湖南省部分校联考2025-2026学年高一下学期3月测评数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省部分校联考2025-2026学年高一下学期3月测评数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了5mm 的黑色字迹签字，考试结束后，请将答题卡上交， 若不等式 的解集为 ，则， 已知角 的终边上一点 ，则， 已知 ，则 的最小值为等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可得集合 与 ，即可得交集.
【详解】由已知 ， ，
所以 .
2. 已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】因 为幂函数，所以 ，解得 ，
当 时， ，在 上单调递增，不符合题意，
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当 时， ，在 上单调递减，所以 ，
所以
3. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和 ， 比较大小即可.
【详解】对数函数 在 上单调递增，且 ，
因为 ，所以 ，即 ；
因为指数函数 在 上单调递增，且 ，
因为 ，所以 ，即 ；
又因为 ，因此大小关系为： .
4. 若不等式 的解集为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得 是方程 的两个根，
则 ，解得 ，则 .
5. 已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案.
【详解】设扇形的半径为 r，弧长为 l，
则 ，解得 ，
所以 .
6. 已知角 的终边上一点 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数定义求 ，根据诱导公式化简目标式，再结合齐次式的处理方法将目标式转化为
，由此可得结论.
【详解】根据三角函数的定义可知 ，
根据诱导公式和同角三角函数关系式可知
.
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用 ，结合基本不等式可求得 的最小值．
【详解】因为 ，当 ，即 时取等号，
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所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值为 ．
8. 已知函数 ，其中 ，若关于 的方程 恰有一个实数根，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过构造函数判断 段方程的正根情况，用判别式与韦达定理分析 段方程的负根情况，
再分类组合使总根个数恰好为 ，从而确定 的取值范围.
【详解】原方程 等价于：
和 共有一个实数根.
当 时，函数 在 上严格单调递增，因此在 上的值域为 ，
方程在 上有一个实根等价于 ，
令 ，则 ，结合题干 得 ，不等式等价于： ，
构造函数 ， ，
因为 均为 上的减函数，故 为 上的减函数，
而 ，故 的解为 ，故 的解为 .
故当方程在 上有一个实根时 .
当 时，考虑方程 即 ，
，结合 分类：
当 ，
由韦达定理，两根之和 ，两根之积 ，故有 个负根；
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当 或 ；
时，方程为 ，根 （不在 区间，无负根）；
当 ：方程为 ，根 （在 区间，有 个负根）；
当 ：方程无实根，无负根.
分类讨论总根个数：
当 ：方程 有 个负根，方程 无正根 总根个数 ，不符合题意；
当 ：方程 有 个负根，方程 无正根 总根个数 ，符合题意；
当 ：方程 无负根，方程 有 个正根 总根个数 ，符合题意；
故满足方程恰有一个实数根的 取值范围为： .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式性质、幂函数单调性及作差法，结合 、 的条件，逐一判断各选项不等式
是否恒成立.
【详解】选项 A：由 得 ，根据正数平方的单调性， ，即 ，A 正确；
选项 B：函数 在 上严格单调递增，因 ，故 ，B 错误；
选项 C： ，由 ，得 ， ，故 ，即 ，C 正确；
选项 D：不等式两边同乘负数 ，不等号方向改变，由 得 ，D 错误.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
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B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二倍角公式、辅助角公式，可得 解析式，根据周期公式，可判断 A 的正误；将 代
入 ，根据正弦函数的性质，可判断 B 的正误；根据 x 的范围，可得 的范围，根据正弦函数的
性质，可判断 C 的正误；根据条件可得 ，根据 的范围及函数值的大小，可得 的范
围，进而可得 的值，根据两角差的正弦公式，即可得答案.
详解】由题意 ，
则 的最小正周期 ，故 A 正确；
令 ，则 ，为函数的最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
当 时， ，故 C 错误；
因为 ，所以 ，
由题意 ，得 ，
所以 ，所以 ，
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则
，故 D 正确.
11. 已知定义在 上的单调函数 满足：对任意 ，都有 且
.则以下结论正确的是（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 当 时，
C. 函数 是奇函数
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先通过赋值法，求得 ， ，再根据函数的性质，逐项判断即可.
【详解】令 ，代入 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，
对于 A 选项，因为 为定义在 上的单调函数，又 ， ，
所以函数 在 上单调递增，故 A 正确；
对于 B 选项，在 中令 ，得 .
由 可知， ,
当 时，则 ，又 ，所以 ，
又函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C 选项，因为 ，所以 ，
所以 ，
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又 ，所以 ，
即 ，所以函数 为奇函数，故 C 正确；
对于 D 选项，因为 ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等，
又 ，
所以 ，故 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 计算： __________.
【答案】 ##
【解析】
【详解】原式
13. 已知函数 ，则 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【详解】由已知 ，
则 ，解得 ，
即函数的定义域为 .
