北京市昌平区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附答案）

这是一份北京市昌平区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附答案），文件包含试卷定稿pdf、化学阅卷细则1pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
2026. 4
本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果复数 的实部与虚部相等，那么
（A） （B） （C） （D）
（3）下列函数中，在区间 上单调递减的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）在 的展开式中， 的系数为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上
小正方形的边长为 1，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）将函数 图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位，得到
函数 的图象.则下列说法正确的是
（A） 是函数 的图象的一条对称轴
（B） 是函数 的图象的一个对称中心
（C） 在 上是增函数
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（D） 在 上是减函数
（7）已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，则“ ”是
“ ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， ,平面
与平面 的夹角为 ，则该四棱锥的侧面积为
（A） （B）
（C） （D）
（10）设函数 ，则下列结论中正确的是
（A）当 时， 在 上单调递减
（B）当 时， 在 上存在极值点
（C）当 时， 有最大值，无最小值
（D）存在 ，使得方程 在 上有且仅有两个不同实根
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）当 时，函数 的最小值为_________ .
（12）已知 为等差数列， 为其前 项和．若 ， ，则 ____.
（13）已知圆 与抛物线 的准线的一个交点为 ，点 关于 轴的对称点
在抛物线 上，则 ______ ；若直线 上存在点 ，使得 ，则 的取值范
围为______ .
（14）设函数 若 存在最小值，则 的一个取值为______， 的最小值为
________ .
（15）在棱长为 2 的正方体 中，点 满足 ，其中 .
给出下列四个结论：
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①当 时， ， 的面积为定值；
②当 时， ，三棱锥 的体积为定值；
③当 时，存在唯一的 ，使得 ；
④当 时，存在唯一的 ，使得 平面 .
其中所有正确结论的序号是_________________ .
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
在△ 中， ， ， 的平分线与 交于点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在且唯一确定，求
的长.
条件①： 边上的高为 ；
条件②：△ 的面积为 ；
条件③：△ 的周长为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分.
(17)（本小题 13 分）
如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ，
， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由.
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（18）（本小题 14 分）
教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于 小时.为了提升学生体
质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查.将运动时长不少于 小时的学生视
为“运动达标”，运动时长不足 小时的学生视为“运动不达标”.现随机抽取 名学生的问卷，获得数
据如下表：
男 生 女生（人） 合 计
（人） （人）
运动达标
运动不达标
合计
假设每名学生的运动是否达标相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）从该校的男生中任选两人，估计这两人均为“运动不达标”的概率；
（Ⅱ）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设 为“运动达标”的人数，估计 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从该校随机抽取 名学生，记其中“运动达标”的人数为 .求使概率 取得最大值时的
的值.（直接写出结论）
（19）（本小题 15 分）
已知椭圆 的焦点是长轴的四等分点，点 和点
都在椭圆 上，直线 与 轴交于点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 与 轴交于点 .在 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由.
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（20）（本小题 15 分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求点 的坐标；
（Ⅱ）求证：对于任意的 ，且 ，都有 ；
（Ⅲ）当 时，求证： 有且只有一个零点 ，且 .
（21）（本小题 15 分）
设数列 ，若存在公比为 的等比数列 ，使得
，其中 ，则称数列 为数列 的“等比分割数列”.
（Ⅰ）写出数列 的一个“等比分割数列” ；
（Ⅱ）若数列 的通项公式为 ，其“等比分割数列” 的首项为 1，求数列 的公
比 的取值范围；
（Ⅲ）若数列 的通项公式为 ，且数列 存在“等比分割数列”，求 的最大值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B （2）A （3）C （4）D （5）B
（6）D （7）B （8）C （9）A （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12） （13）
（14） （ 范围内任一值即可） （15）②③
（第 13 题、第 14 题第一空３分，第二空２分；第 15 题答对一个给 3 分，答对二个给 5 分，错答得零
分。）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）在△ 中，因为 ， ，
所以 . ………1 分
由正弦定理 及 得 ………2 分
. ………4 分
所以 . ………5 分
（Ⅱ）选择条件②：△ 的面积为 .
由（Ⅰ）知 ， ， ………8 分
解得 . ………9 分
所以△ 为等腰三角形.
所以 . ………10 分
因为 为 的平分线，
所以 . ………11 分
由正弦定理 ，得 . ………13 分
选择条件③：△ 的周长为 .
