江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期4月阶段测数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期4月阶段测数学试卷含解析（word版+pdf版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量 a=1,2,m,b=m,−4,n ，若 a//b ，则 m+n= ()_____)
A. 2 B. -1 C. -2 D. -6
【答案】 A
【详解】已知 a=1,2,m,b=m,−4,n ,且 a//b .
根据向量平行的性质,存在实数 λ ,使得 a=λb .
即 1=λm2=−4λ,由2=−4λ得λ=−12.m=λn
将 λ=−12 代入 1=λm ，得 1=−12m ，解得 m=−2 .
将 λ=−12,m=−2 代入 m=λn ，得 −2=−12n ，解得 n=4 .
因此 m+n=−2+4=2 .
2. 已知向量 a,b,c 不共面，下列选项中的三个向量不共面的是 ( )
A. b−c,b,b+c B. a+b,c,a+b+c
C. a+b,a−c,c D. a+b,b+c,a−c
【答案】 C
【详解】已知 a,b,c 不共面,逐一判断:
A:b+c=−b−c+2b ,故 b−c,b,b+c 共面.
B:a+b+c=a+b+c ,故 a+b,c,a+b+c 共面.
C : 假设 a+b=xa−c+yc ,整理得 a+b=xa+−x+yc .
即 b=x−1a+−x+yc ,因 a,b,c 不共面,不存在这样的 x,y ,故 a+b,a−c,c 不共面.
D:a+b=b+c+a−c ,故 a+b,b+c,a−c 共面.
3. 向量 a=2,2,0 在向量 b=2,0,2 上的投影向量为 ( )
A. 2,0,2 B. 2,2,0 C. 1,0,1 D. 1,1,0
【答案】 C
【详解】向量 a 在向量 b 上的投影向量为 a⋅bb2b=2×2+2×0+0×222+02+22b=12b=1,0,1 .
4. 若 x2−ax+110 的展开式中 x9 的系数为 30,则 a= ( )
A. 9 B. -9 C. 10 D. -10
【答案】A
【详解】由二项式定理, x+110 的通项为 Tr+1=C10rx10−rr=0,1,2,⋯,10 .
x2−ax+110=x2x+110−ax+110. 其中产生 x9 项的来源有两部分:
① x2 与 x+110 中 x7 项相乘:令 10−r=7 ，得 r=3 ，该项系数为 C103 ；
② −a 与 x+110 中 x9 项相乘:令 10−r=9 ，得 r=1 ，该项系数为 −a⋅C101 .
因此 x9 的系数为: C103−aC101=30 .
代入组合数计算: C103=10×9×83×2×1=120,C101=10 ,即 120−10a=30 ,
解得 10a=90,a=9 .
5. 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1= 60∘ ,则 BD1 的长为 ( )

A. 2 B. 2 C. 6 D. 6
【答案】 A
【详解】依题意,由 BD1=−AB+AD+AA1 ,
又因为 AB2=AD2=AA2=1,AB⋅AD=1×1×12=12,AA1⋅AD=1×1×12=12,AB⋅AA1=1× 1×12=12
得 BD12=−AB+AD+AA12=AB2+AD2+AA12−2AB⋅AD−2AB⋅AA1+2AD⋅AA1=1+1 +1−1−1+1=2 ,
所以 BD1=2 .
故选: A .
6. 如图,圆锥 PO 的底面圆周上有 A,B,C 三点, AB 为底面圆 O 的直径,点 C 是底面直径 AB 所对弧的中点,点 D 是母线 PA 的中点,若 AB=PO=2 ,则直线 CD 和平面 PBC 所成角的正弦值为 ( )
A. 13 B. 49 C. 659 D. 223
【答案】 B
【详解】点 C 是底面直径 AB 所对弧的中点,所以 OC⊥AB ,建立空间直角坐标系如图所示:
则 O0,0,0,P0,0,2,A0,−1,0,B0,1,0,C1,0,0,D0,−12,1 ,
可得 PB=0,1,−2,PC=1,0,−2,DC=1,12,−1 ,
设平面 PBC 的法向量为 n=x,y,z ,则 PB⋅n=y−2z=0PC⋅n=x−2z=0 ,
令 z=1 ,则 x=y=2 ,可得 n=2,2,1 ,
设直线 CD 和平面 PBC 所成角为 θ ,
可得 sinθ=cs⟨DC,n⟩=DC⋅nDCn=2+1−194×9=49 .
7. 下列选项中与 1.026 最接近的数为 ( )
A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15
【答案】 B
【详解】 1.026=1+0.026=1+C61×0.02+C62×0.022+C63×0.023+⋯+0.026
从选项可知精确到 0.01 即可.
所以原式 ≈1+C61×0.02+C62×0.022=1+0.12+0.006=1.126≈1.13 .
8. 某校期中考试要将教室按照六行五列进行布置，其中一个特殊考场需要在最后加上一个座位，如图所示. 现将甲、乙等 31 位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为 ( )
A. 8693 B. 8593 C. 8393 D. 8093
【答案】 C
【详解】总座位数为 31 个,甲乙两人随机就座的总排列数为 A312=31×30=930 .
甲乙相邻分两类:
①左右相邻:每行有 4 对左右相邻的座位，共 6 行，所以有 6×4=24 对，
所以甲乙两人在这些座位上左右相邻的坐法有 24×A22=48 种；
②前后相邻:前 4 列每列有 5 对前后相邻的座位，共 4×5=20 对，
第 5 列有 6 对前后相邻的座位 (包括座位 30 和 31 )，共 6 对，
所以共有 20+6=26 对，
所以甲乙两人在这些座位上前后相邻的坐法有 26×A22=52 种.
