甘肃省天水市2025-2026学年高考数学四模试卷（含答案解析）

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
3．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
4．已知集合，则=（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．或D．
6．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，，则集合子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
10．已知向量满足,且与的夹角为,则( )
A．B．C．D．
11．已知，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则___________.
14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．
15．设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，则称为关于函数的平均数，记为.当_________时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）
16．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离.
18．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）证明：
19．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
20．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；
（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
22．（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.
故选：B.
本题考查不等关系和不等式，属于基础题.
2．C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
3．C
【解析】
试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直
考点：直线与直线的位置关系
4．D
【解析】
先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求
【详解】
，所以 .
故选：D
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
5．D
【解析】
先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.
【详解】
，
若在上不单调，令，
则函数对称轴方程为
在区间上有零点（可以用二分法求得）.
当时，显然不成立；
当时，只需
或，解得或.
故选:D.
本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.
6．A
【解析】
根据y=Acs（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
本题考查函数y=Acs（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
7．A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
8．B
【解析】
首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.
【详解】
解：，，
，
子集的个数为.
故选：.
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．
9．C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．
故选：C．
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
10．A
【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】
.
故选：A.
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
11．B
【解析】
根据诱导公式化简再分析即可.
【详解】
因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
12．D
【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.
【详解】
因为函数，其定义域为，
所以其定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，因为，
所以.
故答案为:
本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
14．0.22.
【解析】
正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。
【详解】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．
15．
【解析】
由定义可知三点共线，即，通过整理可得，继而可求出正确答案.
【详解】
解：根据题意，由定义可知：三点共线.
故可得：，即，整理得：，
故可以选择等.
故答案为: .
本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.
16．
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.
【详解】
如图，
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，
故.
在中，
由双曲线的定义可得
，
.
故答案为：
本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，利用中位线的性质得出，，利用空间平行线的传递性可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）推导出平面，并计算出，由此可得出到平面的距离为，即可得解.
【详解】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，
、分别为、的中点，则，同理可得，.
平面，平面，因此，平面；
（2）由于在底面的投影为，平面，
平面，，
为正三角形，且为的中点，，
，平面，且，
因此，到平面的距离为.
本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；
（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.
【详解】
（Ⅰ）
则
当且仅当，即，时，
所以的最小值为．
（Ⅱ）要证明：，
只需证：，
即证明：，
由，
也即证明：．
因为，
所以当且仅当时，有，
即，当时等号成立．
所以
本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.
19．矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为
【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.
【详解】
由题意，矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
将代入二元一次方程组，解得，
所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；
同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．（1）.（2）.
【解析】
（1）先根据空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.
（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.
【详解】
规范解答 （1） 因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，
所以＝(－1，0，0)，＝
记异面直线AC和BE所成角为α，
则csα＝|cs〈〉|＝＝，
所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.
（2） 设平面BFC1的法向量为= (x1，y1，z1)．
因为＝，＝，
则
取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为＝(4，0，1)．
设平面BCC1的法向量为＝(x2，y2，z2)．
因为＝，＝(0，0，2)，
则
取x2＝ 得平面BCC1的一个法向量为＝(，－1，0)，
所以cs〈〉＝ =
根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角，
所以二面角F-BC1-C的余弦值为.
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为
【解析】
（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.
（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.
【详解】
解：（1）因为是第二象限角，且，
所以.
所以，
所以.
（2）函数的定义域为.
化简，得
，
因为，且，，
所以，
所以.
所以函数的值域为.
（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为，进而可得出，再将代数式与相乘，利用基本不等式求得的最小值，进而可证得结论成立.
【详解】
（1）当时，由，得，即，解得，此时；
当时，由，得，即，解得，此时；
当时，由，得，即，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2），
当且仅当时取等号，所以，.
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以.
所以，即.
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.