贵州省遵义市播州区2024—2025学年高一上学期期末适应性考试数学试题 （解析版）

这是一份贵州省遵义市播州区2024—2025学年高一上学期期末适应性考试数学试题 （解析版），共4页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回．， 已知函数，则的单调减区间为， 新高考选科要求，语数外+， 已知，则下列不等式成立的是， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. [2，4]B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的定义计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C.
2. 已知命题，则命题的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题直接可得其否定.
【详解】由命题，
则，
故选：D.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在定理直接判断.
【详解】由已知可知在R上单调递增，
，
，
，
，
，
所以，
所以的零点所在区间为2,3，
故选：C.
4. 已知函数，则（ ）
A. 3B. 8C. -8D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式代入求值即可.
【详解】由题意，，则，
故选：A.
5. 已知函数，则的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数性质直接可得单调区间.
【详解】由已知函数，解得，
即函数定义域为，
设，则，
又在上单调递减，在上单调递增，
且在定义域内单调递增，
综上所述在上单调递减，在上单调递增，
即函数的单调递减区间为，
故选：C.
6. 新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（ ）
A. 事件C与事件D互斥B. C. 事件A与事件B对立D.
【答案】C
【解析】
【分析】写出试验的样本空间，判断是古典概型，利用古典概型的概率公式计算概率可判断B、D，根据互斥和对立的定义可判断A、C.
【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物，
则样本空间，
共有个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型
对于A，事件，所以事件C与事件D不互斥，故A错误；
对于B，因为，所以，
则，故B错误；
对于C，，，
则，且，所以事件A与事件B对立，故C正确；
对于D，，则，所以，故D错误；
故选：C.
7. 已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式即可求最值.
【详解】因为，所以，
又，所以，则由基本不等式可得：
，
当且仅当，即时，等号成立.
因此，的最小值是.
故选：A.
8. 已知是定义在上的偶函数，若对于任意的，当时，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义得函数在上单调递减，结合偶函数的对称性得函数在上单调递增，利用可得当或时，，当时，，进而求解不等式和，再分类讨论解分式不等式即可.
【详解】因为对于任意的，当时，都有成立，
所以函数在上单调递减，又是定义在上偶函数，
所以函数在上单调递增，又，则，
所以当或时，，当时，，
所以由，得或，解得或，
由，得，解得，
又，
所以或，解得或，
因此，不等式的解集为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，以及作差法逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，则，故B正确；
对于C，因为，则，故C正确；
对于D，，又，
则，，所以，即，故D正确；
故选：BCD.
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 函数且过定点
B. 函数的定义域为[0,1]，则的定义域为
C. 不等式的解集为或
D. 函数的最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质可判断，对于B，由抽象函数的定义域求解方法可判断，对于C，分类讨论去掉绝对值符号，求解即可；对于D，由基本不等式等号成立的条件即可判断.
【详解】对于A，由指数函数的图象与性质可知，时，，则图象过定点，故A正确；
对于B，由函数的定义域为，得，则，
所以，解得，即函数的定义域为，故B错误；
对于C，由，得或，解得或，故C正确；
对于D，因为，所以由基本不等式可得：
，
由，解得无解，则等号不成立，即函数的最小值不是，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数对任意实数x，y都满足，且，以下结论正确的有（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是奇函数D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据可判断C，令可判断A，令可得函数是偶函数，令可得，令可得，从而得是函数的周期，进而可判断B、D.
【详解】由题意，函数的定义域为，
因为，则函数不是奇函数，故C错误；
令，则，即，
又，则，故A错误；
令，则，即，所以函数是偶函数，即函数是偶函数，
令，则，解得，
令，则，所以，
所以，又，则，
所以，则，
故是函数的周期，所以是偶函数，故B正确；
因为，所以，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数过点，求______.
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法求幂函数解析式，将代入求值即可.
【详解】由题意，设，则，解得，则，故.
故答案为：.
13. 设是关于的方程的实数根，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列方程，即可求解的值.
【详解】由，得，
又是关于的方程的实数根，
所以由根与系数的关系可得，，
从而，解得.
故答案为：.
14. 已知，若关于的方程有四个实根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图像，根据，可得，或，结合函数图像，分情况讨论方程解的情况，即可得解.
