2025_2026学年北京市陈经纶中学下学期八年级期中数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市陈经纶中学下学期八年级期中数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．6，8，9C．1，2，D．5，12，13
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
5．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
6．如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为根据勾股定理，可以列出方程（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，，连接．下面有四个说法：
①当时，；
②当时，点B，D，F共线；
③当时，与面积相等；
④当时，是的角平分线．
所有正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
10．比较大小：_____（填“”“”或“”）．
11．如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________．

12．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________.

13．如图，四边形是菱形，，，于点H，则_________．
14．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________．
15．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸．

16．如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______．
三、解答题
17．计算：
18．已知，求代数式的值．
19．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
求作：菱形（点E在上，点F在上）．
作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F；
②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E；
③连接．
所以四边形为所求作的菱形．
根据小明的做法完成下面的证明；
证明：，，______＝______．
在中，，即，
四边形为______（____________）（填推理的依据），
，四边形为______（____________）（填推理的依据）．
20．如图，在四边形中，，，，，，求的面积．

21．如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，．
求证：四边形是平行四边形．
22．如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别交于点F，E．

（1）猜想图中四边形的形状是______形，并证明你的猜想；
（2）若，，求四边形的周长．
23．按要求画出图形：
（1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4，，；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．画出以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形．
24．阅读材料：
基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0，＞0∴≥，即≥2，∴≥2
当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x为____时，代数式3x+的最小值为______；
（2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为_____
（3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值．
25．如图，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），点B关于直线的对称点为F，作射线交AE交于点G，连接，过点C作交射线于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段与之间的数量关系．并证明．
26．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P在正方形内部（不包括边界），且P到正方形的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P是正方形的2倍距离内点．
已知：，．
（1）当时，
①点，，三个点中，______是正方形的2倍距离内点：
②点是正方形的2倍距离内点，请直接写出n的取值范围；
（2）点，，若线段上存在正方形的2倍距离内点，请直接写出a的取值范围；
（3）当时，请直接写出所有正方形的所有2倍距离内点组成的图形面积．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，被开方数不含小数分数或者能开方的因式，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该选项是错误的；
B、不是最简二次根式，故该选项是错误的；
C、不是最简二次根式，故该选项是错误的；
D、是最简二次根式，故该选项是正确的；
故选D
2．【正确答案】D
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】A、∵，∴，
∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，∴，
∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，
∴不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，∴，
∴能构成直角三角形，故D符合题意；
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确，
故选D．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出，据此可得答案．
【详解】解：由勾股定理得，
∴点Р表示的数是．
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故B符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、两组对角相等的四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知，即可得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，交于点，，
，
，即，
，
分别为的中点，
是的中位线，
，
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，可列方程为．
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据即可判断①正确；如图1，过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可判断②正确；先根据全等三角形的性质求出的长，再根据三角形的面积公式即可判断③错误；如图2，在截取，连接，先求出，则可得，再证出，从而可得，由此即可判断④错误．
【详解】解：∵正方形边长为4，
∴，
当时，则，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，则说法①正确；
当时，如图1，过点作，交延长线于点，连接，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点共线，则说法②正确；
当时，同上可证：，
∴，，
∴，
∴的面积为，
的面积为，
∴当时，与面积不相等，则说法③错误；
当时，如图2，在截取，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵在等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴当时，不是的角平分线，则说法④错误；
综上，所有正确说法的序号是①②，
故选A．
9．【正确答案】
【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为．
10．【正确答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴.
11．【正确答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，E是BC的中点，
∴，，
∴，
∴
故答案为
12．【正确答案】
【分析】根据平行四边形的性质，结合A点和C点的坐标，就可以写出B点的坐标．
【详解】解：根据平行四边形的性质可得： ，根据已知条件A（8，0）可知OA=8，C（2，6），可知B点的横坐标为2+8=10，B点的纵坐标为6，所以B（10，6）.
13．【正确答案】
【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键．
先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为．
14．【正确答案】10
【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定，
先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案.
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴.
根据折叠可知.
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∴．
15．【正确答案】101
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸.

