吉林省长春市2026届高三下学期二模考试数学试卷含答案（word版）

这是一份吉林省长春市2026届高三下学期二模考试数学试卷含答案（word版），共9页。试卷主要包含了3 B等内容，欢迎下载使用。
注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={−2,0,1,3} ，集合 B=x∣x20 的两个焦点分别是 F1、F2 ,焦距为 8,M 是双曲线上的一点,且 MF1=5 ,则 MF2=
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
5. 1+ax6 的展开式中 x3 的系数为 160,则 a=
A. -2B. −12 C. 12 D. 2
6. 某精密仪器厂生产一种标准长度为 52 mm 的金属垫片. 现随机抽取 200 个垫片测量其实际长度 (单位: mm ),按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图. 若规定长度在区间 [51,53) 内的垫片为合格品,用样本频率估计总体的概率, 则任取一个垫片为合格品的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
7. 已知圆台的上底面半径为 1 ，下底面半径为 2 ，球 O 与圆台的两个底面和侧面都相切， 则球 O 的表面积为
A. 6π B. 8π C. 9π D. 12π
8. 已知实数 m>n>1 ,若 lgmn+lgnm=103 且 mn=nm ,则 m2+n2=
A. 9 B. 21 C. 27 D. 30
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知复数 z=2i1−i ,则下列结论正确的有
A. z 的虚部是 i B. z 在复平面内对应的点在第二象限
C. z=1+i D. z=2
10. 已知函数 fx=Asinωx+φ ( A>0 ， ω>0 ， 00,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2.P 为椭圆 C 上一点, PF1=3PF2 . 圆 I 与线段 PF1 的延长线和线段 PF2 的延长线分别相切于点 A 和点 B ,与线段 F1F2 相切于点 M ,且 F1M=λF1F2,λ∈18,16 ,则椭圆 C 离心率的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了 50 名学生的身高，然后按 “身高低于 170cm” 与 “身高不低于 170cm” 分成两组，统计整理各组人数如下列联表 (单位:人).
(1)依据 α=0.005 的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联?
(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率. 附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d .
16. (15 分)
在数列 an 中, a1=2,an+1=3an−2 .
(1)求证:数列 an−1 为等比数列；
(2)设 bn=nan ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
17. (15 分)
如图,三棱柱 ABC−A1B1C1 的所有棱长均为 2,且 ∠A1AB=π3 .
(1)证明: AB⊥A1C ；
(2)若三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积为3，求平面 A1CC1 与平面 A1CB1 所成角的余弦值.
18. (17 分)
已知抛物线 E:x2=2pyp>0 上的点 Q 到焦点 F 距离的最小值为 14 .
(1)求 E 的方程；
(2)若点 A,B 在 E 上，且线段 AB 的中点在直线 y=x 上，点 P12,1 ，求 △PAB 面积的最大值.
19. (17 分)
在生态系统中,某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量 y=fx (单位: 千只) 与时间 x (单位: 月),满足函数 fx=e−xcsxx>0 ,其波动呈现 “往复波动, 逐渐稳定” 的特征.
定义: 若函数 gx 在 a,+∞ 上满足:
1. 震荡性: g′x 在 a,+∞ 上无限次正负交替；
2. 衰减性: 任意给定正实数 m ,存在实数 n ,使得当 x>n 时, gx0 . 求证: ℎx 无最大值.性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
男
8
24
32
女
12
6
18
合计
20
30
50
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879