福建省2026届高三4月适应性练习（省质检）数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份福建省2026届高三4月适应性练习（省质检）数学试卷含解析（word版+pdf版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
2. 已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,由 得 .
3.某次测试中,某10人的成绩(单位:分) 分别为:48,75,58,66,78,82,84,78,86,91, 则这组数据的第 80 百分位数是
A. 78 B. 82 C. 84 D. 85
【答案】D
【解析】排序, .
4.设 是两个不重合的平面,则 的充要条件是
A. 存在无数条直线与 都平行
B. 存在无数个平面与 都垂直
C. 对任意的直线 ,都存在直线 ,使得
D. 对任意的直线 ,都存在直线 ,使得
【答案】C
【解析】若 ,则 ,即 必存在,充分性成立,若 ,则 与 无交点,则 , 必要性成立.
5.已知函数 为增函数,则 的最小值是
A. B. 2 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】左段单增,右段为对勾函数需 ,又 得 ,得 或 ,故 .
6.已知三棱锥 的体积为 . 若该三棱锥的四个顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ，则 ，设 中点为 ，外接圆半径为 ， 则 ,又 ,则 ,则球半径.
7.已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 16 B. 18 C. 20 D.22
【答案】C
【解析】 9, .
8.已知函数 有且仅有 3 个极值点 , ,且 ,则
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】D
【解析】
令 ,得
又 有且仅有 3 个极值点,则 为奇数, 为偶数
当 时,
即 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,圆 过点 . 下列说法正确的是
A.
B. 的方程为
C. 若圆心 在 上，则圆 与 相切
D. 若圆 与 相切，则圆心 在 上
【答案】BCD
【解析】对于 错
对于 对
对于 : 由抛物线定义知,点 到 的距离等于 到准线 的距离, 对
对于 : 符合抛物线定义, 对.
10.已知函数 的部分图象如图所示,点 , 在 的图象上. 下列说法正确的是
A. 的最小正周期是
B. 在区间 单调递增
C. 的一个对称中心是
D. 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】AD
【解析】
对于 对
对于 由 得 在区间 内,不单调, 错
对于 错
对于 对.
11.已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ,公比为 的等比数列 的前 项和为 ,且 . 下列命题正确的是
A. 当 时,
B. 当 时,
C. 当 时，
D. 当 时，集合 可能有三个元素
【答案】ACD
【解析】对于 时,因 ,则 ,故 对
对于 时, ,即 错
对于 : 当 时, 对
对于 : 当 时, ,当 时, ，故可能有 3 个， 对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知单位向量 满足 ，则 ________.
【答案】
【解析】 得 .
13.为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组. 现安排甲、乙等 5 名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是_______.
【答案】30
【解析】 种 .
14.在平面凸四边形 中, 的面积为 . 当 最大时，四边形 的面积为________.
【答案】
【解析】由正弦定理得 ,即
因 ,故
,又
则 到 的距离 ，即 在 或 上
当 最大时，即 在 上
设 ,则
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)若 是奇函数，求 ；
(2)当 时， 的所有正零点从小到大排列构成数列 ，求 的前 20 项和 .
【解析】解法一：（1）因为为奇函数，所以，1分
即恒成立.
得恒成立，2分
所以恒成立，3分
所以恒成立，4分
所以，5分
解得.6分
（2）因为，所以，
令，则，8分
所以或，10分
解得或，11分
令，，则，
所以，12分
所以．13分
解法二：（1）因为为上的奇函数，所以，2分
所以，3分
解得， 4分
经检验，是奇函数，
所以.6分
（2）因为，所以，7分
令，则，9分
所以，10分
所以或，
解得或或，11分
令，，，
则，
所以，
所以．13分
解法三：（1）同解法一．6分
（2）因为，所以，因为，
所以是的一个周期，7分
当时，令，则，9分
解得，10分
所以在区间的零点之和为．11分
令，
则是以为首项，为公差的等差数列，12分
所以．13分
16.已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】解法一：（1）函数的定义域为，．2分
当时，因为，所以，3分
又，4分
所以曲线在点处的切线方程为，
即．7分
（2）(i)当时，不符合题意，舍去；9分
(ii)当时，显然成立；11分
(iii)当时，令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增．13分
所以，解得．14分
综上所述，的取值范围为．15分
解法二：（1）同解法一．7分
（2）由已知，得．
(i)当时，可得．8分
因为，所以，9分
又因为时，，
所以；10分
(ii)当时，恒成立，所以；11分
(iii)当时，可得．
令，，12分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；13分
所以，所以．14分
综上所述，的取值范围为．15分
17.已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上的动点,且 不在 轴上. 当 轴时, .
(1)求 的方程；
(2)点 分别在直线 与 上,且 . 证明: 三点共线.
