北京市平谷区2025_2026学年高三数学下学期一模质量监控试卷含解析

这是一份北京市平谷区2025_2026学年高三数学下学期一模质量监控试卷含解析，文件包含2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用教师版docx、2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共167页， 欢迎下载使用。

第一部分 选择题（共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 题，每题 4 分，共 40 分；在每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次不等式求解确定集合 ，再由并集运算即可求解.
【详解】由 可得 ，
即 ，又 ，
所以 .
2. 若复数 满足 ，则 在复平面内的对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算可得 ，再根据复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可知： ，
第 1页/共 23页
注
意
事
项
1．本试卷共 4 页，包括两部分、满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．在答题卡土准确填写学校名称、班级和姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上、在试卷上作答无效．
4．在答题卡上、选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将答题卡交回．
即 ，
所以 z 在复平面对应的点为 在第四象限.
3. 已知双曲线 的离心率是 2，则 （ ）
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【详解】已知双曲线方程为 ，则 ，
，
，解得 ．
4. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】对 移项通分： ，
若 ，则 ，因此 ，即 一定成立，充分性成立；
若 ，不一定能推出 ，
举例：取 ，满足 ，但不满足 ，因此必要性不成立；
综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
5. 如图，正方形 的边长为 ，延长 至 ，使 ，连接 、 则
第 2页/共 23页
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 由 图 象 知 ， 所 以 有
，再根据同角三角函数关系式，
可求出 ，选 B.
考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.
6. 已知函数 （ 且 ），将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原
来的 3 倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象恰好与函数 的
图象重合，则 的值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题可得 ，
则再将 的图象向右平移 1 个单位长度后所得图象为函数 的图象，
由题可知函数 图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ，即 ，
又 且 ，所以 .
第 3页/共 23页
7. 设 ，函数 若 ， ．当
存在最小值时， 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析 的图象，结合图象可知，要使 取得最小值的条件，由此列不等式可得结论.
【详解】依题意， ，
当 时， ，易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图象是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图象（即
半圆）；
因为 ，设 ， ，
当 时， ，此时 不存在最小值，
当 时， ，当且仅当 为线段 与半圆的交点时等号成立，
过点 作直线 的垂线，
当垂足 不在函数 的图象上时，
则 ，此时 ， 不存在最小值，
当垂足 在函数 的图象上时，
，此时 ，
当且仅当 与 重合， 为线段 与半圆的交点时等号成立，
第 4页/共 23页
所以当 与 重合， 为线段 与半圆的交点时， 存在最小值，最小值为 ，
因为 的斜率为 ，则 ，
故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
所以若 存在最小值，则 ，又 ，
故 .
8. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，把角 的终边绕端点 逆时针方向旋转 弧度，这时终
边对应的角是 ，若 ，则 （ ）
A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式将 转化为 ，再结合 的范围和余弦函数的单调性分析 的范围，从
而确定 的取值范围.
【详解】根据题意，角 是将角 的终边绕端点 逆时针方向旋转 弧度得到的，故 ，
所以 ，
因为 在 上单调递减，而 ，
所以当 时， 有最大值为 ，
第 5页/共 23页
当 时， 有最小值为 ，
即 ，所以 ，
故 ，所以 有最小值 ， 有最大值 .
9. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧
含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，其中 是臭氧的初始含量， 为常数．经过测算，如果
从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过 年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，
若经过 年，臭氧含量只剩下初始含量的 ， 约为（）（参考数据： ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意， 年臭氧剩一半可得衰减常数 ，代入臭氧剩 的条件 ，再利
用参考数据计算出 .
【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为 ，
已知经过 年臭氧含量剩下一半，即 ，
两边同时取对数得： ，所以 ，
要求臭氧含量剩初始含量的 ，即 ，所以 ，即 ，
由 ， ，得 ，
代入得： 年，
因此，经过约 年臭氧含量只剩下初始含量的 .