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因为△ 的周长为 ，由（Ⅰ）知 ，
所以 . ………6 分
由余弦定理 得 ………7 分
. ………8 分
解得 . ………9 分
所以△ 为等腰三角形.
所以 . ………10 分
因为 为 的平分线，
所以 . ………11 分
由正弦定理 ，得 . ………13 分
(17)（共 13 分）
解：（Ⅰ）法一：
在直三棱柱 中，连接 .
因为 平面 ，
所以 ，
所以四边形 是正方形.
所以 . ………1 分
因 为 ， ，
，
所以 平面 .
所以 . ………2 分
因为 ，
所以 平面 . ………3 分
因为 平面 ，
所以 . ………4 分
法二：
因为 ，如图建立空间直角坐标系 . ………1 分
则
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所以 ， . ………3 分
因为 ，
所以 . ………4 分
（Ⅱ） ………5 分
设平面 的法向量为 ，则
即
令 ，则 .所以 . ………7 分
设直线 与平面 所成角为 ，则
. ………9 分
（Ⅲ）因为 ，
所以 平面 .
所以 . ………10 分
所以要在线段 上存在点 ，使得 平面 ，只需 .
设 .
则 .
所以 . ………11 分
因为 ，
当 ，即 时， .
所以在线段 上存在点 ，当 时，使得 平面 . ………13 分
(18)（共 14 分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，抽取的 100 名男生中有 20 人的“运动不达标”， ……1 分
所以从该校的男生中任选一人为“运动不达标”的概率可以估计为 .……2 分
所以从该校的男生中任选两人，这两人均为“运动不达标”的概率估计为 .
……3 分
（Ⅱ）从该校男生中随机抽取一人为“运动达标”的概率估计为 ；
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从该校女生中随机抽取一人为“运动达标”的概率估计为 . ……5 分
的可能取值为 . ……6 分
则 可估计为 ；
可估计为 ；
可估计为 . ……9 分
所以 的分布列为
故 的数学期望 可估计为 ……11 分
（Ⅲ） . ……14 分
（19）（共 15 分）
解：（I）由题意得 解得 ………4 分
所以椭圆 的方程为 ………5 分
(Ⅱ)因为点 在椭圆 上，
所以 （ ）.
因为直线 的方程为 ，
所以 ，即 .
因为点 与点 关于 轴对称，
所以 .
因为直线 的方程为 ，
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所以 ，即 .
“在 轴 上 存 在 点 ， 使 得 ”等 价 于 “ 存 在 点 ， 使 得
”,即 满足 .
因为 ， ，
所以 .
所以 .
所以在 轴上存在点 或 ，使得 . ………15 分
(20)（共 15 分）
解：（Ⅰ）当 时， .
设 ， . ………1 分
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行，
所以 ，即 .
所以 . ………2 分
所以 . ………3 分
因为 ，
所以 . ………4 分
（Ⅱ）要证对于任意的 ，且 ，都有 ，
即证 .
即证 .
设 . ………7 分
只需证 在 上单调递增.
因为 ， ………8 分
当 时， ，
所以当 时， .
所以 在 上单调递增. ………9 分
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因为 ， ，
所以 .
所以对于任意的 ，且 ，都有 . ………10 分
（Ⅲ）因为 ，
所以当 时， ，
所以 在 上无零点. ………11 分
因为 ，
所以当 时， ；
所以 在 上单调递增. ………12 分
因为 ， ………13 分
， ………14 分
当 时， 成立，即 .
所以 在 上有唯一的零点 ，且 .
综上，当 时， 有且只有一个零点 ，且 . ………15 分
(21)（共 15 分）
解：（Ⅰ） .（答案不唯一） ………3 分
（Ⅱ）由 ，可得 .
当 时， . ………4 分
当 时， . ………5 分
令 .
则 单调递减. ………6 分
所以 的最小值为 .
所以 . ………7 分
综上数列 的公比 的取值范围为 . ………8 分
（Ⅲ）首先证明当 时，数列 不存在“等比分割数列”.
假设当 时，数列 存在“等比分割数列” .
则 . ………10 分
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由题意可知 .
因为 ，且 ，
所以 ，即 . ………11 分
又因为 ，
所以 .
与 矛盾.
所以当 时，数列 不存在“等比分割数列”. ………12 分
所以 . ………13 分
当 时，数列 ，存在首项为 ，公比为 的等比数列 ，满足
.
所以当 时，数列 存在“等比分割数列”. ………14 分
所以 的最大值为 . ………15 分
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