河南省郑州外国语学校2025-2026学年高一下学期月考1数学试卷含解析（word版）

这是一份河南省郑州外国语学校2025-2026学年高一下学期月考1数学试卷含解析（word版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共 8 小题，每题 5 分，共 40 分)
1. 设复数 z 满足 1−iz=2i ，则 z 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. i D. −i
2. 设 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,如果 a+c2−b2=ac ,且 b=23 , 那么 △ABC 外接圆的半径为( ).
A. 1 B. 2 C. 23 D. 4
3. 已知 A1,2 ， B3,4 ，点 P 在直线 AB 上，且 AP=3AB ，则点 P 的坐标为( )
A. −5,6 B. −5,−4
C. 7,8 D. −5,−4 或 7,8
4. 若复数 z 满足 z+i+z−i=2 ，那么 z−1 的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 .
5. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AC=2 ， M 为线段 AB 上的动点(包含端点)， D 为 AC 的中点，将线段 AC 绕着点 D 旋转得到线段 EF ，则 ME⋅MF 的最小值为( )
A.-2B. −32C. -1D. −12
6. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对应边分别为 a,b,c ,则下列说法不正确的是( )
A. 点 G 为 △ABC 的重心，若 BG=λAB+μAC ,则 λ+2μ=0
B. 若满足 a=t,b=2;A=30∘ 的 △ABC 有两解,则 t 的取值范围为 1,2
C. 若点 O 为 △ABC 内一点，且 OA+2OB+3OC=0 ，则 S△BOC:S△ABC=1:6
D. 若 AB⋅AC+2BA⋅BC=3CA⋅CB ，则 sinC 的最大值为 223
7. 已知 a⋅x2+b⋅x+c=0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a,b,c 是非零向量,且向量 a 和 b 不共线，则该方程()
A. 至少有一根 B. 至多有一根
C. 有两个不等的根 D. 有无数个互不相同的根
8. 已知向量 a,b 满足 a=2,b=1 ，且对一切实数 x,a+xb≥a+b 恒成立，则 a,b 的夹角的大小为( )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
二、多选题(共 3 小题，每题 6 分，共 18 分)
(多选)9. 下列结论在复数集 C 中成立的有( )
A. z12+z22=0⇔z1=z2=0 B. z1z2=0⇔z1=0 或 z2=0
C. 对于非零复数, z2=z2 D. 对于虚数 z ,若 z+1z=−1 ,则 z2=z
(多选)10. 如图,边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O,P 为圆 O 上任一点,若 AP=xAB+yAC , 则 x+y 的可能取值有( )
A. 83 B. 2C. 43 D. 1
(多选) 11. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 tanA+tanB=3cacsB . 则下列结论正确的是( )
A. A=π6
B. 若 a=2 ，则该三角形周长的最大值为 6
C. 若 △ABC 的面积为 2,则 a 有最小值
D. 设 BD=c2b+cBC ，且 AD=1 ，则 1b+2c 为定值，
三、填空题(共 3 小题，每题 5 分，共 15 分)
12. 已知 i 是虚数单位, i−1 是关于 x 的方程: x2+px+q=0p,q∈R 的一个根,则 p+q= _____.
13. △ABC 中, A=120∘,D 在 BC 上, AD⊥AC,AD=1 ,则 1AC+2AB= _____.
14. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 CA+CB⋅AB=35AB2 ，则 acsBbcsA= _____.
四、解答题 (共 5 大题, 15 题 13 分, 16, 17 题每题 15 分; 18, 19 每题 17 分, 共 77 分)
15. 已知向量 a=3,2,b=x,−1,c=−8,−1 .
(1)求 a⋅c ；
(2)若 a+b⊥3a+c ，求实数 x 的值；
(3)若 a//b+c ，求向量 a 与 b 的夹角 θ .
16. 已知复数 z=m−im∈R ，且 z⋅1+3i 为纯虚数( z 是 z 的共轭复数).
(1)设复数 z1=m+2i1−i ，求 z1 ；
(2)复数 z2=a−i2025z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.
17. 如图所示,在 □ABCD 中, AB=a,AD=b,BM=23BC,AN=15AB .
(1)试用向量 a,b 来表示 DN,AM ；
(2) AM 交 DN 于 O 点，求 AO:OM 的值.
18. 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 sinA−sinC⋅sinA+sinC=sinBsinA−sinB.
(1)求角 C ；
(2)求 a2+b2c2 的取值范围；
(3)当 c=1 时，角 C 的平分线交 AB 于 D ，求 CD 长度的最大值.
19. ”平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的, 意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法:
(I)当 △ABC 的三个内角均小于 120∘ 时，满足 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘ 的点， O 为费马点；
(II)当 △ABC 有一个内角大于或等于 120∘ 时，最大内角的顶点为费马点.
请用上述知识解决下面的问题:
在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 2asinA−2b−csinB=2c−bsinC .
(1)求 A ；
(2)已知 a=4 ，点 M 为 △ABC 的费马点。
①若 ∠ABC=45∘ ，记 ∠MBC=θ ，求 tanθ ；
② 求 MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA 的取值范围.