北京市石景山区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市石景山区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），共5页。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，
则 .
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 ，故 ，故
故选：C.
3. 下列函数中，既是偶函数、又在 上严格减的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断 ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断 B
即可.
【详解】对于 A， 为奇函数，不是偶函数，在 上严格减，故 A 错误；
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对于 B， 定义域为 ，关于原点对称，且 ，所以函数 为
偶函数，
当 时， ，显然在 上严格减，故 B 正确；
对于 C，由幂函数性质知， 为偶函数，在 上严格增，故 C 错误；
对于 D，由指数函数性质知， 既不是奇函数也不是偶函数，故 D 错误.
故选：B
4. 设 为单位向量，且 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得 两边同时平方得 ，又 为单位向量，故 ，
即 ，
.
5. 如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点.则满足 的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量法可解.
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详解】
不妨以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，
对于 A，则 ，
，
则 ，所以 不垂直，故 A 错误；
对于 B，则 ，
，则 ，所以 不垂直；故 B 错误；
对于 C，则 ，
，则 ，所以 垂直，故 C 正确；
对于 D，则 ，
，则 ，所以 不垂直，故 D 错误.
6. 直线 与圆 相交于 A，B 两点，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解.
【详解】由 ，可得标准方程： ，
则圆心坐标为 ，圆的半径 .
由直线 的方程为 ，得圆心 到直线 的距离： ，
所以 .
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7. 数列 为各项均为正数的等比数列， 、 、 、 为正整数，则“ ”是“ ”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】因为数列 为各项均为正数的等比数列， 、 、 、 为正整数，
不妨取 ，当 时， ，
即“ ” “ ”；
不妨取 ，由 可得 ，则 ，
即“ ” “ ”.
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
8. 已知 ， ，点 在曲线 上，则 的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 和直线 的方程，结合双曲线的渐近线分析点 到直线 的距离的取值范
围，进而可得 的面积的取值范围.
【详解】因为 ， ，
则 ，直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
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双曲线 的渐近线方程为 ，
则直线 与渐近线 平行，两平行线间距离 ，
曲线 过点 ，
过点 与直线 平行的直线方程为 ，两平行线间距离 ，
结合图形可知点 到直线 的距离 ，
则 的面积 ，
所以 的面积有最大值，但没有最小值.
故选：A.
9. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用对数函数的单调性得出 ，再利用对数的运算性质得出 即可.
【详解】 ， ，则 ，
，
，
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则 ，则 .
10. 在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“对应点”为 ，当 是原
点时，定义 的“对应点”为它自身：将曲线 上所有点的“对应点”构成的曲线 定义为曲线 的“对应曲线”.
现有下列命题：
①若点 的“对应点”是点 ，则点 的“对应点”是点 ；
②单位圆的“对应曲线”是它自身；
③直线的“对应曲线”一定是直线.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断.
【详解】对于①：设 不是原点，则 ，记 ，
则 ，其中 ，计算 的对应点 ：
.
，即 ，不是 ，所以①错误；
对于②：单位圆上的点满足 ，因此对应点为 .
对 ，有 ，说明 仍在单位圆上；
反之，单位圆上任意点 ，则点 在单位圆上.
因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确；
对于③：取直线 （平行于 轴的直线），设其上点 ，对应点为 .
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令 ，消去 ： .
整理得 ，即 ，这是圆，不是直线，所以③错误.
所以正确命题的个数只有②一个.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 若 的展开式的二项式系数和为 32，则 __________， 的系数为__________.
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】已知二项式系数和，可求出 ，再利用通项公式即可求得 的系数.
【详解】由题意知，展开式的二项式系数和为 32，即 ，所以 ，
故展开式的通项公式 ，
令 ，可得 ，
所以展开式中 的系数是 .
12. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5，利用抛物线的定义，由 求
解.
【详解】因为抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5，
所以 ，
解得 ，
所以该抛物线 准线方程为 ，
故答案为：
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13. 已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【详解】由 ，可知 ，
，
．
14. 设函数 ，当 时， 的值域为______；若方程 有两个
不同的解，则实数 的一个取值可以是______.
【答案】 ①. ②. （只需满足 即可）
【解析】
【分析】当 时，化简函数 的解析式，分别求出 在 、 上的值域，即可得出函
数 的值域；分析可知 ，讨论 不符合题意，则 ，可知函数 在
、 上都单调，分别求出方程 在 和 时的解，可得出关于 的
不等式组，即可解得实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
故当 时，函数 的值域为 ；
由题意可知 ，
当 时， ，
当 时，由 可得 ，
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当 时， 恒成立，此时 无解，
故当 时，方程 有且只有一个实数解，不合乎题意；
因为函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调，
因为方程 有两个不同的解，所以方程 在 和 时各有一解，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，解得 ，
综上所述， .
