2025_2026学年河北省 邯郸市育华中学下学期七年级数学期中试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年河北省 邯郸市育华中学下学期七年级数学期中试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．如图，对顶角量角器测得零件的度数是（ ）

A．30°B．60°C．150°D．180°
5．在解关于和的二元一次方程组两式相加可直接消去，则和（ ）
A．互为倒数B．互为相反数C．有一个为D．相等
6．在平面直角坐标系中，点水平向左平移4个单位长度到第二象限，则a的值可以是（ ）
A．6B．5C．3D．10
7．如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是，则点B对应的数是（ ）．
A．B．C．D．
8．商场位于学校北偏西方向处，下列选项中表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则∠3的度数为（ ）

A．104°B．128°C．138°D．156°
10．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
11．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
12．已知关于x、y的方程组，给出下列结论：①当时，该方程组的解是；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④用含x的式子表示y，．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．已知，n为正整数，则n的值为________．
14．如果点，点到轴的距离是，到轴的距离是，那么的值为_________．
15．已知二元一次方程的一组解为则_______.
16．某市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动．
（1）当灯光束先转动秒后便停止不再转动，灯才开始转动，两束光线第一次互相垂直时，灯转动的时间是________．
（2）灯先转动秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是________．
三、解答题
17．计算
（1）
（2）
18．解方程
（1）
（2）
19．解方程组
（1）
（2）
20．在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点M在x轴上，求点M的坐标；
（2）已知点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标．
21．如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的度数．
22．在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．请根据下表信息，回答下列问题．
23．【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______
【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________
【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行．
24．已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点．
（1）点D的坐标为_________，线段平移到线段扫过的面积为________．
（2）若点Р是y轴上的动点，连接．
①当时，求点Р的坐标；
②当将四边形的面积分成两部分时，点P的坐标为__________
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
B、，含未知数的项的次数不为1，不是二元一次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
D、，是二元一次方程，符合题意；
故选D．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，由于无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π．由此即可判定选择项．
【详解】A：是整数，属于有理数．
B：，因为3不是完全平方数，其平方根无法表示为分数，且是无限不循环小数，属于无理数．
C：是分数，属于有理数．
D：是无限循环小数，属于有理数．
综上，只有是无理数，
故选B．
3．【正确答案】D
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】点所在的象限是第四象限;
故选D.
4．【正确答案】A
【分析】根据量角器的读数以及对顶角相等即可得到答案．
【详解】解：量角器上的读数为，
根据对顶角相等可知零件的度数是，
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程相加得，进而可得，即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
①②，得，
∵两式相加可直接消去，
∴，
即和互为相反数，
故选．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了点的平移，坐标与象限，熟练掌握平移是解题的关键．点水平向左平移4个单位后坐标为，根据第二象限的坐标特征（横坐标负，纵坐标正），需满足，即，结合选项，解答即可．
【详解】解：点水平向左平移4个单位后坐标为，
根据第二象限的坐标特征（横坐标负，纵坐标正），需满足，
即，
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了用数轴上的点表示无理数．计算出圆的周长即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴点B对应的数是：，
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了方向角．根据方向可知，上为北，下为南，左为西，右为东，确定位置后即可得出答案．
【详解】解：根据方向可知，上为北，下为南，左为西，右为东，
∵商场位于学校北偏西方向处，
∴商场位于北方和西方的夹角为，处，
故选B．
9．【正确答案】B
【分析】先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
【详解】解：如图：