所以甲乙相邻的概率为: P=48+52930=100930=1093
因此,甲乙既不前后相邻也不左右相邻的概率为: P不相邻=1−1093=8393 .
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或 有错选的得 0 分.
9. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=5 ， AD=4 ， AA1=3 ，直线 DA ， DC ， DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,则( )
A. 点 B1 的坐标为 4,5,3 B. 点 C1 关于点 B 对称的点为 5,8,−3
C. 点 A 关于直线 BD1 对称的点为 0,5,3 D. 点 C 关于平面 ABB1A1 对称的点为 8,5,0
【答案】 ACD
【详解】由图形及已知可得,点 B1 的坐标为 4,5,3,A 选项正确;
点 C10,5,3 关于点 B4,5,0 对称的点为 8,5,−3,B 选项错误;
因为 AD1=BC1=42+32=5 ,所以四边形 ABC1D1 为菱形,
所以点 A4,0,0 关于直线 BD1 对称的点为 C10,5,3,C 选项正确;
点 C0,5,0 关于平面 ABB1A1 对称的点为 8,5,0,D 选项正确;
10. 若 1+x+1+x2+1+x3+⋯+1+x10=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a10x10 ,则( )
A. a0=10
B. a3=330
C. a1+a2+a3+⋯+a10=2046
D. a1−2a2+3a3−4a4+⋯−10a10=0
【答案】 AB
【详解】解: 令 fx=1+x+1+x2+1+x3+⋯+1+x10=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a10x10 , f0=10=a0 ,故 A 正确；
根据二项展开式可知 a3=C33+C43+⋯+C103=C44+C43+⋯+C103
=C54+C53+C63+⋯+C103=C64+C63+⋯+C103=C114=330 ,故 B 正确;
f1=2+22+⋯+210=a0+a1+a2+a3+⋯+a10=211−2=2046,
∴a1+a2+a3+⋯+a10=2046−a0=2036 ,故 C 错误;
f′x=1+21+x+31+x2+⋯+101+x9=a1+2a2x+3a3x2+⋯+10a10x9
f′−1=1=a1−2a2+3a3−⋯−10a10 ,故 D 错误.
11. 在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中, AA1=2AD=2AB=2,AP=λAB+μAD+tAA1 ,其中 λ∈ 0,1,μ∈0,1,t∈0,1 ,则下列命题正确的是 ( )
A. 当 λ=0,μ=t 时, B1P// 平面 BC1D
B. 当 μ=0 且 PA⊥PB 时, P 点的轨迹长度为 π
C. 当 λ=0,μ+t=1 时,二面角 P−BC−D 正切值的最大值为 2
D. 当 λ+μ+t=1 时, AP 的最小值为 223
【答案】 AC
【详解】 A 选项,当 λ=0,μ=t 时, AP=μAD+AA1,μ∈0,1 ,
故点 P 在线段 AD1 上,
因为 BB1//DD1,BB1=DD1 ,所以四边形 BB1D1D 为平行四边形,
故 B1D1//BD ,
因为 B1D1⊄ 平面 BC1D,BD⊂ 平面 BC1D ,
所以 B1D1// 平面 BC1D ,
同理可证 AD1//BC1 ,故 AD1// 平面 BC1D ,
因为 AD1∩B1D1=D1,AD1,B1D1⊂ 平面 BB1D1 ,
所以平面 B1D1A// 平面 BC1D ,
因为 B1P⊂ 平面 B1D1A ,
所以 B1P// 平面 BC1D,A 正确;
B 选项,当 μ=0 且 PA⊥PB 时, P 在平面 ABB1A1 中以 AB 为直径的半圆上,
AA1=2AD=2AB=2 ,可得 AB=1 ,所以轨迹长度 =π×12=π2,B 错误;
C 选项,当 λ=0,μ+t=1 时, AP=μAD+tAA1=μAD+1−μAA1 ,
故 AP−AA1=μAD−AA1 ,即 A1P=μA1D,μ∈0,1 ,
故点 P 在线段 A1D 上，
过点 P 作 PQ//A1A 交 AD 于点 Q ,过点 Q 作 QM⊥BC 于点 M ,连接 PM ,
因为 PQ⊥ 平面 ABCD,BC⊂ 平面 ABCD ,
所以 PQ⊥BC ,
又 QM∩PQ=Q,QM,PQ⊂ 平面 MPQ ,则 BC⊥ 平面 MPQ ,
又 MP⊂ 平面 MPQ ,故 PM⊥BC ,
故 ∠PMQ 为二面角 P−BC−D 的平面角,
tan∠PMQ=PQQM=PQ1=PQ,
由于 PQ∈0,2 ,故 tan∠PMQ∈0,2 ,
二面角 P−BC−D 正切的最大值为 2,C 正确;
D 选项,当 λ+μ+t=1 时,
因为 AP2=λ2AB2+μ2AD2+t2AA1 , AA1=2AD=2AB=2 ,
所以 AP2=λ2+μ2+4t2=λ+μ2−2λμ+4t2≥λ+μ22+4t2=9t2−2t+12≥49 ,
当 t=19,λ=μ=49 时取等,所以 APmin=23,D 错误.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 向量 a=1,2,x,b=−2,−4,2 ，若 a,b 为钝角，则实数 x 的取值范围是_____.
【答案】 −∞,−1∪−1,5
【详解】已知向量 a=1,2,x,b=−2,−4,2,a,b 为钝角.
两个非零向量夹角为钝角的充要条件: a⋅b