河北省2026八年级数学下册第20章勾股定理学情评估卷（含答案人教版）

这是一份河北省2026八年级数学下册第20章勾股定理学情评估卷（含答案人教版），共9页。
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．直角三角形的两条直角边的长分别为1，eq \r(3)，则其斜边的长为(　　)A．3 eq \r(2) B．2 eq \r(6) C．4 eq \r(3) D．22．下列各组数中，是勾股数的是(　　)A．9，16，25 B.eq \r(2)，eq \r(2)，2C．1.5，2，2.5 D．5，12，133．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为(　　)A．81 B．144 C．225 D．169(第3题) (第5题)4．在平面直角坐标系中，有四个点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\r(3)))，Q(－eq \r(2)，eq \r(6))，M(－2，eq \r(3))，N(eq \r(3)，2)，则这四个点中到原点距离最远的是(　　)A．P B．Q C．M D．N5．如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，点A表示数－1，点D表示数－4，AB＝1，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与数轴负半轴交于点E，则点E表示的数为(　　)A．－eq \r(17) B．－1－eq \r(17) C．－eq \r(10) D．－1－eq \r(10)6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．AB＝3k，BC＝4k，AC＝5k(k为正整数) D．AC＝3＋k，AB＝4＋k，BC＝5＋k(k>0)7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于eq \f(1,2)CD的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点F.若AC＝6，BC＝8，则△ACF的面积为(　　)A．9 B．12 C．16 D．18(第7题)8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．这个图形是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图②中的“风车”图案(阴影部分)．若图①中的四个直角三角形的较长直角边长为9，较短直角边长为5，则图②中的“风车”图案的周长为(　　)A．16＋4 eq \r(41) B．16＋4 eq \r(31) C．20＋4 eq \r(41) D．20＋4 eq \r(31)(第8题)　　　　　　　(第9题)9．教材P44复习题T11变式如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为(　　)A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm10．教材P26练习T2变式如图①，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形的三边为边作正方形．图②由图①的两个小正方形向外分别作直角边长之比为4∶3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形，…，按此规律，则图⑥中所有正方形的面积之和为(　　)A．200 B．175 C．150 D．125(第10题)　　　　　　(第11题)二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)11.如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为________.12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2＝c2，如果∠A＝70°，那么∠C的度数是________.13．某数学兴趣小组开展了研究笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处之间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm，则底部边缘A处与E处之间的距离AE为________.(第13题)　　　　　(第14题)14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为点D，连接BD，若AC＝5，BC＝12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为__________.三、解答题(本大题共4小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A＋∠C＝180°.16.(12分)将边长分别为a和2b(a＞b)的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①，再用这四个三角形拼成如图②所示的大正方形，中间形成一个小正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，大正方形的边长为5.试通过你获取的信息，求a2＋b2和a2－b2的值.17．(16分)教材P36例2变式钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线AB上的某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，已知甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里．(1)若甲、乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q，R处(图①)，且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东70°方向航行，那么你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由；(2)若甲船沿北偏东60°方向航行(图②)，从港口P离开经过两小时后位于点C处，此时船上有名海警需要以最快的速度回到海岸线PA上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．(提示：eq \r(3)≈1.7)18．(18分)【问题提出】(1)如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，AE，BD.①求证：BD＝AE；②若∠ADC＝150°，求证：BD2＝AD2＋CD2；【问题探究】(2)如图②，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC外部，若BD2＝AD2＋CD2仍然成立，求∠ADC的度数；【问题拓展】(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为△ABC外一点．若∠ADC＝45°，BD＝eq \r(23)，CD＝eq \r(5)，请直接写出AD的长.答案一、1.D　2.D　3.C　4.B　5.D 6．D　7.A　8.C　9.D　10.B二、11.eq \r(5)　12.20°　13.15 cm14.eq \f(10,3)或5三、15.证明：连接AC.∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝202＋152＝625.∵CD＝7，AD＝24，∴CD2＋AD2＝625，∴AC2＝CD2＋AD2，∴∠D＝90°，∴∠DAB＋∠DCB＝360°－(∠B＋∠D)＝360°－(90°＋90°)＝180°.16．解：根据题意得a2＋b2＝52＝25，a·2b＝24，∴a2＋b2＋2ab＝49，∴a＋b＝7，由题图②得(a－b)2＝25－24＝1，∵a＞b，∴a－b＝1，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝7×1＝7.17．解：(1)乙船沿南偏东20°方向航行．理由如下：由题意得∠APQ＝70°，PQ＝12×1.5＝18(海里)，PR＝16×1.5＝24(海里)，QR＝30海里．在△PQR中，∵PQ2＋PR2＝182＋242＝900，QR2＝302＝900，∴PQ2＋PR2＝QR2，∴△PQR是直角三角形，且∠QPR＝90°，∴∠BPR＝180°－∠APQ－∠QPR＝180°－70°－90°＝20°，∴乙船沿南偏东20°方向航行．(2)能，理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，由题意知∠CPD＝60°，PC＝2×12＝24(海里)，∴∠C＝30°，∴PD＝eq \f(1,2)PC＝12海里，∴CD＝eq \r(242－122)＝12 eq \r(3)≈20.4(海里)．∵90×eq \f(14,60)＝21(海里)，21>20.4，∴他能在14分钟内回到海岸线．18．(1)证明：①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE.②∵△DCE为等边三角形，∴∠EDC＝60°，DE＝CD.∵∠ADC＝150°，∴∠ADE＝150°－60°＝90°，∴AD2＋DE2＝AE2.由①知BD＝AE，∴BD2＝AD2＋CD2.(2)解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE，∵BD2＝AD2＋CD2，∴AE2＝AD2＋DE2，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC＝∠ADE－∠CDE＝90°－60°＝30°.(3)解：AD的长为3.