重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试卷含解析（word版+pdf版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知复数 ，则 的虚部为
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】 . 所以 的虚部为 4.
2. 下列各式中, 化简后结果不是零向量的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于 ,故 错误.
对于 ,故 错误.
对于 ,故 错误.
对于 ,故 正确.
3.已知 ，则“ ” 是“向量 共线”的
A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 充要条件
【答案】C
【解析】若 ,则 ,此时 ,所以向量 共线. 所以 “ ” 是 “向量 共线”的充分条件. 若向量 共线，则 ，解得 或 . 所以 “ ” 不是 “向量 共线” 的必要条件. 因此 “ ” 是 “向量 共线” 的充分不必要条件 .
4.已知复数 ， 满足 ，且 ，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】在复平面中,设 分别与向量 对应,由题意可得 ,
. 因为 ,即 ,解得 ，即 .
5.在平行四边形 中,点 为 的中点, 与 的交点为 . 设 , 则向量 等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ,有 . 所以 . 又因为 ,且 ,所以 . 从而 .
6.在 中, ,且 . 点 在线段 上,满足 ,点 为 的中点，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以点 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 建立平面直角坐标系.
由 ,得 .
因为 ,且点 满足 ,所以 , 从而 . 又点 为 的中点,所以 . 因此 , . 故 .
7.奔驰定理:已知 是 内的一点，若 、 、 的面积分别记为 、 ,则 . “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论， 这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 lg 很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.已知 是 的内心，且 . 设 的内切圆半径为 ,外接圆半径为 ,则 的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得 . 又因为 为三角形内心时, ,所以 . 故可设 ,此时三角形为直角三角形. 所以 . 故 .
8.在山区道路建设中经常需要开凿山体下方的通风廊道. 如图，点 依次在同一直线上,点 为山顶某观测点. 从 处测得点 的俯角分别为 . 现需沿直线 修建廊道 . 若 ，则廊道 的长度为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点 为点 到直线 的垂足,由图可知点 在线段 上.
在直角三角形 中, ,所以 .
在直角三角形 中, ,所以 .
在直角三角形 中, ,所以 .
设 ,则 .
又因为点 在点 的右侧,所以 .
由 得 ,所以 .
故 .
于是 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设 是复数，则下列命题中的真命题是
A. B. 若 ,则
C. D.
【答案】AC
【解析】对于 ,设 ,
则 而 .
所以 ,故 正确.
对于 ,取 ,则 ,但 ,故 错误.
对于 ,设 ,
则 . 所以 .
又
因此 . 故 正确.
对于 ,取 ,则 ,所以 . 故 错误.
10.设 的内角 所对边分别为 ，则下列说法正确的有
A. 若 ，则三角形有两解
B. 若 ，则 为等腰三角形
C. 若 ，则 为锐角三角形
D. 若 是锐角三角形,则
【答案】BCD
【解析】对 ,由 ,则 ,故 . 又 ,故 . 而 ,故 只可能有一解, 因此三角形有唯一解, 故 A 错误.
对 ，由 ，结合正弦定理，可得 . 所以 ， 于是 ,故 是等腰三角形,所以 正确.
对 . 整理得 . 又 中至多一个角大于 ,故 至多有一个负数. 因此 中不存在负数,故 是锐角三角形，所以 正确.
对 ,若 是锐角三角形,则 . 所以 ,于是 . 同理可得 . 故 . 故 D 正确.
11.设平面向量 满足 . 则下列命题中正确的是
A.
B.
C. 若 ，则 的最大值为
D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于 ,由三角不等式可得 ,又 . 所以 . 故 正确.
对于 ,由 ,只能说明点 的轨迹是一个以 对应点为圆心、 为半径的圆,不能推出 . 例如取 ,则 ,且 . 满足题意，但 ，故 B 错误.
对于 ,若 ,则可建立直角坐标系,使 .
由条件 ,得 ,即 .
设 . 则 ,所以 .
代入得 .
因此 ,当 时取等号. 故 . 所以 正确.
对于 ,作平行四边形 ,使 .
则 . 由题设
可知点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆.
又因为 ,所以四边形 为菱形.
设 ,则 .
因为 ,所以 等于 在 上的投影向量模长的 2 倍.
如图,过点 向直线 作垂线,垂足为 . 当 为图中两条切线的切点时,取得最大值、最小值. 因此
,
当 时取等号.
同理, , 当 时取等号.
所以 . 故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 ，则向量 在 上的投影向量的坐标为________.
【答案】
【解析】因为 ,所以向量 在 上的投影向量为 .
13.在 中， 的平分线 交 于点 , 则 _______.
【答案】
【解析】由余弦定理, ,解得 (舍去负根).
因为 平分 ,所以 .
由 ,
得 .
即 .
整理得 .
14.在 中,角 的对边分别为 . 若 ,则 的值域为________.
【答案】
【解析】由 ,即 .