14. 已知函数 与 ，若对任意的 ，总存在
，使得 成立，则实数 的取值范围为__________.
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【答案】
【解析】
【详解】因为 ，则 ，所以 .
因为 ，则 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， .
而对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
则有 在 上的取值范围是 在 上的取值范围的子集.
所以当 时，则有 ，解得 .
当 时，则有 ，解得 .
综上所述， 取值范围为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）设命题 ，命题 ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由具体函数的定义域求出集合 的范围，利用集合并集和补集的概念求解即可；
（2）由充分条件得出结论，确定集合关系，求解 的范围.
【小问 1 详解】
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由题意得， ，解得 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，
所以 或 ，又 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
由题意命题 是命题 的充分条件，
所以 ，所以 ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
16. 为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑
的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为 50 万元，每生产 1 万吨需另外投入生产
成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材 万吨且全部售完，其总销售收入 （万
元）与年产量 （万吨）满足如下关系式：
（1）写出年利润 （万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润 总销售收入 总成本）；
（2）当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为 15 万吨时，年利润最大，最大年利润为 1200 万元
【解析】
【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；
（2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论．
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【小问 1 详解】
由 ，
可得 ，
【小问 2 详解】
当 时， 是对称轴为 的二次函数，
则 在 上单调递增，
故当 时， 万元，
时， ，
显然 ， ，
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立， 万元，
，
当年产量为 万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为 1200 万元.
17. 已知函数 的最小正周期为 ，最大值为 .
（1）求函数 的解析式和对称中心；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标
不变，得到函数 的图象.设函数 在区间 上有两个不同的零点，求实数 的
取值范围.
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【答案】（1） ； ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知函数的性质求参数，再由正弦型函数的性质求对称中心；
（2）经过变换得到 解析式，将零点问题转化成交点问题求解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，而 ，得 .
所以由 ，得 ，而 ，
所以 ，则 .
由 解得 ， ，
所以 的对称中心为 ， .
【小问 2 详解】
将 的图象向左平移 个单位，得到函数
，再将所得图象上各点
的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 .
由函数 在区间 上有两个不同的零点，即
在区间 上有两个不同的交点.
而 时 单调递增， 时 单调递减，
且 ， ，
，所以有 .
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18. 已知 且 ，函数 是指数函数，且 .
（1）求实数 和 的值；
（2） 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，且一根大于 0，另一根
小于 0，其中 ，求整数 的最大值.
【答案】（1） ，
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）根据指数函数解析式特征求得 ，由 求得 ；
（2）由（1）可知 ，分离参数得 对任意 恒成立，然后利用换元法及对
勾函数的单调性求得函数最小值，即可得解；
（3）令 ，则方程 有一根大于 1，另一根大于 0 且小于 1，记
，利用二次函数根的分布列不等式组，即可求解．
【小问 1 详解】
因为函数 是指数函数，
所以 ，即 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
又 ， 且 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
由题意 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，
则 ，记 ，
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令 ，因为 ，所以 ，则 ，
由对勾函数单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 最小值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
方程 ，
即方程 ，即方程 ，
令 ，则方程 ，
因为关于 的方程 的一根大于 0，另一根小于 0，
所以关于 的方程 的一根大于 1，另一根大于 0 且小于 1，
记 ，
所以 ，
所以 ，所以整数 的最大值为 0.
19. 已知函数 在 上 奇函数， .
（1）求实数 的值；
（2）求 在 上的值域；
（3）已知 ，若对任意 ，任意 ，不等式
都成立，求正数 的取值范围.
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【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，得出 恒成立，即可求解；
（2）由（1）化简函数 ，结合复合函数的单调性的判定方法，得到 在 上
的减函数，求得 的最小值与最大值，即可得到函数 的值域；
（3）根据 单调性和奇偶性，转化为 ，利用基本不等式求得
，令 ，利用函数的性质，得出 ，结合一元二次不等式的解
法，即可求解.
【小问 1 详解】
因为函数 在 上为奇函数，
所以 ，
所以 恒成立，
因为 ，可得 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
设 ，可得函数 为 上的减函数，
因为 ，函数 为单调递增函数，
根据复合函数的单调性，可得函数 为 上的减函数，所以 为 上的减函数，
则 ， ，
所以函数 的值域为 .
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【小问 3 详解】
由不等式 ，
即 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，
又因为函数 为 上的减函数，
所以 ，
因为 ，
整理不等式得 ，
因不等式对任意 恒成立，故左侧关于 的最大值须小于等于右侧，
由基本不等式知 ，当且仅当 时取等号，
故 ，即 ，
因为 ，令 ，
则 ，即 ，所以 ，
因为 在 上为增函数，所以 ，
则 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以正数 的取值范围为 .
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