16．【正确答案】5
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可．
【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O一定在射线上，
∵垂线段最短，
∴点O在点M处时，线段取最小值，
∵，，
∴，
∴线段取最小值为5．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18．【正确答案】2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
19．【正确答案】；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识．根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
【详解】证明：，，
，
在中，．
即．
四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．
，
四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形．
20．【正确答案】的面积是30．
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明为直角三角形，然后根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
即的面积是30．
21．【正确答案】见详解
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定；
根据平行线的性质可得，证明，可得，，则，然后推出即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
22．【正确答案】（1）菱，见详解；
（2）
【分析】（1）设与交于点O，由线段垂直平分线的性质可得，，，然后证明，得出，再根据四条边都相等的四边形是菱形得出结论；
（2）首先用含的式子表示出，再利用勾股定理构建方程求出即可．
【详解】（1）解：四边形的形状是菱形；
证明：设与交于点O，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的形状是菱形.

（2）解：由（1）知，四边形的形状是菱形，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴菱形的周长．
23．【正确答案】（1）不是，见详解
（2）见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，坐标与图形，熟练掌握网格特点，是解题的关键．
（1）根据三角形三边长分别为4，，画出三角形，根据勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）先根据点，B为第二象限内的一个整点，且，得出点，然后根据平行四边形的特点，画出平行四边形即可．
【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示：
∵，
∴这个三角形不是直角三角形；
（2）解：以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形，如图所示：
24．【正确答案】（1）1，6；（2）；（3）12.
【分析】（1）利用基本不等式即可解决问题；
（2）利用基本不等式变形式即可得解；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽=米，则矩形周长为2倍的长+2倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据基本不等式求解．
【详解】解：（1）∵x＞0，3x>0，>0，
∴，
即，
当且仅当3x＝，即x＝1时，3x+有最小值，最小值为6．
（2）由基本不等式≤（a＞0，b＞0）得
即 （a＞0，b＞0）
当且仅当a＝b时等号成立，
∵a2+b2=7，
∴
即，当且仅当a=b=时，等号成立.
（3）设矩形的长为x米，宽=，矩形的周长为2（），
∵x>0，>0，
∴，
当且仅当时等号成立，即x=3时，有最小值6，2（）有最小值12
即矩形的周长的最小值为12，此时长为3，宽也为3.
25．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3），见详解
【分析】（1）依据题意补全图形即可；
（2）连接，根据对称的性质得到，利用等边对等角得到，，结合四边形内角和求出，可得；
（3）过C作，垂足为T，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得出，结合对称的性质，可得结果．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）连接，∵B，F关于对称，
∴垂直平分，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由是：
过C作，垂足为T，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在正方形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
26．【正确答案】（1）①；②
（2）
（3）14
【分析】本题考查坐标与图形性质、正方形性质、一次函数等知识，理解题意定义，灵活运用所学知识，利用数形结合和分类讨论思想寻找特殊点位置求解是解答的关键．
（1）①根据题中定义，结合坐标与图形性质求解即可；
②根据题中定义，结合坐标与图形性质，注意分类讨论求解即可；
（2）先利用待定系数法求得线段的表达式为，设点是线段上一点，且为正方形的2倍距离内点，分两种情况分别求解即可；
（3）由（1）中第②中结论可知，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，同（1）②方法，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，从而得出当时，正方形所有的2倍距离内点组成的图形是六边形，连接，设该六边形的面积为S，由求解即可．
【详解】（1）解：当时，，，，如图，
①∵点不是正方形内的点，
∴不是正方形的2倍距离内点；
∵点到的距离为2，到、的距离都为3，到的距离为4，又,
∴是正方形的2倍距离内点；
∵到的距离为1，到的距离为4，到的距离为2，到的距离为5，又，
∴不是正方形的2倍距离内点.
②∵点是正方形的2倍距离内点，
∴，
由于点到的距离为4，到的距离为2，到的距离为n，到的距离为，
分以下几种情况：
当时，，则2为最小值，4为最大值，满足；
当时，，则由得，不符合题意，舍去；
当时，，则由得，不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为；
（2）解：由题意，，
设线段的表达式为，
将、代入，得，解得，
∴线段的表达式为，
设点是线段上一点，且为正方形的2倍距离内点，
则，且到、的距离为m，到、的距离为，
若，则，∴；
若，则，∴，
综上，m的取值范围为；
（3）解：如图，
由（1）中第②中结论可知，
当时，点是正方形的2倍距离内点时，则；
同理，点是正方形的2倍距离内点时，则，
∴当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，其中，，，，；
同（1）②方法，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，其中，，，,，
∴当时，正方形所有的2倍距离内点组成的图形是六边形，
连接，设该六边形的面积为S，其面积为
，
即当时，所有正方形的所有2倍距离内点组成的图形面积为14．