由正弦定理可得 ,
即 ,所以 .
因为 ,故 ,所以 ,
又 ,故 ,
从而 ,即 .
设 ,
则 ,
所以 .
由 ,得 .
故设 ,则 ,于是 .
根据双勾函数性质知: 函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以 ,当且仅当 时取等号.
故答案为: .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 ， .
(1)若 的夹角为 ，求 ；
(2)若 ，求 与 的夹角 的余弦值 .
【解析】(1)因为 ,
所以 ,
所以 .
(2)若 ,则 ,即 ,
所以 ,
即 ,
所以 .
16.已知复数 满足: 为实数，且 为纯虚数.
(1)求 ；
(2)设 ，若 在第二象限，求实数 的取值范围；
(3)若复数 是方程 的一个根，求 的值.
【解析】(1)设 .
因为 为实数,所以 .
故 . .2
又 ,
因为它是纯虚数,所以其实部为 0,即 .
故 .
(2)由(1)知 ，所以其共轭复数为 .
因此
因为 在第二象限,所以
由 ,得 .
由 ,得 ,
解不等式得 . .10
综上, .
(3)因为方程系数为实数，所以另一个根为 .
于是 .
故 ,所以 .
17.为打造具有重庆“山城步道”特色的文旅景观, 某景区拟开发一块四边形区域 . 其中，区域 规划为“巴渝文化展示区”，区域 规划为“观景休闲区”， 对角线 修建为空中连廊. 已知 ， .
(1)若“巴渝文化展示区” 的面积为 ，且 为钝角三角形，求空中连廊 的长度;
(2)在(1)的条件下，求“观景休闲区” 面积的最大值.
【解析】
(1)设 .
由三角形面积公式,得 ,解得 .
因为 为钝角三角形,所以 .
在 中,由余弦定理,得 .
即 .
故 .
(2)在(1)的条件下, .
解法一: 设 .
在 中,由余弦定理, .
因此 .
即 .
所以 ,
当且仅当 时等号成立.
所以“观景休闲区” 面积的最大值为 .
解法二: 设 ,则 .
在 中,由正弦定理, .
所以 .
于是 .
.
因此 .
当且仅当 时,即 时等号成立.
所以“观景休闲区” 面积的最大值为 .
18.如图，在一块三角形观景架 MNP 中，点 为底边 的中点，点 为支撑杆 的中点. 过点 的拉索分别与边 交于点 . 设 , .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最小值；
(3)若 是边长为 2 的等边三角形，求 的最小值.
【解析】(1)因为 为 的中点，所以 .
又因为 为 的中点,所以 .
故 ,
所以 .
(2)由(1)得: .
因为 三点共线,于是 ,即 .
所以 ,
当且仅当 即 即时取等号.
所以 的最小值为 4 10
(3)解法一:设 ， ，则 ， .
又 ,所以 ,
因此 ,
故 .
由(2)知， ，即 .
又因为 ，
所以 .
代入 ，得 .
又由 ,
结合 ,得 ,
所以 ,
当且仅当 时取等号。
于是 .
所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
解法二: 由余弦定理,在 中,有 , 同理,在 中,有 .
后同解法一.
19.对于一个向量组 ，记 若存在 ,使得 (其中 ),则称 为该向量组的“ 衡向量”.
(1)设 . 若 是向量组 的“1 衡向量”，求实数 的取值范围;
(2)若 ，判断向量组 是否存在“-1 衡向量”；若存在,求出所有满足条件的正整数 ; 若不存在,请说明理由;
(3)已知 都是向量组 的“1 衡向量”，且 ，
，其中 是 的内角， 的内角 的对边分别为 ,角平分线 交 于点 ,且 若 ,求 的取值范围,并指出 取得最大值时 的形状.
【解析】( 1 )由题意可得: ，
,
则 ,
即 ,
两边平方,得 ,
整理得 ,
所以 .
(2)存在“-1 衡向量”，且“-1 衡向量”为 ，理由如下:
由题意可得 ,
若存在 “-1 衡向量” ，只需使 .
因为 ,
所以 ，
故只需使 ,
整理得 ,
即 .
所以 ,
解得 ,
当 时, ,故当 或 4 或 5 时,符合要求,
当 为其他整数时,均不合要求,
故存在“-1 衡向量”,且“-1 衡向量”为 .
(3)由题意，得 ,
三式平方后相加，得 ，
所以 ,
故 ,
又 ,
即 ,
因为 ，所以 .
在 中,由正弦定理可得 ,
所以 ,
同理,在 中, .
故 ,且
又 ，所以 ，由 ，得 ，
于是 .
设 ,由 ,得
又 ,
所以 ,
因此
设 ,
故 ，从而 .
当且仅当 时, 取到最大值,
即 ,所以 ,得 ,从而 ,
故此时 为等边三角形.
综上, ,且当 取得最大值时, 为等边三角形 .