山东省济南振声学校2025~2026学年高二上册期中学情检测数学试卷（含答案）

这是一份山东省济南振声学校2025~2026学年高二上册期中学情检测数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，直线，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．1
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（ ）
A．B．1C．D．
7．已知直线、是互相垂直的异面直线，平面经过直线，直线与平面平行．动点在平面上，若到、的距离相等，则的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
8．法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数满足方程，则（ ）
A．点到点的距离为定值B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
11．已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．的内心与外心可能重合
C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为
D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数
三、填空题
12．圆关于直线对称的圆的方程为______．
13．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是由函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此椭圆的离心率为__________.

14．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为______．
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为，
（1）求对角线所在直线的方程：
（2）求过、、三点的圆的方程.
16．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程.
17．如图，某标准足球场的底宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲位于边线上的点处.
（1）若球员甲直接在点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求的大小，若该角度不是特殊值，则只需求出其一个三角函数值）？
（2）若球员甲直接在点起脚打门，球的初速度方向为OB方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行高度），挂入球门远角，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？
18．如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．

（1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标；
（2）若，证明：；
（3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．
19．法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线.
（1）求的方程；
（2）若为上任意一点.
①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证.
②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点.
答案
1．【正确答案】D
【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.
故选D．
2．【正确答案】B
【详解】因为，所以，所以.
故选B
3．【正确答案】D
【详解】已知双曲线的离心率，即，
所以，所以，
所以其渐近线方程为.
故选D
4．【正确答案】C
【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交，
而圆心，半径，圆心，半径，则，
因此，即，解得，
故选C
5．【正确答案】B
【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此：
，
点 和 满足椭圆方程：
，
将方程 （1） 减去 （2）：，
因式分解：，
代入中点坐标：，
得：，
整理得：，
因此，斜率 .
故选B
6．【正确答案】D
【详解】设，，
由，消得到，
则，
因为，则，又，，
所以，
所以，解得，
故选D.
7．【正确答案】C
【详解】设直线在平面的射影为直线n，则与n相交，且与n垂直，
设直线与平面α的距离为d，
在平面α内，以，n为x轴，y轴建立平面坐标系，设，
则到直线的距离为，到直线n的距离为，
∴到直线的距离为，
∴，即，
∴的轨迹为双曲线．
故选C．
8．【正确答案】A
【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”，
如图，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，
则点在圆外，又动点在直线上，
则直线与圆相离，
所以，得，所以，
则，即，
则的焦距的取值范围为．

故选A
9．【正确答案】AD
【详解】由题可知，直线的斜率，则，
则直线的倾斜角的取值范围为.
故选AD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A，由得：，
点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确；
对于B，，，的最大值为，B错误；
对于C，的几何意义为点到点的距离，
圆心到点的距离，
的最大值为，C正确；
对于D，设，，，
，
，，
当，即时，取得最大值，最大值为，D正确.
故选；ACD.
11．【正确答案】ACD
【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且.
若为等腰直角三角形，则.
由，得，即.
对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确；
对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确；
对于C，设的外接圆的半径为R，则，即.
当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值.
此时，，所以的面积为.所以选项C正确；
对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为，
则，所以.
所以点是双曲线的右顶点，点在直线上.
设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确.
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设对称圆的圆心坐标为，
由题意得，，解得，
对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为．
13．【正确答案】/
【详解】函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象对应的函数为.
因为椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，所以.
因为函数的最小正周期，
设圆柱底面半径为，由，得，
所以圆柱的底面直径，则.
设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为.
易知，即，
所以，
所以椭圆的离心率.
14．【正确答案】
【详解】
设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如图所示.
由抛物线的定义可得，.因为为线段的中点，所以.
又，所以，所以.
又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为.
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）菱形的顶点和，利用中点坐标公式可得对角线的中点坐标为，
根据斜率公式求出，又菱形对角线互相垂直，，，
又菱形对角线互相平分，直线过对角线的中点，
根据点斜式可得对角线所在直线的方程为，即.
（2）由（1）可得直线的方程为，
联立，解得，点坐标为，点坐标为，
设圆的一般方程为，
把三点代入方程，得，解得，
圆的一般方程为.
16．【正确答案】（1）
（2）或.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即.
又点是双曲线的右焦点，所以，
得，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立直线与双曲线方程，消得，
设，则，
，
所以，即，
解得或0，即或0，
所以l的方程为或.

17．【正确答案】（1）
（2）码.
【详解】（1）由题意可知，所以，
所以.
（2）以为原点，分别以AO，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则，
因线段OF的中点为，则线段OF的垂直平分线为，
即，
设所求圆弧的圆心为，
因球的初速度方向为OB方向，则直线OB为圆的切线，则，则，
则直线OD的方程为，
联立得，，即，
则，
则这段圆弧所在圆的半径是码.
18．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）直线恒过点．
【详解】（1）由题意，解得，
所以，又，
所以，即点的坐标；
（2）由题知，设，，
，代入抛物线可得，
，
又，
，
同理
.
（3）因为，
所以，代入点得①，
设，同理，
过点②
，
结合①②可得
又因为
所以，整理得
所以直线过定点.
19．【正确答案】（1）
（2）①见详解；②见详解
【详解】（1）由题意易知，极线的方程为即.
（2）①设，设直线AB的方程为：，

又椭圆方程可化为，
即，
由，
得，
设，则（★）
故为（★）的两个解，
所以，
因为AB过，故，故，
故，
又，所以.
②连接QM，QN，

由①中的结论可知，
又，故即Q，M，N三点共线，
如图所示，设，
则，
由①中结论知，，故，
故，故为线段的中点.