10. 在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 ，则点集
所表示的区域的面积是（ ）
A. 8 B. C. 4 D.
【答案】D
第 6页/共 23页
【解析】
【分析】根据题意，求得 是等边三角形，不妨设 ， ，且 ，求得
，结合 ，确定区域形状，进而求得其面积.
【详解】由题意知 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 是等边三角形，
不妨设 ， ，且
因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
又 ，则 ，画出如下图形，
则平行四边形 及其内部即为点集 所表示 区
域，
由 可得 ，
第 7页/共 23页
由 可得 ，
由 可得 ，
所以 ，
点 到直线 的距离
所以平行四边形 的面积为 ，
即点集 所表示的区域的面积是 .
第二部分 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 题，每题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11. 在 的展开式中，x 的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理求出通项 ，即可求出 x 的系数为.
【详解】解： 的展开式中，含 的项为： ，
故 的系数为 .
故答案为： ．
12. 已知直线 与圆 相切，并且圆 过 点，则 的最小值是
______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，得到 ，且 ，联立方程组，求得 ，由 ，得到
，即可求解.
第 8页/共 23页
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径为
因为直线 与圆 相切，可得 ，
又因为圆 过 点，可得 ，
所以 ，可得 ，解得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
13. 无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知 10 架无人机飞行的高度
（单位：米）从低到高构成项数为 10 的数列 ，该数列的前 4 项成等比数列，后 7 项成等差数列，且
， ， ，则 ______，数列 所有项的和为______．
【答案】 ①. 144 ②. 1073
【解析】
【分析】先利用 和 前 项求出前 项等比数列的公比，再利用 和 求出后 项等差数列的公差，进
而分别计算出 及数列各项的和.
【详解】设前 项构成的等比数列公比为 ，则 ，即 ，解得 ；
设后 项构成的等差数列公差为 ，则 分别是第一项和第六项，所以 ，
即 ，解得 ；
因为 是等差数列的第四项，所以 ；
因为 是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项，
则数列 所有项的和 可看作前 项等比数列与后 项等差数列的和，
所以
【点睛】这道题的核心是分段数列的衔接处理：以公共项 为桥梁，分别用等比数列通项公式求公比、等
差数列通项公式求公差，再分段求和得到结果.
14. 如图在一个五面体 中，其中面 为矩形 ， 平面 ，
第 9页/共 23页
且 与平面 的距离为 5，则该五面体 的体积为______．
【答案】40
【解析】
【分析】将多面体 补形为三棱柱 ，过点 F 作 平面 ，过 作 的平
行线，交 于点 ，交 于点 ，利用 ，进行计算即可.
【详解】如图，可将多面体 补形为三棱柱 ，
过点 F 作 平面 ， 为垂足，
过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
由题知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 ， ， 平面 ，
平面 ，∴ ，
连接 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，
∴ ．
15. 在平面内，点 位于直线 的右侧，点 到点 的距离与到直线 的距离之积
为 4．
给出下列四个结论：
第 10页/共 23页
①点 过坐标原点 ；
② ；
③若点 在第一象限内， 的最大值为 1；
④点 经过 3 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】先求出点 P 的轨迹方程，将原点 O 代入轨迹方程即可判断①；由点 位于直线 的右侧和
即可求解判断②；由 时求出 y 即可判断③；由 x 的取值范围将 x 的整数取值代入轨迹方程求
出 y 即可判断④.
