2025-2026学年新疆维吾尔自治区阿勒泰地区高考考前模拟数学试题（含答案解析）

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1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
2．已知锐角满足则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．或B．C．D．或
4．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A．10000立方尺 B．11000立方尺
C．12000立方尺 D．13000立方尺
6．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．或D．
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．2D．
8．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．函数的大致图象是
A．B．C．D．
10．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．9B．31C．15D．63
11．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16B．λ＝﹣16C．﹣12＜λ＜0D．λ＝﹣12
12．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
14．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
15．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________.
16．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
18．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.
19．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.
20．（12分）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．
21．（12分）改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
（Ⅰ）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.
附：，其中
22．（10分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B．
2．C
【解析】
利用代入计算即可.
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
3．D
【解析】
根据正弦定理得到，化简得到答案.
【详解】
由，得，
∴，∴或，∴或．
故选：
本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
4．B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
5．A
【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．
故选A．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．
6．D
【解析】
先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.
【详解】
，
若在上不单调，令，
则函数对称轴方程为
在区间上有零点（可以用二分法求得）.
当时，显然不成立；
当时，只需
或，解得或.
故选:D.
本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.
7．D
【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故
对三角形运用余弦定理，得到，
而结合，可得，，代入上式子中，得到
，结合离心率满足，即可得出，故选D．
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．
8．C
【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.
【详解】
由题意可得，则.
故选:C.
本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
9．A
【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】
由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；
当时，，可排除D选项；
当时，，当时，，
即，可排除C选项，
故选：A
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
10．B
【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
11．D
【解析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.
【详解】
设，
联立
则，
因为直线经过C的焦点，
所以.
同理可得，
所以
故选：D.
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
12．D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.
【详解】
解：因为轴截面是正方形，且面积是36，
所以圆柱的底面直径和高都是6
故答案为：
考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.
14．8 （写为也得分）
【解析】
由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.
15．
【解析】
利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可.
【详解】
因为，成等差数列，
所以，
由等比数列通项公式得，
，
所以，
解得或，
因为，所以，
所以等比数列的通项公式为
.
故答案为：
本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识 综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.
16．
【解析】
先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出．
【详解】
因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ，
直线与 在的图像有一个交点，
由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根.
综上实数的取值范围是.
本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）的普通方程为．的直角坐标方程为 （2）（-1，0）或（2，3）
【解析】
（1）对直线的参数方程消参数即可求得直线的普通方程，对整理并两边乘以，结合，即可求得曲线的直角坐标方程。
（2）由（1）得：曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆，设点P的坐标为，由题可得：，利用两点距离公式列方程即可求解。
【详解】
解：（1）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
因为
又，
∴曲线的直角坐标方程为
（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆
设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|
即，整理得，解得
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。
18．.
【解析】
根据特征多项式可得，可得，进而可得矩阵A的逆矩阵.
【详解】
因为矩阵的特征多项式，所以，所以.
因为，且，
所以.
本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题.
19．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据公式得到，计算得到答案.
（2），根据裂项求和法计算得到，得到证明.
【详解】
（1）由已知得时，，故.
故数列为等比数列，且公比.
又当时，，..
（2）.
.
本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）分类讨论，，，即可得出结果；
（2）先由题意，将问题转化为即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出结果.
【详解】
（1）由得，
若，则，显然不成立；
若，则，，即；
若，则，即，显然成立，
综上所述，的取值范围是．
（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，
当时，，所以；
因为，
所以，解得，结合，
所以的取值范围是．
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
21．（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，
【解析】
（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.
（Ⅱ）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.
（Ⅲ）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ） ，解得.
所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.
（Ⅱ）
，
所以有的把握认为交通安全意识与性别有关
（Ⅲ）的取值为
所以的分布列为
期望.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则，结合由得到的斜率关系，即可求得斜率的范围.
【详解】
（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，
所以点到点的距离比点到直线的距离大.
因为圆的半径为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为.
所以曲线的方程.
（2）设，，
由得，
由得且.
，
，同理
由，得，
即，
所以，
由，得且，
又且，
所以的取值范围为.
本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
16
34
50
女性
4
46
50
合计
20
80
100