河北唐山市迁安市第一中学2025-2026学年高一下册第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份河北唐山市迁安市第一中学2025-2026学年高一下册第一次月考数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （）
A. B. 0C. D.
【正确答案】D
【分析】利用向量加减法法则求解即得.
【详解】.
故选：D
2. 已知向量，若，则m等于（）
A. B. 4C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：C.
3. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案.
【详解】如图，由题，，
，
所以
故选：A.
4. 在中，内角所对的边分别是．已知，则B的大小为（）
A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°
【正确答案】D
【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】根据正弦定理：得到，
，故或.
故选：D
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解.
【详解】在中，由余弦定理得，
而，则，
两式联立解得，所以的面积为.
故选：D
6. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果.
【详解】在中，由正弦定理，可得：，，
，可得：，整理可得：，
由余弦定理可得：，
.
故选：A.
7. 如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】由于，
如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，
连接,由于，则≌,
而，故，则，
则，
设，则，，
故，
当时，有最小值，
故选：B．
8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】由和正弦定理，可得，
由和余弦定理，可得，
整理化简得：，代入化简得，
又由余弦定理得，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：
9. 设是平面内一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【正确答案】BC
【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，假设，则使得，
因为不共线得且，则无解，
故，不共线可作为一组基底；
对于B，因为，所以，不能作为基底；
对于C，因为，所以，不能作为基底；
对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.
故选:BC.
10. 已知向量，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则的值为2
B. 当时，求与夹角为
C. 若在方向上的投影向量的模为，则或
D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是
【正确答案】BC
【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D.
【详解】对于A，向量，且，所以，则，故A错误；
对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确；
对于C，由已知在方向上的投影向量的模为，
所以，解得或，故C正确；
对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线，
所以且，故D错误.
故选：BC
11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（）
A. 若，则为等腰三角形或直角三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则的取值范围是
D. 若，则为锐角三角形
【正确答案】ABC
【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项.
【详解】对于A，若，则由余弦定理得，
即，，
所以，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确；
对于B，在锐角中，，故且，
故，所以不等式恒成立，故B正确；
对于C，若，且有两解，
则，故，即，故C正确；
对于D，若，则，
即，由正弦定理得，所以角为锐角，
但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：
12. 已知单位向量，满足，则______．
【正确答案】
【分析】由已知可求得，进而利用可求模.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为.
13. 如图，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，是的中点，设，，则__________．
【正确答案】
【分析】根据条件，利用向量的中点公式及线性运算，即可求解.
【详解】因为是的中点，则，
又是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，则，
所以.
14. 香霏楼是荣昌昌州故里景区标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________ m..
【正确答案】30
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案.
【详解】在中，；在中，；
由图可知，易知，
在中，，根据正弦定理可得：，
所以
所以.
故30
四、解答题：
15. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，所以，解得；
【小问2详解】
因为，
所以，解得，，所以，
所以，
即向量与夹角的余弦值为.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为．
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）10
【分析】（1）对已知的边的等式应用正弦定理，将边转化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式展开化简，消去后求解；
（2）先由求出，结合三角形面积公式与已知的，先求出边，再结合三角形的面积得到，最后用余弦定理求出，三边相加得到周长.
【小问1详解】
由，正弦定理可得，
，，
，
因为，所以，两边同时除以得，
解得.
【小问2详解】
由，，得.
因为且，所以.
再由，得，即
由余弦定理：，得.
因此的周长为.
17. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km.
（1）求；
（2）求，之间的距离.
【正确答案】（1）
（2）15km
【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求；
（2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解.
【小问1详解】
由题意知：，，
在中，由余弦定理
因为,
所以
【小问2详解】
，,，
由题意知：
在中，由正弦定理得：，所以
由余弦定理得：，
即，
解得：或（舍）
，之间的距离为
18. 在中，角，，的对边分别为，，，，．
（1）求角；
（2）若是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先应用正弦定理再应用两角和的正弦公式计算化简得出角；
（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的值域求解.
【小问1详解】
由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
【小问2详解】
由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
【小问3详解】
由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
19. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足.
（1）判断的形状；
（2）当时，求的值；
（3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.
【正确答案】（1）等边三角形
（2）
（3）最小值，
【分析】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状；
（2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模；
（3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值.
【小问1详解】
，，
则，即，
故为等边三角形.
【小问2详解】
当时，、为边的三等分点，
设为中点，且，
所以，
故.
【小问3详解】
设，
当时，、、为边的四等分点，
，
设，其中，则，
，
所以
，
当且仅当即时，取最小值.