故实数 a 的一个取值可以是 （只需满足 即可）.
15. 已知 为数列 的前 项和，记 ，且满足 .给出下列四个
结论：
① 的第 2 项小于 0；
② 为等比数列；
③ 为递减数列；
④当 时，存在 .
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①④
【解析】
【分析】由条件先证明 ， ，结合等差数列定义求 ，结合 求
，再由 与 关系求 ，根据数列 的通项公式直接判断①④，结合等比数列定义和递减数列定义
判断②③.
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【详解】由 ， 可得，
当 时， ，
所以 ，故 ，
当 时， ，
代入 可得
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，得 ，
由 ，可得 ，
对 ， 也满足上式，
当 时， ，
当 时， ，
对于①， ，①正确，
对于②， ， ，不是等比数列，②错误，
对于③，对 ， ，
所以当 时，数列 单调递增，③错误；
对于④：当 时， ，满足 ，
所以存在整数 ，满足关系 ，④正确.
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三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及单调递增区间；
（2）在 中， ，若 的平分线交 于 ，求 的长.
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式得 ，再由三角函数的性质，即可求解；
（2）根据条件得到 ，再结合题设条件及面积公式，建立方程，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 的最小正周期为 ，
由 ，得到 ，
所以 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，即 ，所以 ，
解得 ，又 ，所以 ，又 的平分线交 于 ， ，
由 ，即 ，
得到 ，解得 .
17. 如图，在三棱锥 中， 为等边三角形.G，E，F 分别是 ， ， 的中点.
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， ， ， 与平面 GEF 交于点 .
（1）求证： 是 BC 的中点.
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AC 与平面 GEF 所成角的正弦值.
条件①：平面 平面 BCD；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得 ，结合 G 是 的中点即可证明；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用方程组解得平面 一个法向量，利用直线的
方向向量和平面的法向量计算即可.
【小问 1 详解】
在三棱锥 中，
因为 E，F 分别是 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为平面 平面 ，所以 ，
因为 G 是 的中点，所以 是 BC 的中点.
【小问 2 详解】
选条件①：平面 平面 BCD，连接 ，
因为 为等边三角形，G 是 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
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又因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
如图建立空间直角坐标系 ，
由题意得 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，于是 ，
设直线 AC 与平面 GEF 所成的角为 ,
则 ，
所以直线 AC 与平面 GEF 所成角的正弦值为 .
选条件②： .
因为 ，所以 ，
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因为 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 为等边三角形，G 是 的中点，所以 ，
以下同条件①如图建立空间直角坐标系 .
18. 为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下 6 个等级：
4.0 及以 肺活量（单位：L） 小于 2.0
上
等级 1 2 3 4 5 6
某校为研究高三年级男生 1000 米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该
校抽取了 100 名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与
统计表.
肺活量等级 频数
1 14
2 12
3 8
4 4
5 2
6 0
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合计 40
长跑成绩未达标组
（1）从 100 名研究对象中随机选取 1 人，求此人肺活量等级为 3 的概率；
（2）用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高
三年级男生中肺活量等级为 4 的学生中随机选取 2 人，肺活量等级为 2 的学生中随机选取 1 人，设这 3 人
中长跑成绩达标的人数为 ，估计 的数学期望 EX；
（3）研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数
，若一名高三年级男生的肺活量等级大于 ，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于 ，则判断其长
跑成绩未达标.从 100 名研究对象中随机选取 1 人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错
误的概率最小的 的值（只需写出结论）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件求出未达标组中，肺活量等级为 的人数和成绩达标组中，肺活量等级为 的人数，根
据古典概型概率公式求结论；
（2）确定随机变量 的可能取值，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法求 取各值的概率，
再由期望定义求结论；
（3）分别求 和 时判断 错误的人数，由此可得结论.
【小问 1 详解】
由已知未达标组中，肺活量等级为 的人数是 ，成绩未达标组共 人；
故成绩达标组有 人，
达标组中，肺活量等级为 的频率为 ，
因此成绩达标组中，肺活量等级为 的人数为 ；
所以 人中，肺活量等级为 的总人数为 ，
因此从 名研究对象中随机选取 人，求此人肺活量等级为 的概率 ；
【小问 2 详解】
由已知未达标组中，肺活量等级为 的人数为 ，
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成绩达标组中，肺活量等级为 的人数为 ；
所以肺活量等级为 的学生的总人数为 ，
由已知未达标组中，肺活量等级为 的人数为 ，
成绩达标组中，肺活量等级为 的人数为 ；
所以肺活量等级为 的学生的总人数为 ，
设事件 为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为 的学生中随机选取 人，长跑成绩达标”
事件 为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为 的学生中随机选取 人，长跑成绩达标”
所以可估计 ， ，
根据题意随机变量 的可能取值有 ，且
，
，
，
，
所以可估计
【小问 3 详解】
取 ，即若学生的肺活量等级为 时判定其长跑未达标，肺活量等级为 的任意一个值时判
定其长跑达标，则判断错误的总人数为 ，
取 ，即若学生的肺活量等级为 或 时判定其长跑未达标，肺活量等级为 的任意一个值时
判定其长跑达标，则判断错误的总人数为 ，
取 ，即若学生的肺活量等级为 或 或 时判定其长跑未达标，肺活量等级为 的任意一个值
时
判定其长跑达标，则判断错误的总人数为 ，
取 ，即若学生的肺活量等级为 或 或 或 时判定其长跑未达标，肺活量等级为 或 时
判定其长跑达标，则判断错误的总人数为 ，
取 ，即若学生的肺活量等级为 时判定其长跑达标，否则判定其长跑未达标，则判断错误的总人数
为 ，
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取 时，则会判断所有学生未达标，判断错误 总人数为 ，
因此取 时判断错误的概率最小，
故 .
19. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 是 上的单调递增函数，求 的值；
（3）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程.
（2）若函数单调递增，则其导函数大于等于 0 恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定 的值.
（3）将 转化为关于 的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定 的取值范围.
【小问 1 详解】
对函数求导得 ，所以 .
因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
【小问 2 详解】
对函数求导得 ，因为函数 是 上的单调递增函数，
所以 在 上恒成立.
令 ，则 .
当 时， ，所以 ， 在 上单调递增.
又因为 ，当 时， ，不满足 在 上恒成立，所以 .
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令 ，即 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 在 处取得最小值 .
因为 在 上恒成立，所以 ，即 .
令 ，对 求导，可得 .
令 ，即 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 在 处取得最大值 .
因 ，且 ，所以 ，此时 .
【小问 3 详解】
令 ，所以原问题变为存在 ，使得 成立，
对 求导得， ，令 .
求导得 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .
此时不存在 ，使得 成立，不符合题意；
当 时，令 ，则 .
当 时， ；当 时， ；
当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 .
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .
此时不存在 ，使得 成立，不符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
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因为 ，所以在区间 上 ，
因此 在 上单调递减，
又 ，故存在 ，使得 ，即 成立，
综上，所以
20. 已知椭圆 的左顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上异于 A，B 的任意一点，直线 ， 分别与直线 交于
M，N 两点，直线 与椭圆 的另一个交点为 .求证：
① ；
②直线 恒过定点.
【答案】（1）
（2）①证明见详解，②证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出 的方程组求解；
（2）①设 ，求出直线 ， 的方程，进而求得点 的坐标，验证 ，得证；
②当直线 的斜率不存在时，由对称性可求得点 的坐标，得出直线 的方程，当直线 的斜率存在时，
设其方程为 ， ，联立直线 与椭圆 的方程，可得根与系数关系，结合 ，
运算得 关系，得证.
【小问 1 详解】
由题可得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
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【小问 2 详解】
①由已知得 ，设 ，则 ，即 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
在上面两方程中分别令 ，得 ， ，
所以 ， ，
，即 .
②当直线 的斜率存在时，设其方程为 ， ，
则 ，消去 整理得 ，
所以 ， ， ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，化简得 ，
即 ，解得 或 ，
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所以直线 的方程为 或 （舍），
所以直线 的方程为 ，过定点 ；
当直线 的斜率不存在时，由对称性可得直线 的斜率为 ，其方程为 ，
代入椭圆 的方程，得 ，解得 或 ，
所以 ，此时直线 的方程为 ，满足题意，
综上所述，直线 恒过定点 .
21. 已知集合 ，其中 ，若对于任意的 ，总有 ，
则称集合 具有性质 ．由 中的元素构成两个相应的集合：
其中 是有序数对．集合 和 中
的元素个数分别为 和 ．
（1）检验集合 与 是否具有性质 ，并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和 ；
（2）对任何具有性质 的集合 ，证明： ；
（3）判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1） 不具有性质 ， 具有性质 ， ， . （2）
证明见详解
（3） ，证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用“具有性质 的集合”的定义，验证计算作答，直接写出集合 和 .
（2）探讨具有性质 的集合 的元素个数，即可推理作答.
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（3）分 和 讨论，结合新定义求解判断.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 不具有性质 ；
因为 ， ， ，所以 具有性质 ；
， .
【小问 2 详解】
因为对于任意的 ，总有 ，所以 ，从而 ，
因为 ， ， ，
所以当 时， 和 至多有一个成立，
所以集合 中的元素个数最多为 ，即 .
【小问 3 详解】
，证明如下：
①设 ，则 ，
设 ，则 ，故 ，
从而 ，即对 ，总存在 ，使得 ，从而 ；
②设 ，则 ，
设 ，则 ，故 ，
从而 ，即对 ，总存在 ，使得 ，从而 ；
由①②可知 .