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选B．
10．【正确答案】C
【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解．
本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，
得或，
解得或，
故点P的坐标为或，
故选C．
11．【正确答案】A
【分析】设●、■、▲分别为x、y、z，根据图形列出方程组即可解决问题．
【详解】设●、■、▲分别为x、y、z，由前两架天平可知，
，由①②可得：，，
∴．
故选A
12．【正确答案】A
【分析】根据题意，利用解方程组的方法，逐一验证四个结论的正确性，解答即可．
【详解】解：①当时，方程组变形为，
把代入方程组，得都成立，故方程组的解是；故①正确；
②若x，y的值互为相反数，则，故
由，
变形为，
解得，
解得，
故当时，x，y的值互为相反数，
判定无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数是错误的；
故② 错误；
③当时，方程组变形为，解得，
把代入方程得，
解得，矛盾，
故③错误；
④由，
得，
用含x的式子表示y，得，
故④错误；
综上所述，仅结论①正确，正确个数为1，
故选A．
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，n为正整数，
∴.
14．【正确答案】
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握：点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值．据此分别求出，的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是，
∴，，
∴，
即的值为．
15．【正确答案】-7
【分析】先把方程的解代入方程可得2a﹣3b=5，再变形6b﹣4a+3，整体代入即可求解．
【详解】∵ 是二元一次方程2x﹣3y﹣5=0的解，
∴2a﹣3b﹣5=0，
即2a﹣3b=5，
∴6b﹣4a+3
=﹣2（2a﹣3b）+3
=﹣2×5+3
=﹣10+3
=﹣7．
故答案为﹣7
16．【正确答案】；或
【分析】（1）设灯转动的时间为秒时，两束光线第一次互相垂直，设交点为，过点作，如图，得，推出，，构建方程求解解即可；
（2）设灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要8（秒），推出，即，利用平行线的判定，分两种情况：①如图，当到达前；②如图，当到达后，分别构建方程求解解即可．
【详解】解：（1）设灯转动的时间为秒时，两束光线第一次互相垂直，设交点为，过点作，如图，
∴，
设灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯每秒转动，灯每秒转动，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴两束光线第一次互相垂直时，灯转动的时间是.
（2）设灯转动的时间为秒时，灯光束第一次到达需要（秒），
∴，
即，
设灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯每秒转动，灯每秒转动，
∴，，
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行，
①如图，当到达前，设交于点，
∵，
∴，
当时，，
此时，
解得：；
②如图，当到达后，设交于点，
∵，
∴，
∵，
当时，，
此时，
解得：；
综上所述，，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是或.
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键．
（1）先去绝对值，再计算加减法即可得到答案；
（2）先计算立方根，算术平方根和乘法，再计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案；
（2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方，最后解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴。
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查解二元一次方程组，
（1）把①代入②，得，求出，再将代入①求出，即可得解；
（2）①②，得，求出，再将代入②求出，即可得解；
解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法（代入消元法和加减消元法）．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得：，
解得：，
把代入①，得：，
∴原方程组的解为；
（2），
①②，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了坐标与图形，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
（1）在x轴上的点的纵坐标为0，据此求出m的值即可得到答案；
（2）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此求出m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
（2）解：∵点N的坐标为，且直线轴，
∴点M的横坐标为，即，
∴，
∴点M的坐标为．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可证明结论；
（2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
22．【正确答案】任务（1）：A款新能源汽车每辆的进价为20万元，B款新能源汽车每辆的进价为15万元；任务（2）：一共有三种方案：方案（一）购买A款新能源汽车3辆，购买B款新能源汽车12辆；方案二、购买A款新能源汽车6辆，购买B款新能源汽车8辆；方案三、购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆；任务（3）：35
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组，方程和算式是解题的关键．
（1）设A款新能源汽车每辆的进价为x万元，B款新能源汽车每辆的进价为y万元，根据从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元，从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元建立方程组求解即可；
（2）设购买A款新能源汽车m辆，购买B款新能源汽车n辆，根据总费用为240万元列出方程，求出方程的正整数解即可得到答案；
（3）根据题意可得一辆A款新能源汽车的利润比一辆B款新能源汽车的利润大，则在（2）的条件下A款新能源汽车越多，获得的利润越大，据此求解即可．
【详解】解：任务（1）：设A款新能源汽车每辆的进价为x万元，B款新能源汽车每辆的进价为y万元，
由题意得，，
解得，
答：A款新能源汽车每辆的进价为20万元，B款新能源汽车每辆的进价为15万元；
任务（2）：设购买A款新能源汽车m辆，购买B款新能源汽车n辆，
由题意得，，
∴，
∴，
∵两种汽车都要购买，
∴m、n都为正整数，
∴是正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，（舍去）；
∴一共有三种方案：方案（一）购买A款新能源汽车3辆，购买B款新能源汽车12辆；方案二、购买A款新能源汽车6辆，购买B款新能源汽车8辆；方案三、购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆；
任务（3）：∵A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖，
∴一辆A款新能源汽车的利润为3万元，一辆B款新能源汽车的利润为2万元，
∴一辆A款新能源汽车的利润比一辆B款新能源汽车的利润大，
∴在（2）的条件下A款新能源汽车越多，获得的利润越大，
∴当购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆时，获得的利润最多，最多为万元．
23．【正确答案】（1）2；；（2）1；；（3）不可行，理由见详解
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根．
（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解；
（2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此即可解答；
（3）设截出的长方形纸片的长为长为，宽为，，根据题意列出方程，计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：，则正方形的边长为；
（3）不可行，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为，宽为，
则，
∵，
∴，
∴截出的长方形纸片的长为，
∵正方形纸片的面积为，
∴正方形纸片的边长为，
∵，
∴不能用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
24．【正确答案】（1），20
（2）①或；②点坐标为或
【分析】本题主要考查了平移的坐标变换，长方形的性质，坐标与图形，三角形的面积公式，清晰的分类讨论的思想是解本题的关键．
（1）先根据线段向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段扫过的面积；
（2）①设，得出的高为：，结合面积解方程，即可得出结论；
②分交线段和交两种情况，利用三角形面积法讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点．
∴，，，
∴线段平移到线段扫过的面积为.
（2）解：①根据题意，设，
∵，，
∴的边上的高为：，
∵，
∴，
解得：或，
∴或；
②交线段于E时，过点P作，如图所示：
∵将四边形的面积分成两部分，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，
根据题意得：，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当交线段于F时，过点P作的延长线于点H，如图所示：
∵将四边形的面积分成两部分，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，
根据题意得：，
∴，
解得：，
∴；
综上，点坐标为或．
问题背景
某汽车店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆．
素材1
从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元．
素材2
从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元．
问题解决
任务（1）
求A，B两款新能源汽车每辆的进价：
任务（2）
要使这240万元正好用完（两种汽车都要购买），请列出购进方案．
任务（3）
在任务（2）的条件下，A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖，将购进的A，B两款新能源汽车全部售出，直接写出最大利润为_____万元．