【详解】
由，
且当时，函数单调递减，且，
当时，函数单调递增，且，
作出函数图象如图所示，
又方程有四个不同的解，
即或共四个不同的解，
且时，方程有两个解，
所以方程有两个解，且，
结合函数图象可知，，
综上所述，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共计77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：；
（2）已知正实数满足，求的值：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数与对数的计算公式化简计算；
（2）根据完全平方公式化简计算.
【详解】（1）
；
（2）由，
则，
所以，
又，则，
所以.
16. 已知集合，集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得集合，进而可得；
（2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
当时，，
又
则；
小问2详解】
由“”是“”的必要不充分条件，
可知，
所以或，
解得或，
综上所述，
即.
17. 某学校高一（10）班共有50名学生，在某次期中测试中，老师将这50名学生的历史科成绩（单位：分）按分成4组，并绘制成下面的频率分布直方图．
（1）求图中的值，并利用各组的中间值估计这50名学生历史科成绩的平均数；
（2）若采用分层抽样的方法分别从成绩在[70，80），[90，100]的学生中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人来了解他们的学习状况，求抽取的2人成绩不在同一组的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积和为列方程可解的值，再根据加权平均数的计算公式求平均值即可；
（2）根据频率分布直方图得频率之比，按照比例分层抽样，从而确定这五人来自区间[70，80），[90，100]的人数，再利用古典概型求概率即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图得，解得，
则估计平均数为.
【小问2详解】
由频率分布直方图得成绩在[70，80），[90，100]的频率之比为，即，
所以这5人中来自区间[70，80）的人数为，分别记为；
来自区间[90，100]的人数为，分别记为；
所以试验的样本空间，共个样本点，
且每个样本的是等可能发生的，所以这是一个古典概型，；
设事件“抽取2人成绩不在同一组”，则，，
所以.
因此，抽取的2人成绩不在同一组的概率为.
18. 已知某工厂在生产和销售某种产品的过程中，年利润y（单位：百万元）是关于投资成本（单位：百万元）的函数.下表是该工厂最近几年来的年利润与年投资成本的一组数据：
给出以下三个函数模型：①；②；③.
（1）从以上三种函数模型中选出最符合上述数据的函数模型，并求出该解析式；
（2）若今年的投资成本为5百万元，预计今年的年利润为多少百万元？
（3）若想要年利润达到15百万元及以上，则投资成本至少需要多少百万元（精确到0.01）.
（参考数据：）
【答案】（1）模型②是最符合上述数据的函数模型，解析式为
（2）（百万元）
（3）（百万元）
【解析】
【分析】（1）将表格中的已知点、和分别代入三个模型，求出函数解析式，再利用来判断哪个模型最合适；
（2）将代入（1）中选出来的模型②计算函数值即可；
（3）根据题意得，利用指数函数的性质转化为对数不等式，借助换底公式、对数运算求值即可.
【小问1详解】
对于模型①，将，代入可得：
，解得，则，将代入得，
对于模型②，将，，代入可得：
，解得，则，将代入得，
对于模型③，将，代入可得：
，即，解得，
将代入得，
综上所述，模型②是最符合上述数据的函数模型.
小问2详解】
由题意，将代入，得，
所以预计今年的年利润为百万元.
【小问3详解】
由题意，得，化简得，因为，，
所以，即，
则.
因此，想要年利润达到15百万元及以上，则投资成本至少需要百万元.
19. 已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）记，若，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在上单调递增，证明见详解.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义在上的奇函数的性质得，即可求解的值；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）利用换元法令，转化得，使得成立，利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可.
【小问1详解】
因为函数为定义在上的奇函数，
所以，即，解得.
当时，，，
且，满足题意，故.
【小问2详解】
函数在上单调递增，证明如下：
取，且，
则
因为，则，即，又，则，
所以，即，
因此，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由题意，，.
因为，使得成立，
即，使得成立，
令，则，因为函数在上单调递增，
所以由，解得，
所以，使得成立，
即，使得成立，
即 ，
因为所以，，
因此，实数的取值范围是 .
年份
2021
2022
2023
2024
…
投资成本
1
2
3
4
…
年利润
1
2
…