【详解】点 到点 的距离为 ，到直线 的距离为 ，
则 ，即点 的轨迹方程为 ，
将点 代入点 P 的轨迹方程得 ，
所以点 过坐标原点 ，①正确；
因为点 位于直线 的右侧，所以 ，
又 ，
所以 ，②正确；
对于③：在 中，
当 时，化简得 ，
当点 在第一象限时，取 ，则 ，
所以点 在第一象限内， 的最大值一定大于 ，故③不正确；
因为 ，令 ，
第 11页/共 23页
所以点 共经过 这 3 个整点（即横、纵坐标均为整数的点），④正确．
三、解答题（本大题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 在 中， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，并求出 边上的高线的长度．
条件①： ；
条件②： ；
条件③：
【答案】（1） ；
（2）选②， 不存在；可选条件①或③，答案均为
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简，结合特殊角三角函数值得到答案；
（2）选择①，利用余弦定理进行求解；选择②，由正弦函数单调性得到角的大小，从而三角形不存在；选
择③，由同角三角函数关系，诱导公式和正弦和角公式进行求解
【小问 1 详解】
中， ，由正弦定理可得 ．
因为 ，所以 ．
故 ，
所以 ．
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
条件②： ，
又 ，故 ，且 为锐角，
第 12页/共 23页
因为 ，故 ，
此时 ，不合题意，此时 不存在；故不能选②；
选条件①： ，
由余弦定理 ，得 ，
即 ，解得： ，负值舍去，
则 边上的高线 ．
选择③： ，
因为 ，且 为锐角，则 ，
，
则 边上的高线 ．
17. 如图，在三棱台 中，四边形 为直角梯形， ，平面 平面
， 为 的中点， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
第 13页/共 23页
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：取 的中点 ，连接 ，证得四边形 是平行四边形，得到 ，
结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ；
法二：根据题意，证得四边形 为平行四边形，得到 ，结合线面平行的判定定理，即可证
得 平面 ；
（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量 和平面 的一个法向量
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问 1 详解】
证明：法一：取 的中点 ，连接 ，
因为 分别是 的中点，可得 ，且 ，
在三棱台 中，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
法二：在三棱台 中， 为 中点，且 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，于是 平面 ．
第 14页/共 23页
【小问 2 详解】
解：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
可得 ，
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ．所以 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成的角正弦值为 ．
18. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生 50 米跑单项等级如下（单位：秒）：
50 米跑单项等级 高一男生 高一女生
优秀 7.3 及以下 8.0 及以下
良好 7.4~7.5 8.1~8.6
及格 7.6~9.5 8.7~10.6
第 15页/共 23页
不及格 9.6 及以上 10.7 及以上
从某校高一男生和女生中各随机抽取 15 名同学，将其 50 米跑测试成绩整理如下：
男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8
女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）估计该校高一男生 50 米跑单项及格及以上的概率；
（2）从该校高一男生和女生中各随机抽取 2 人，估计 4 人中恰有 2 人 50 米跑单项等级是优秀的概率；
（3）通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有 的男生达到良好及以
上的成绩，又有 的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为 ，判
断 的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过 求解；
（2）通过对立事件、独立事件、互斥事件概率公式求解；
（3）根据题目信息，利用古典概率 意义判断即得.
【小问 1 详解】
样本中 50 米跑单项等级获得优秀的男生人数为 5，获得良好的男生人数为 5，获得及格的男生人数为 1，
所以估计该校高一男生 50 米跑单项的及格及以上的概率 ；
【小问 2 详解】
记 4 人中恰有 2 人 50 米跑单项等级是优秀的事件为
记“高一男生 50 米跑单项等级是优秀”为事件 ；
“高一女生 50 米跑单项等级是优秀”为事件 ；
其中 是独立事件
第 16页/共 23页
由（1）得 ； ．
记 2 名 50 米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为
记 2 名 50 米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为
记 2 名 50 米跑单项等级是优秀的人有 1 名是男同学 1 名是女同学的事件为
则 ．
【小问 3 详解】
男生及格及以下成绩人数为 5 人，再次测试后良好及以上成绩约 1 人，
女生及格及以下成绩 8 人，再次测试后良好及以上成绩为 2 人，
两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生，
所以 ．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，右顶点为 ，左焦点为 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 在椭圆 上，且点 在第一象限内，直线 ，过点 且平行于 的直
线交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，点 为线段 的中点，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用离心率和 的几何意义，结合椭圆中 的基本关系，联立方程组即可求出 ，
进而得到椭圆方程；
第 17页/共 23页
（2）法一：先通过直线 和 的方程求得点 和 的坐标，再借助两点间距离公式得到 ，再
由条件 为线段 的中点即可得结论;
法二：先通过直线 和 的方程求得点 和 的坐标，再由条件 为线段 的中点得到点 的坐标，
最后得出 即可得结论.
