x2−2xx−1·−x−1x2
=xx−2x−1·−x−1x2
=−x−2x
=2−xx，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
【变式7-3】（2024·宁夏银川·二模）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：

(1)求被手遮住部分的代数式．
(2)等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由．
【答案】(1)xx+1
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）令原代数式的值为0，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．
【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为A，
则A=x+1x−1×xx+1÷x2−1x2−2x+1
=xx−1×x−1x+1
=xx+1；
（2）原代数式的值不能等于0．
若原代数式的值为0，则x+1x−1=0，即x+1=0，解得x=−1，
当x=−1时，x+1=0，分式无意义，
∴故原代数式的值不能等于0．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．
【题型8 分式的加减】
【例8】（2024·新疆乌鲁木齐·中考真题）若实数a，b满足ab=1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“3，
∴1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1
=−m+1m−1m−3⋅2m−1⋅m−3m+1
=−2.
16．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为ama>1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为a−1m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg
(2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；a+1a−1倍
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键．
（1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000−xkg，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得．
【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000−xkg，
由题意得：x=1.21000−x−100，
解得x=500，
则1000−x=1000−500=500，
答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg．
（2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为a2−1m2，“丰收2号”小麦试验田的面积为a−12m2，
则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为500a2−1kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为500a−12kg，
∵a>1，
∴a2−1−a−12=a2−1−a2−2a+1=2a−2=2a−1>0，
∴a2−1>a−12>0，
∴500a2−1