安徽省安庆市第一中学2026届高三下学期第三次周测数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省安庆市第一中学2026届高三下学期第三次周测数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】在数轴上分别标出集合 ， 所表示的范围，如图所示，
由图可知， ．
2. “a＝－4”是“直线 l：3x＋ay＋a＋3＝0 与圆 C： 相切”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立 的方程，解出 的值，利用充分条件和
必要条件得到结论.
【详解】由直线 l：3x＋ay＋a＋3＝0 与圆 C： 相切，
得 ，解得 a＝0 或 a＝－4，
则“a＝－4”是“直线 l：3x＋ay＋a＋3＝0 与圆 C： 相切”的充分不必要条件．
故选：B.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.
【详解】 .
故选：B.
4. 已知 是函数 的图象上的任意一点，过 分别向直线 和 轴作垂线，垂足分别为
，则 （ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ，利用向量垂直的坐标表示求出点 的坐标，即可求出 的
值．
【详解】设 ， ，由 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
所以 ．
5. 已知锐角 ， 满足 ， ，则下列结论不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得 ， ， ，进而结合
选项分析求解即可.
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【详解】由
，
则 .
由 ，
则 ，即 ，则 ， ，
综上所述， ，且 ， .
结合选项，当 ， 时，满足上述两个式子；
当 ， 时，满足上述两个式子；
当 时，由 可知 ，此时不满足 ， .
故选：C
6. 已知四棱锥 中， 平面 ， ，点 到
直线 的距离为 2．以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间垂直关系证明线面垂直，再利用球被平面所截得到一个圆，然后利用已知条件计算交线
长即可.
【详解】
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在梯形 中，因为 ，
所以 ，则 ，即 ，
因为 平面 平面 所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
由点 到直线 的距离为 2，可得 ，
再过点 作 ，垂足为 ，则 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
由 ， ，可得 ，
则以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线是以 为圆心的圆弧，
其半径为： ，
又由 ，可得
则在直角 中，由点 到 的距离等于 ，
所以直线 与这个以 为圆心的圆弧相离，
即与侧面 的交线是以 为圆心的圆弧长为 ，
故选：B
7. 某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高 （单位：cm）进行了测量，发现株高 近似服从正
态分布．已知测量的向日葵平均株高为 ，标准差为 14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：
过矮（后 ）、正常偏矮 、正常偏高 、过高（前 ）．若
，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据标准正态分布的对称性可得 ，运算求解结合选项分析判断.
【详解】因为 ，则 ，
可得 ，解得 ，
即“过高”等级中的株高 ，结合选项可知 D 正确，ABC 错误.
故选：D.
8. 已知 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 的上顶点， 为椭圆 的右
顶点，连接 交椭圆 于另一点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质得到 ，利用相似三角形的性质得到 ，再结合
余弦定理得到 ，进而得到 ，最后构建齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，连接 ，因为 为椭圆 的上顶点，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
解得 ，设 ， ，则 ，
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，由余弦定理有 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，即 ，
整理得 ，解得 ，故 B 正确.
故选：B．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平
面与侧棱 ， 分别交于点 ， .设 ， ，则（ ）
A. 时， 平面
B. 时，
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 平面 得到平面 平面 ，与 是平面 和平面 的交点矛盾
即可判断 A；由题设求出 ，进而得到 D 是平面 与四棱锥 的棱 的交点即可
分析判断 B；由点 P 和点 A 到平面 距离相等得到 即可计算判断 C；先由基底
表示 ，进而结合共面定理得到 ，再由题设分析计算得到四棱锥 的
体积为 ，再由基本不等式即可计算求解判断 D.
【详解】由题可知 是平面 和平面 的交点，
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当 时 ，所以 ，又 平面 ， 在平面 外，
所以 平面 ，若 平面 ，
则由 、 平面 得平面 平面 ，
则平面 与平面 无交点，与 是平面 和平面 的交点矛盾，故 A 错误；
时， ，因为 为 的中点，所以 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ，则 ，
又因为 平面 、 平面 ，则 平面 ，
所以 D 是平面 与四棱锥 的棱 的交点，
所以 D 与 N 重合，即 ，所以 ，故 B 正确；
因为 为 的中点，所以点 P 和点 A 到平面 距离相等，
所以四面体 的体积为 ，
所以四面体 的体积为 3，故 C 正确；
由题意可得
，
因为 共面，所以 即 ，
设点 P 到平面 的距离为 d，则 ，
因为 ， ，
所以点 M 到平面 的距离为 ，点 N 到平面 的距离为 ，
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所以 ，
，
所以 ，
因为 为 的中点，所以点 A 和点 P 到平面 的距离相等，
所以 ，
所以四棱锥 的体积为
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以四棱锥 的体积的最小值为 4，故 D 正确.
