四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题（解析版）

这是一份四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题（解析版），共22页。
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：由题意知，，则.
故选：D.
2. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
解析：等比数列满足，则，解得或，而，
当时，，与矛盾；当时，，
所以数列的公比.
3. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：对方程求解得或，因此集合；
已知全集，则；
而，则.
4. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：由题意知，，则可知，
当时，，即充分性成立；
取，满足，，，
但是，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
5. 已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线l，若l交C的另一条渐近线于点A，则（O为坐标原点）的面积为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
解析：已知双曲线，得，因此，即.
右焦点坐标为，原点.
双曲线渐近线方程为，不妨取平行于的直线，斜率为，
得的方程： .
直线交另一条渐近线，联立方程： y=3(x−2)y=−3x 解得，即.
底（在轴上），高为点纵坐标绝对值，
因此面积： .
6. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：在边长为2的正方形中，，
设，，
而，因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：由函数的定义域均为R，且为偶函数，得，
求导得，则，由是R上的减函数，
得当时，，因此函数在上单调递减，
所以.
8. 已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点，
以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则球心的坐标为：
因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径；
故 ，，，
所以 ，，
设平面的法向量为，则由，即，
令，则，则是平面的一个法向量.
又，因此球心到平面的距离
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 从某校高三年级随机抽取50名学生的数学模拟考试分数（满分150分）作为样本，整理得到样本的平均数，中位数，标准差，则下列说法正确的有（ ）
A. 若将这50名学生的分数都加4，则新样本的平均数为109
B. 若将这50名学生的分数都加4，则新样本的标准差为10
C. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的中位数一定不变
D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数一定不变
【答案】AC
解析：设这50名学生的分数从小到大为，
对于A，将这50名学生的分数都加4，
则新样本的平均数为，A正确；
对于B，将这50名学生的分数都加4，由A知新样本的平均数也加4，
则新样本的标准差
，B错误；
对于C，原样本共50个数据，排序后中位数是第25个数和第26个数的平均值；
去掉1个最高分、1个最低分后，剩余48个数据，新中位数是新样本的第24个数和新第25个数的平均值，
这两个数恰好对应原排序的第25、26个数，因此中位数不变，C正确；
对于D，去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数为，
而，只有当时，，
当时，，
即去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数可能改变，D错误.
10. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. l的方程为B. 为正三角形
C. D. 的面积为
【答案】ABD
解析：抛物线的焦点在直线上，则，解得，
对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确；
对于B，由，解得或，，
，为正三角形，B正确；
对于C，由选项B得，，，C错误；
对于D，点到直线的距离，，，D正确.
11. 设数列，，，各项均为正整数，其所有项的和为S，该数列为单调不减数列，若对于任意正整数m，，m为数列中的某一项或若干项的和，则（ ）
A. 可能为2
B. 当时，n的最小值为4
C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2
D. 对任意的，都有
【答案】BCD
解析：选项A：若，根据定义，正整数，但数列各项均为正整数且，后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示，与条件矛盾，选项A 错误；
选项B：当时：为使能表示正整数范围最大，数列应取，，，
此时可表示的最大数为故无法满足；
当时：数列取，其和为且取中若干项之和可表示到的所有整数（二进制原理），
因此满足条件，故的最小值为4，选项B 正确；
选项C：设数列首项为，公比为（且为正整数），数列单调递增，
由条件可知，必须能被表示，故，数列变为，
要表示，则（若，无法表示），验证公比为2时，可通过项的和表示任意正整数，符合条件，选项C 正确；
选项D：记，假设，
由于数列单调递增，，则，
此时正整数，但无法用前项和表示（最大值为），也无法包含及后续项（均大于），与题设矛盾，
故假设不成立，即，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二项式的展开式的第2项的系数为_________.
【答案】
解析：展开式第2项为.
所以展开式的第2项的系数为.
13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________.
【答案】
解析：函数的定义域为，求导得，
由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根，
则，解得，令是的两个正根，
，则，当或时，；
当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，
所以实数a的取值范围为.
14. 设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________.
【答案】
解析：函数，则，其最大值为2，
的最大值为，由，得，
因此对任意，有，，即函数的周期为4，
又函数的最小正周期为，于是，解得，
又，因此为正奇数，
则，，当时，，
当时，；当时，，
所以，在上的值域为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，，求AB边上中线的长.
【答案】（1）
（2）5
解析：
（1）在中，，故.
由，得，
即，
即，(舍去，因).
由，，得.
（2）由，，得.
.
由正弦定理得，
同理，.
设的中点为，则.
在中，
，
故，即边上的中线长为.
16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是正三角形，且．
（1）求证：；
（2）若，，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
解析：
（1）取中点，连接，，
因为是正三角形，所以，
因为底面是平行四边形，所以，已知，所以，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，是中点，且，所以是的垂直平分线，
所以.
（2）
由，，为中点，
得，，
设，则，，
在正中，，
又，在中，，故，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，即，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设且，若，求a的最小值.
【答案】（1）当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）5
解析：
（1）
函数的定义域为R，
求导得，
当时，，函数在R上单调递减；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）
由（1）得，当时，，
由，得，整理得，
令，由，得，令函数，
求导得，函数在上单调递减，
而，则由，得，因此，解得，又，
所以的最小值为5.
18. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0．
（1）若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为，求；
（2）对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率.
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）求的最大值.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
解析：
（1）
掷3次硬币，每次硬币正面朝上时添加1个字符，反面朝上时添加2个字符，所以的取值可能为.
当时，即3次都是正面朝上，概率，
当时，即2次正面朝上，1次反面朝上，从3次中选1次反面朝上，概率，
当时，即1次正面朝上，2次反面朝上，从3次中选1次正面朝上，概率
，
当时，即3次都是反面朝上，概率，
.
（2）
（ⅰ）若第个字符是“前0”，则第个字符必须是“后0”，
若第个字符是“后0”或 “1”，则第个字符是“前0”的概率为，是“1” 的概率为，
则有，即，
即，
第1个字符是“前0”的概率为，则，
则是首项为，公比为的等比数列.
（ⅱ）若第个字符是“0”，则第个字符是“0”的概率为，是“1” 的概率为，
又第个字符是“前0”的概率为，第个字符是“后0”的概率为，则第个字符是0的概率为，
若保证第个字符是1，则第个字符一定是“后0”，其概率为，
所以可得，
是首项为，公比为的等比数列，
，，
，
，
，
设，则，，
，
设，
，
在定义域内是单调递增函数，
最大值为，即当时，，
当时，的绝对值逐渐减小，逐渐趋近于，
故的最大值为.
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E．
（ⅰ）求轨迹E的方程；
（ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
解析：
（1）
已知椭圆，离心率，短轴长，
由短轴长得，由离心率，得，
结合，得，解得，
因此，椭圆的方程为：.
（2）
（i）若动直线的斜率存在，设其方程为，
联立直线与椭圆方程：，得，
直线与椭圆相切，故判别式，即，可得，
因为，所以直线的斜率为，设点的坐标为，则有：，即，
点也在直线上，所以，即
代入， ，
整理得轨迹的方程：（当时，，，代入上式也成立）；
若动直线的斜率不存在，切线方程为，过原点作垂线，垂线即轴，垂足的坐标为，满足，
综上，轨迹的方程：.
（ii）点在轨迹上，将代入得：
，即，则，
同理可得，
点在椭圆上，代入得，即，
则，同理可得，
因为，四边形面积
因为，令，则，
因为与在时都是增函数，所以是增函数.
因为，令，则，，
则，
令，，则当时，即时，取得最大值，
最大值为，此时，
.