2026届白山市高考数学一模试卷（含答案解析）

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5B．3C．D．2
2．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）
A．B．4C．D．16
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3
A．B．C．D．
4．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
5．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )
A．B．40C．16D．
6．已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A．－10B．－9C．－7D．1
7．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
9．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．360种
11．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．4
12．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
14．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.
15．函数的值域为_________．
16．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.
参考数据：.
18．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个实根，且，求证：.
19．（12分）试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．
20．（12分）已知，函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.
21．（12分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若均为正实数，且满足，为的最小值，求证：.
22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且 ，求的面积的值（或最大值）．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
2．D
【解析】
根据复数乘方公式：，直接求解即可.
【详解】
，
.
故选：D
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
3．D
【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为：
V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．
故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．
4．D
【解析】
作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值
【详解】
解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，
设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，
所以x＝2a，则EF2＝2a，
由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
所以c2＝7a2，
则e
故选：D．
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.
5．D
【解析】
如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.
【详解】
如图所示：过分别作于，于.
，则，
根据得到：，即，
根据得到：，即，
解得，，故.
故选：.
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6．B
【解析】
根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
.
故选：B
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.
7．A
【解析】
根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数，，
由题意得，
即，
令，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，而，
当且仅当，即当时，等号成立，
∴，
∴.
故选：A.
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
8．D
【解析】
计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
9．C
【解析】
由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得
【详解】
解析：，，
对应点为，在第三象限．
故选：C．
本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．
10．B
【解析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
11．C
【解析】
根据对称性即可求出答案．
【详解】
解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，
故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，
故选：C．
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
12．C
【解析】
由,再运用三点共线时和最小，即可求解.
【详解】
.
故选：C
本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-1
【解析】
由题意，令即可得解.
【详解】
∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，
∴，
又z1•z2是纯虚数，∴，解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.
14．，
【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.
【详解】
由是偶函数及，可取，
则，
由的图象关于点对称，得，，
即，，可取.
故，的一组值可以分别是，.
故答案为：，.
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
15．
【解析】
利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．
【详解】
由题意，可得，
令，，即，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
故函数的值域为：．
本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
16．
【解析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，
，
，当时取等号，
由可知，，当时取等号，
，
当有解时，
令，则，
在上单调递增，
又，，
使得，
，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式
【解析】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；
（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.
【详解】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，
表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为元.
（2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，
则，
所以，
即，
因为，
所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
，
因为，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.
本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
18．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；
（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.
【详解】
（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
则在上单调递减，
因为，
当时，在内单调递减.，
当时，由，有，
此时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，，所以.
（2）由为方程的两个实根，
得，
两式相减，可得，
因此，
令，由，得，
则，
构造函数.
则，
所以函数在上单调递增，
故，
即， 可知，
故，命题得证.
本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.
19．y＝2sin2x．
【解析】
计算MN，计算得到函数表达式.
【详解】
∵M，N，∴MN，
∴在矩阵MN变换下，→
∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.
20．（1）（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；
（2）不妨设，，，
利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵
∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，
∴在上恒成立.设，
∵函数在上单调递增，∴，
∴，∴实数的取值范围为.
（2）不妨设，，，
则，
∴.
∵，∴，
又，令，∴，
∴在上为减函数，∴，
∴，即，
∴在上是减函数，∴，即，
∴，
∴当时，.
∵，∴.
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（1）或（2）证明见解析
【解析】
（1）将写成分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）由（1）求得最小值，由此利用基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1）
当时，恒成立，解得；
当时，由，解得；
当时，由解得
所以的解集为或
（2）由（1）可求得最小值为，即
因为均为正实数，且
（当且仅当时，取“”）
所以，即.
本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.
22．见解析
【解析】
若选择①，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，
将代入，得．
又，∴，当且仅当时等号成立．
∴，
故的面积的最大值为，此时．
若选择②，，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，
则，此时为等腰直角三角形，.
若选择③，，则结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则．