10. 定义在 上的函数 对任意实数 均满足 ，且当 时，
， ．则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数 为偶函数
C. 在 上单调递减，在 上单调递增
D. 不等式 的解集为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用赋值法判断 A，结合题意并利用偶函数的定义判断 B，利用函数单调性的定义判断 C，将目标
不等式合理转化判断 D 即可.
【详解】令 ，得 ，即 ，故 A 正确；
令 ，
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则 ，
即 是偶函数，故 B 正确；
当 时，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 在 上单调递增，故 C 错误；
由题意知 ，且 ，
因此不等式 可化为 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，解不等式得 ，故 D 错误．
故选：AB
11. 上饶市某学校从高一的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部介于 155cm 和
之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，⋯，第八组 .下
图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4
人.以下说法正确的是（ ）
A. 第二组的频率为 0.016
B. 第七组的频率为 0.06
C. 估计该校高一 800 名男生的身高的中位数约为
D. 估计该校高一 800 名男生的身高的平均数约为
【答案】BCD
【解析】
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【分析】对于 AB，由频率分布直方图矩形面积为 1 即可求得各组的频率，对于 C，先确定中位数所在组，
再用中位数计算方法即可求解，对于 D，将各组中点值乘以频率后相加即可得到平均数.
【详解】对于 A，第二组的频率为 ，故 A 错误；
对于 B，由题意得第六组人数为 4 人，则有第六组的频率为 ，纵坐标为 0.016，
所以第七组的满足 ，故 B 正确；
对于 C，由直方图得，身高在第一组 的频率为 ，
身高在第二组 的频率为 ，
身高在第三组 的频率为 ，
身高在第四组 的频率为 ，
由于 ， ，
设这所学校高一 800 名男生的身高中位数为 ，则 ，
则有 ，解得 ，故 C 正确；
对于 D，设这所学校高一 800 名男生的身高平均数为 ，
身高在第五组 的频率为 ，
身高在第六组 的频率为 ，
身高在第七组 的频率为 ，
身高在第八组 的频率为 ，
则有
，
故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知圆柱 与圆锥 的高的比为 ，底面半径的比为 ，若圆锥 的体积为 1，则圆柱 的体积
为_____，
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【答案】
【解析】
【分析】设圆柱 的高为 ，底面半径为 ，则其体积 ，设圆锥 的高为 ，底面半径为 ，
则其体积 ，根据两者的高和半径的比得到体积之比，再由圆锥 的体积为 1，得到圆柱
的体积.
【详解】设圆柱 的高为 ，底面半径为 ，则其体积 ，设圆锥 的高为 ，底面半径为 ，
则其体积 ，所以 ，
所以 .
答案为：
13. 已知 ，若在区间 上存在两个不相等的实数 ， ，满足
，则 的最小正整数为________.
【答案】5
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，
又函数 在区间 上存在两个不相等的实数 ， 使得 ，
且 ，
所以函数在区间 上至少存在两个最大值点，
所以 ，解得 ，
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所以 的最小正整数为：5.
14. 已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知 求 的方法，分别讨论 时，与 时， 的通项，再进行验证；
【详解】由 ，
当 时， ，
当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由于 时，不满足上式，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 , , ．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得 ，结合条件求出 的正弦值，利用正弦定理即可求出 的
值；
（2）利用和角的正弦公式求出 的值，再由三角形的面积公式计算即得.
【小问 1 详解】
由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理， ，因为 ，
则 ；
【小问 2 详解】
因为 ，
所以
，
则 .
16. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过
第一关获得基础券（获得 10 元基础券的概率为 0.6，获得 20 元基础券的概率为 0.4）．闯过第一关后，可进
行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券 20 元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消
费者闯过第一关的概率为 p₀，闯过第二关的概率为 p．某生产商将商品定价 100 元，成本 41 元；优惠券成
本由生产商承担基础券面额的 30%，进阶券面额的 50%．
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（1）若 ， ，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为 X（单位：元），求 X 的分布列和
数学期望 ；
（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为 ，
记生产商销售一件该商品的期望利润为 （单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品
成本）-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求 关于 p 的函数表达式；
（ⅱ）证明： 在 内存在唯一极大值点，并求当 p 为何值时，商家期望利润 最大？最大期
望利润是多少？（结果保留 1 位小数）
【答案】（1）分布列见解析，80.8
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析， 时，商家期望利润最大，
最大期望利润约为 6.7 元．
【解析】
【分析】（1）依题意确定 X 的可能取值，并利用独立事件的概率乘法公式计算出对应的概率，列出分布列
并计算出数学期望；
（2）（ⅰ）分别求出支付金额的期望与优惠券成本的期望，代入期望利润 的公式，计算即得；（ⅱ）
利用求导判断 的单调性，即可证明 在 内存在唯一极大值点 ，进而求得期望利润
的最大值.
【小问 1 详解】
由题可知，X 的可能取值为 100，90，80，70，60，
， ，
， ，
．
分布列为：
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X 100 90 80 70
P 0.2 0.24 0.16 0.24
数学期望为： ．
【小问 2 详解】
（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望，
则支付金额的期望为：
；
优惠券成本的期望为
．
∴
．
（ⅱ）
令 ．解得 ，
当 时 ， 在 上单调递增；
当 时 ， 在 上单调递减；
∴ 在 内存在唯一极大值点 ，
又 ，
∴当 时，商家期望利润最大，最大期望利润约为 6.7 元．
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17. 在矩形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，使得平面
平面 ，得到如图所示的四棱锥 ．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】1）利用勾股定理证明垂直，再结合面面垂直的性质定理可证明线面垂直；
（2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可.
【小问 1 详解】
在矩形 中， ， ， 为 的中点，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
【小问 2 详解】
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，所以 平面 ，
由题可得 ，所以 ，所以 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，
所以 ．设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18. 已知函数 ， ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 有 1 个极值点 ，且 ，证明： 有两个零点；
（3）在（2）的条件下，设 的两个零点分别为 ， （ ），证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导判断函数 在 上单调性，结合 求解不等式；
（2）分 和 讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数；
（3）由（2）知 ， ， ， 在 上单调递增，利用分析法要
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证 ，只要证 ，即证 ，结合 ，即证
，构造函数，利用导数证明.
【小问 1 详解】
由题知 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 ,又 ,故 恒成立， 在 上单调递增，
又 ，故不等式 的解集为 .
【小问 2 详解】
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，没有极值点；
当 时， ，由函数 ， （ ）的图象知，
当 时，存在唯一的 ，使 ，
且当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 只有 1 个极值点 ，
因为 ，且 ，故 1 是 在区间 上唯一的零点，且 ，
又 时， ，故存在唯一的 ，使得 ，
所以 有两个零点.
【小问 3 详解】
由（2）知， ， ， ，
当 时， ， 时， ，
又 在 上单调递增，
要证 ，只要证 ，即证 ，
由 ，得 ，即要证 ，
因为 ，则 ，所以只需证 ，（*）
设 （ ），则 ，令 ，
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则 ，显然 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又 ，故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，故 ，
故 ，得到 ，即（*）式成立，
故 ，从而 ，证毕.
19. 已知 两点的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且直线 的斜率与直线
的斜率的差是 2．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）已知 上存在三点 ，且 关于直线 对称．
①求 的取值范围；
②若 为等边三角形，求 ．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可；
（2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点 的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，
再利用判别式恒大于 0，来求出参数 的范围，最后再排除特殊情况即可；
②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可.
【小问 1 详解】
设点 ．
因为直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2，所以 ，
，
化简得： ．
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【小问 2 详解】
①因为 关于直线 对称，所以直线 的斜率为-2．
设直线 的方程为 ，
联立 消去 可得 ．
所以
所以 中点坐标 ．
因为点 在直线 上，所以 ．
因为 ，所以 ，
因为曲线方程 ，即曲线上要挖掉两点 ，
即直线 不能经过点 ，
若直线 过点 ，则 ，
若直线 过点 ，则 ．
综上所述： 的取值范围是 ．
②因为 为等边三角形，所以点 在直线 上．
设 ，则 ，
．
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所以 ，即 ，
化简得， ①．
因为点 在直线 上，所以 ②．
由①②消 得， ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
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