2025-2026学年湖南省益阳市高三下学期联合考试数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年湖南省益阳市高三下学期联合考试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，函数在上单调递减的充要条件是，已知，则p是q的等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
4．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）
A．B．C．D．
5．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数在上单调递减的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（ ）
A．{2，3，4，5}B．{2，3，4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6}D．{1，3，4，5，6，7}
9．已知，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.
14．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
15．在正奇数非减数列中，每个正奇数出现次.已知存在整数、、，对所有的整数满足，其中表示不超过的最大整数.则等于______.
16．若实数，满足不等式组，则的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
18．（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
19．（12分）已知不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）已知存在实数使得恒成立，求实数的最大值.
20．（12分）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）已知集合，集合，.
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
22．（10分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
故退出循环的条件应为k>5?
本题选择C选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
2．A
【解析】
构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，
是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.
不等式等价于，
等价于，注意到，
结合图像关于对称和单调递增可知.
所以不等式的解集是.
故选：A
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.
3．C
【解析】
由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选．
4．B
【解析】
计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在的数据个数为，
样本在的数据个数为，
因此，样本在、内的数据个数为.
故选：B.
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
5．C
【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.
【详解】
若，根据线面平行的性质定理，可得；
若，根据线面平行的判定定理，可得.
故选：C.
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
6．C
【解析】
先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，则，故在上恒成立；
结合图象可知，，解得
故.
故选：C.
本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
7．B
【解析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论.
【详解】
∵，结合函数的图象可知，
二次函数的对称轴为，，
，∵，
所以在上单调递增.
又因为，
所以函数的零点所在的区间是.
故选:B.
本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.
8．C
【解析】
根据集合的并集、补集的概念，可得结果.
【详解】
集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，
所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}
B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，
故＝{1，4，5，6}，
所以＝{1，2，3，4，5，6}.
故选：C.
本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.
9．B
【解析】
根据诱导公式化简再分析即可.
【详解】
因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
10．A
【解析】
根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数，，
由题意得，
即，
令，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，而，
当且仅当，即当时，等号成立，
∴，
∴.
故选：A.
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
11．C
【解析】
由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.
【详解】
解：因为，所以，又，所以，
又，解得.
故选：C.
本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.
12．D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可.
【详解】
因为，又当时，，即.
当时，显然成立；
当时，由等价于，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，则，
又，得，
因此的最大值为.
故答案为：
本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．
【解析】
由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】
解：如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故答案为：．
本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．
15．2
【解析】
将已知数列分组为（1），，
共个组.
设在第组，，
则有，
即.
注意到，解得.
所以，.
因此，.
故.
16．5
【解析】
根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解
【详解】
画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，
令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.
本题考查线性规划问题，属于基础题
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）定值为0.
【解析】
（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.
【详解】
（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，
因为离心率为，所以，
（2），设直线，
则
因此
由得，
所以，
因此
即
本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
18．（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．
【解析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.
【详解】
（1），，，．
（2）设，其中，
则由题意：，故，即，
考虑，可知：，或，
若，则考虑，
，，则，
，但此时，，不满足题意；
若，此时，满足题意，
，其中为相异正整数．
（3）记，则，
首先，，设，其中，
分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，
而，，
，
对于，考虑，，其和大于，故其差，
特别的，，，
由，且，，
以此类推：，
，此时，
故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.
19．（1）；（2）4
【解析】
（1）分类讨论，求解x的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；
（2）转化原不等式为：，利用均值不等式即得解.
【详解】
（1）当时不等式可化为
当时，不等式可化为；
当时，不等式可化为；
综上不等式的解集为.
（2）由（1）有，，
，
，
即
而
当且仅当：，即，即时等号成立
∴，综上实数最大值为4.
本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
20． (Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．
【详解】
解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：．
本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
21．（1）（2）
【解析】
（1）由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果；
（2）先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为；当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.
【详解】
解:（1）因为,所以,
当,即时,；
当,即时,；
当,即时,.
（2）由得,
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
综上,满足题意的k的范围为
本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcsθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．
【详解】
解：（1）在ρ+ρcs2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cs2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，
∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，
所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（csα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
由△＝16sin2α﹣16cs2α＞0，得sinα＞，
t1+t2＝，由|PM|＝，
所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），
所以sinα＝．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

K
S
是否继续循环
循环前
1
1

第一圈
2
4
是
第二圈
3
11
是
第三圈
4
26
是
第四圈
5
57
是
第五圈
6
120
否