重庆市第七中学校2025~2026学年高二上册12月月考数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第七中学校2025~2026学年高二上册12月月考数学试卷（含答案），共33页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若三个数成等差数列，则 （ ）
A．7B．6C．5D．4
2．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．4B．6C．D．
3．记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．120B．140C．160 D．180
4．在等比数列 中，成等差数列，则 （ ）
A．B．C．D．
5．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ）
A．B．C．D．
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（ ）.
A．2045B．2046C．2047D．2048
二、多选题
9．已知直线 与圆 相交于 、 两点，则（ ）
A．直线过定点B．圆的周长为
C．当 ，则D．圆心到直线的最大距离为 2 .
10．已知数列满足，的前n项和为，则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列D．数列前100项和为
11．如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）

A．数列的通项公式B．数列的通项公式
C．D．
三、填空题
12．已知数列 的第 1 项是 1，第 2 项是 2，以后各项由给出，则这个数列的第4项为_____.
13．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____.
14．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程.
17．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足．
（1）当时，求证平面
（2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证: ，并求数列 的通项公式:
（2）求数列 的前 项和 :
（3）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
19．已知椭圆 ，我们称圆心在原点，半径为 的圆为椭圆的 “准圆”. 若椭圆的离心率为 上的点到它的焦点的最大距离为 3 .
（1）求椭圆的方程及椭圆的 “准圆” 方程；
（2）已知点是椭圆的 “准圆” 上的动点，过点作椭圆的两条切线 ，证明: ；
（3）过椭圆的上顶点作 的两条切线，与椭圆分别交于两点. 问：是否存在，使得直线与之相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意有：，
故选D.
2．【正确答案】B
【详解】椭圆 ，其中，
是椭圆 上的动点，
根据椭圆的定义可得 到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
故选B.
3．【正确答案】C
【详解】由题意知，，得，
所以，即.
故选C
4．【正确答案】D
【详解】设等比数列 的公比为，则，
故，
由成等差数列，得，
即由于等比数列 中，，
故可得，解得：或，
由于，故即得，
故．
故选D.
5．【正确答案】C
【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．
故选C.

6．【正确答案】A
【详解】依题意得.
故选A
7．【正确答案】B
【详解】,
可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，
因为，
所以，
故选B
8．【正确答案】B
【详解】因为，
所以
.
故选B
9．【正确答案】BCD
【详解】
对A，由可得，，所以直线l过定点，A错误；
对B，圆C：的圆心为半径，
所以圆的周长为，B正确；
对C，设圆心到直线的距离为，因为，所以，
所以，解得，C正确；
对D，设l过定点，则，当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确；
故选BCD.
10．【正确答案】AD
【详解】对于A，当时，可得，故A正确；
对于B，
当时，，
两式相减可得，所以，
当，适合上式，所以；
由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于C，由可知，，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以，，
，
又，所以，
所以，，不构成等差数列，故C错误；
对于D，，
所以
，故D正确.
故选AD.
11．【正确答案】ACD
【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形，
则直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得，则，即，则，
设，则，，
则，
可得，即，
由，可得，故得，
所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为是等腰直角三角形，其面积，
则
由平方和公式，
可得，故C正确；
对于D，因为，，
当时，，
则，故D正确．
故选ACD
12．【正确答案】5
【详解】因为，，
所以当时，，
当时，.
13．【正确答案】
【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，
设公比为，得到奇数项和为，
偶数项和为，
所以，
即，
可得：，解得．
14．【正确答案】．
【详解】根据题意，作出如下所示的图形，
由题可知，，由，∴∽，∴，
设，则，
∵平分，∴ ，
∴，，，
由双曲线的定义知，，
∴，即①，
，
∴，∴，即是等边三角形，
∴，
在中，由余弦定理知，
，即，
化简得，②，
由①②可得，，
则，
可得双曲线的渐近线方程为．
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，
又，则，
故，
所以.
（2）由（1）可得：
16．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2.
所以，解得，
所以的方程为.
（2）由题知，且直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立方程，消得，
，
所以，，
设到的距离为，则，
，
所以，解得，
所以直线的方程为或.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）或．
【详解】（1）连接，因为，，可得点E是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又面，面，
所以面.
（2）因为正方形，所以，且平面，
以为原点，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得， ..
因为，所以，
则，
设平面的法向量为，
则，令，
可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的正弦值为，所以，
可得，所以或．
18．【正确答案】（1）见详解，
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以数列 为等差数列，
故，
（2）由（1）可得，
由，可得，
当时，，
当时，，
综上，
（3），
所以①，
则②。
①②得，
，
19．【正确答案】（1），
（2）见详解
（3）存在，
【详解】（1）由题可知，解得，
所以，，
所以椭圆 的方程为，椭圆 的 “准圆” 方程为；
（2）设过点的直线分别与椭圆相切于，
当两切线中一条斜率不存在时，可得，
则过点的另一条切线与轴平行，所以，
当两切线斜率均存在时，
设，过点的切线方程为：，斜率分别为，
则，
消去并化简得：，
由，
得，
所以，又因为，
所以，所以
综上所述，；
（3）因为为椭圆的上顶点，所以，
设，，即，
因为直线与相切，所以圆心到直线的距离为，
整理得：①，
又因为，所以，将其代入①式，
得：
，
同理：由直线与相切，，
所以的方程为：，
设直线与相切，则圆心到直线的距离为，
令，有，即，
解得或（舍去），
所以，
所以存在：使得直线与之相切.