2025-2026学年四川省遂宁市高三（最后冲刺）数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年四川省遂宁市高三（最后冲刺）数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
2．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）
A．等于4B．大于4C．小于4D．不确定
3．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
A．线性相关关系较强，b的值为1.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为－0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
5．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5B．3C．D．2
8．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )
A．B．
C．D．
10．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．9
11．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A．收入最高值与收入最低值的比是
B．结余最高的月份是月份
C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
D．前个月的平均收入为万元
12．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件．
A．必要而不充分B．充要C．充分而不必要D．即不充分也不必要
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的左焦点为，点，点P为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.
14．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根.
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．
16．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（12分）已知，且满足，证明：.
19．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
20．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
21．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，且.
（1）求棱与所成的角的大小；
（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.
22．（10分）在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点..
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
2．A
【解析】
利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可
【详解】
据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题
3．D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.
由得：，
故选：D
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
4．B
【解析】
根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.
【详解】
散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，
故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，
且直线斜率小于1，故选B.
本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.
5．D
【解析】
由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
故选D.
6．B
【解析】
观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.
【详解】
已知，则，所以有，
，
，

，两边同时相加得，又因为，所以.
故选：
本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.
7．D
【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
8．C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．B
【解析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，，设为的中点，为的中点，
由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，
由题易知，的补角，分别为，
设三棱柱的棱长为2，
在中，，
；
在中，，
；
在中，，
，
.
故选：B
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
10．B
【解析】
根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.
【详解】
根据题意，，则
在中，又,
则
则
则
则
故选：B
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
11．D
【解析】
由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；
结余最高为月份，为，故项正确；
至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；
前个月的平均收入为万元，故项错误．
综上，故选．
12．A
【解析】
根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.
【详解】
若“是递增数列”，则，
即，化简得：，
又，，，
则是递增数列，是递增数列，
“”是“为递增数列”的必要不充分条件．
故选：.
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2 2
【解析】
设双曲线的右焦点为，根据周长为，计算得到答案.
【详解】
设双曲线的右焦点为.
周长为：.
当共线时等号成立，故，即实轴长为，.
故答案为：；.
本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．①②④
【解析】
由函数，对选项逐个验证即得答案.
【详解】
函数，
是周期函数，最小正周期为，故①正确；
当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.
的对称轴方程为，，故②正确；
当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误；
作出函数的部分图象，如图所示
方程在区间有6个根，故④正确.
故答案为：①②④.
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.
15．（-4，2）
【解析】
试题分析：因为当且仅当时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
16．
【解析】
取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.
【详解】
在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，
连接.由，得，，
由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,
又由已知可得平面平面，平面，，
，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，
三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c，然后由余弦定理可求得边b；
（Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.
【详解】
（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得，，
又，所以，
所以根据余弦定理得，，
解得，；
（Ⅱ）因为，所以，
，，
则．
本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.
18．证明见解析
【解析】
将化简可得，由柯西不等式可得证明.
【详解】
解：因为，，
所以，
又，
所以，当且仅当时取等号.
本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.
19．（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析
【解析】
（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；
（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知，，
因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，
所以，.
故，，.
（2）获奖的人数为人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.
于是可以得到列联表如下：
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
（3）由（2）可知，获奖的概率为，
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
分布列如下：
数学期望为.
本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
20．（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
【解析】
（1）设米，总费用为，解即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.
【详解】
（1）由题意知:矩形面积米，
设米，则米，由题意知:，得，
设总费用为，
则，
解得:，又，故，
所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；
（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，
①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
③时，时，，递减；时，递增，
因此，即时，发酵馆的占地面积最小；
综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.
21．（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
试题解析：
解（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
.
，
故与棱所成的角是.
（2）为棱中点，
设，则.
设平面的法向量为，，
则，
故
而平面的法向量是，则，
解得，即为棱中点，其坐标为.
点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明，得到平面，得到证明.
（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，
又因为是的中点，所以，又因为，，所以，
又，，，所以，
又，，所以平面，所以，
又因为是菱形，，所以，又，
所以平面，所以.
（2）由题意结合菱形的性质易知，，，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，则：，
据此可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则：，
据此可得平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值.
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
0
1
2