【解析】
解法一：（1）当轴时，，
所以，1分
所以，3分
从而，，5分
故的方程为．6分
（2）设，，，7分
则，即．8分
又，
所以，，，. 10分
因为，，
所以，，12分
两式相加、减，得，，13分
又因为，，
，14分
所以，故三点共线. 15分
解法二：（1）当轴时，，
所以或，1分
所以①，2分
又②，4分
由①②，解得，，5分
故的方程为．6分
（2）设，则，即．7分
( = 1 \* rman i)当直线，斜率均存在时，，，
所以直线，，9分
由得，10分
由得， 11分
所以，，
因为，
所以，故三点共线. 12分
( = 2 \* rman ii)当直线或斜率不存在时，根据对称性，不妨设斜率不存在，且，
此时点，，，故直线，从而， 则，，
所以三点共线.14分
综上，三点共线. 15分
18.某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为
其中 .
(1)当 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 ,每个盲盒是否为封面款相互独立. 若顾客一次性购买的盲盒中,封面款的数量大于非封面款的数量, 则称此顾客为幸运客户. 现从顾客中随机选取一人.
(i) 求该顾客为幸运客户的概率 ;
(ii) 若该顾客是幸运客户,他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 , 求 的取值范围.
【解析】（1）由题可知，，1分
化简可得 ， 2分
当时，，
则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为.4分
（2）（ = 1 \* rman i）设事件“一次性购买个文创盲盒”（），事件“顾客为幸运客户”，5分
则，，，.
依题意，得，，6分
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，8分
又由题意知，，且两两互斥，9分
所以，11分
由（1）得，，代入化简可得，
所以，.12分
（ = 2 \* rman ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，13分
且，两两互斥，
所以，14分
由（ = 1 \* rman i）得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
，16分
由题意，可得，解得，
又因为，所以.17分
19.已知 平面 ，垂足为 ，直线 ， ， 是 内的动点，且 ， 始终在 的两侧.
(1)若 ，证明: 是锐角三角形；
(2)若 是线段 上靠近 的三等分点， .
(i) 证明: 二面角 为锐角;
(ii) 直线 与 所成的角分别为 ,记 . 若平面 , 且 不是任何一个长方体的截面，求 的最小值.
【解析】解法一：（1） 因为平面，,所以，．1分
不妨设，且，
因为，所以，，，
所以，所以为△的最大内角．2分
由余弦定理，得，3分
所以，所以△是锐角三角形．4分
（2）（i）因为，在上，且，
由对称性知在同一个轨迹上，且轨迹关于对称，
故以为原点，分别为轴和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，因为，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，
故，即， 5分
故，，
，
依题意得，化简得，6分
且，即，故，又点不在直线上，故，
同理，，且，7分
故在坐标平面中，是双曲线右支上的动点，且在轴的两侧，如图．
因为的两条渐近线分别为和，它们的夹角为，
所以．8分
因为平面平面，，，
所以是二面角的平面角，所以二面角为锐角．9分
（ = 2 \* rman ii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形．10分
证明如下：
若△为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．
由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，
所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形．11分
由（i）知，，所以，又因为，，
所以，故．12分
因为，所以分别是直线与所成的角， 即，
不妨设，则，且，所以，，13分
且．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过，14分
所以，所以，15分
这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，，求的最小值．
如图，不妨设点在第四象限，则，．因为都在双曲线的右支，故，
即，所以，又，，
故解得即，16分
所以，
当，即时，等号成立．
故的最小值为．17分
解法二：（1）因为平面，，所以，．1分
又因为，故可以为原点，分别为轴，轴和轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系．2分
设，所以，在中，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
所以是锐角三角形．4分
（2）（ = 1 \* rman i）同解法一．9分
（ = 2 \* rman ii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形．10分
证明如下：
若△为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．
由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，
所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形．11分
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过．12分
在平面直角坐标系中，设直线的方程为，
联立得，
依题意，有且
因为，所以．
因为，
所以
，13分
，
同理，
不妨设，则必有．
因为，
因为且，所以，代入上式得到
14分
，
所以，
又因为，所以．15分
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
因为，所以，所以，所以，16分
，
当，即时，等号成立．
故的最小值为．17分
解法三：（1）因为平面，，所以，．1分
又因为，所以在中，
，所以为锐角，2分
，所以为锐角，3分
，所以为锐角，
所以是锐角三角形．4分
（2）（ = 1 \* rman i）同解法一．9分
（ = 2 \* rman ii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形．10分
证明如下：
若△为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．
由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，
所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形．11分
由（i）知，，所以，又因为，，
所以，故．12分
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
不妨设，则，且，所以，，13分
且．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过，14分
所以，所以．15分
这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，求的最小值．
如图，不妨设点在第四象限，因为，所以点在以为直径的圆内（含边界），记
圆与双曲线在第四象限的交点为，则．
因为在渐近线的上方，故，而，故，即直线与双曲
线右支有两个交点，符合条件．所以当点位于点时，最大，则最小．16分
联立，得，解得或（舍去），
故当，即时，的最小值为．
故的最小值为．17分0
1
2
3