【小问 1 详解】
由题意 ，解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
依题意， ，因为点 是椭圆上一点，可得 ，且 ，
直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，
令 ，得 ．
直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
令 ，得 ．
第 18页/共 23页
法一：因为 ，
，
所以 ，所以三角形 为等腰三角形，因为点 为底边 的中点，
所以 ．
法二：点 为线段 的中点， ，所以 ，
所以 ，
，所以 ，所以 ．
20. 已知函数 ．
（1）当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求函数 极值点的个数；
（3）若对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）2 个 （3）
【解析】
【分析】（1）切线斜率等于函数 在该点的导数值 ，结合点斜式直线方程即可求解；
（2）多次求导得函数 的单调性，进而求出函数的极值点即可判断；
（3）分离参数得 在 上恒成立，令 ，多次求导得其单调性，然后求解
最值即可．
【小问 1 详解】
第 19页/共 23页
当 时， ，所以 ．
所以 ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
所以 的最小值为 ．
，
又 在 单调递减，在 单调递增，
故存在 ，使得 ，
所以，在区间 上 ，在区间 上 ．
所以，在区间 上 单调递增，在区间 上 单调递减，
故 是函数 的极大值点．
同理：存在 ，使得 ，
所以，在区间 上 ，在区间 上 ．
所以，在区间 上 单调递减，在区间 上 单调递增，
故 是函数 的极小值点．
综上：函数 极值点有 2 个．
【小问 3 详解】
第 20页/共 23页
对任意的实数 恒成立，
等价于 在 上恒成立，得 ，
令 ，则 ．
令 ，则 ．因为 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 的最小值为 ．所以 ，
即实数 取值范围 ．
21. 设数阵 ，其中 ．设 ，其中
且 ．定义变换 为“对于数阵的每一行，若其中有 或 ，则将这一行中每
个数都乘以 ；若其中没有 且没有 ，则这一行中所有数均保持不变 ． 表示
“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，…，以此类推，最后将 经过 变换得到 ”，
记数阵 中四个数的和为 ．
（1）若 ，写出 经过 变换后得到的数阵 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）对任意确定的一个数阵 ，证明：对所有可能的非空子集 ，对应的 的值的总和不超过 ．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
第 21页/共 23页
【分析】（1）根据矩阵变换的定义和已知的变换结果，得到矩阵 ；
（2）先对矩阵 执行指定的 变换得到新矩阵，再将新矩阵所有元素相加得到 ；
（3）通过分类讨论子集是否包含矩阵中对应位置的元素，统计各类子集的数量并计算变换后矩阵元素的总
和，最终推导出所有 的值的总和的表达式并证明其不超过 −4.
【小问 1 详解】
由题意可得 ；
【小问 2 详解】
经 变换后得 ，故 ．
【小问 3 详解】
若 ，在 的所有非空子集中，含有 且不含 的子集共 ，经过变换后第一行均变
为 ；含有 且不含 的子集共 个，经过变换后第一行均变为 ；同时含有 和
的子集共 ，经过变换后第一行仍为 ；不含 也不含 的子集共 个，经过变换后第一行仍
为 ．
所以经过变换后所有 的第一行的所有数的和为
．
若 ，则 的所有非空子集中，含有 的子集共 个，经过变换后第一行均变为
；不含有 的子集共 个，经过变换后第一行仍为 ．
所以经过变换后所有 的第一行的所有数的和为 ．
同理，经过变换后所有 的第二行的所有数的和为 ．
所以对所有非空子集 ， 的值的总和为 ，
又因为 ，
所以 的值的总和不超过 ．
第 22页/共 23页
【点睛】这道题以矩阵子集变换为载体，核心是通过分类计数与对称抵消思想.