唐山市2026年高三第一次调研测试数学试卷（含答案解析）

这是一份唐山市2026年高三第一次调研测试数学试卷（含答案解析），共7页。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
3．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )
A．B．1C．2D．0
4．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）
A．B．1C．D．
8．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
9．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．5D．
11．已知满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知实数，满足，则的最大值等于( )
A．2B．C．4D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．

14．设，则______.
15．函数的极大值为________.
16．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答），
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线．
（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．
18．（12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.
（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.
（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.
（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；
（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.
可能用到的参考数据：取，.
19．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
22．（10分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
（参考公式：，其中）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
2．A
【解析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
3．C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件，目标函数
如图：
当时函数取最大值为
故答案选C
求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
4．B
【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
考点：逻辑命题
5．D
【解析】
由题知，又，代入计算可得.
【详解】
由题知，又.
故选：D
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
6．A
【解析】
=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.
7．D
【解析】
建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.
【详解】
将抛物线放入坐标系，如图所示，
∵，，，
∴，设抛物线，代入点，
可得
∴焦点为，
即焦点为中点，设焦点为，
，，∴.
故选：D
本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.
8．D
【解析】
根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.
【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设，
所以，
解得，
所以 .
故选：D
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.
9．B
【解析】
通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．
【详解】
解：由题意可知，抛物线的准线方程为，，
过作垂直直线于，
由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大，
设在的方程为：，所以，
解得：，
所以，解得，
所以，
．
故选：．
本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．
10．B
【解析】
据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设与交于点，以为原点，的方向为轴，的方向为轴，建立直角坐标系，
则，，，，，
所以.
故选：B.
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
11．A
【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【详解】
，.
故选：A.
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
12．D
【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，
所以原点到可行域上的点的最大距离为.
所以的最大值为.
故选：D
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.
【详解】
由图可知：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.
14．121
【解析】
在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.
【详解】
令，得，令，得，两式相加，得，所以.
故答案为:.
本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.
15．
【解析】
对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.
【详解】
依题意，得.
所以当时，；当时，.
所以当时，函数有极大值.
故答案为：.
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.
16．1080
【解析】
按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，然后用分步计数原理求解.
【详解】
将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，
再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，
则不同的分配方案有种.
故答案为：1080
本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析，（2）函数存在唯一零点.
【解析】
（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点.
（2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数.
【详解】
所以直线方程为
即，恒过点
将代入直线方程，
得考虑方程
即，等价于
记，
则
于是函数在上单调递增，又
所以函数在区间上存在唯一零点， 即函数存在唯一零点.
本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.
18． (1)60%；(2) （i）0.12 （ii）
【解析】
（1）利用上线人数除以总人数求解；
（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解
【详解】
（1）估计本科上线率为.
（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，
则.
（ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，
依题意，可得，.
因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，
所以，即，
解得，
又，故p的取值范围为.
本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.
19．（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）由条件建立关于的方程组，可求得，得出椭圆的方程；
（2）①当直线的斜率不存在时，可求得，求得，②当直线的斜率存在且不为0时，设 联立直线与椭圆的方程，求出线段，再由得出线段，根据等差中项可求得，得出结论.
【详解】
（1）由条件得，所以椭圆的方程为：；
（2），
①当直线的斜率不存在时，，此时,
②当直线的斜率存在且不为0时，设,联立 消元得，
设，
，
直线的斜率为，同理可得
，
所以，
综合①②，存在常数，使得成等差数列.
本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.
20．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2），
当且仅当时取等号，此时．
故．
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．
（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．
【详解】
当时，，
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得，
所以的解集为
（2）的解集包含等价于在上恒成立，
当时，等价于恒成立，
而，∴，
故满足条件的的取值范围是
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
22． (1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3
【解析】
（1）由频率和为1，列出方程求的值；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，
填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，
解得；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为（人），
填表如下：
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，
所以可视为服从二项分布，即，
，
故，
，
，
，
.
所以的分布列为：
数学期望为.或（）．
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
0
1
2
3
4