广东省2026届高三数学下学期一模试题含解析

这是一份广东省2026届高三数学下学期一模试题含解析，文件包含2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用教师版docx、2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共167页， 欢迎下载使用。
本试卷共 5 页，19 题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考
生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点
涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不
按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 已知集合 ，若 ，则 （ ）
A. －2 B. 0 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】由于集合 ， ，
则 ，故
2. 在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A. B. 4 C. D. 16
【答案】D
【解析】
【详解】对于 的展开式，
含 的项为 ，
故该项的系数为 16.
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3. 已知 为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得.
【详解】因 ，
则 .
4. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 的图象上，则这个正三角形的边长
为（ ）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先设正三角形的边长为 ，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】设正三角形的边长为 ，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为 ，
又另外两个顶点 抛物线 上，
所以 ，得 ，
所以这个正三角形的边长为 6.
5. 已知数据 的平均数为 1，方差为 2，则数据 的方差为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】因 的平均数为 1，方差为 2，则 ，
于是数据 的平均数为 ，
又 ，则 ，
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于是数据 的方差为：
.
6. 已知下图是一个边长为 3 的九宫格（由 9 个边长为 1 的小正方形构成），九宫格中有 16 个节点（如图加
黑的 16 个点），从这 16 个点中任选互不相同的三个点 ，则 的最大值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
16 个点的坐标为
若 点在原点，任取两点作为向量坐标，发现 或 取得最大值，故
的最大值为 .
经检验可知，当 ， 取其他坐标时， 的值均不会超过 .
7. 如图，正方体 的棱长为 4， 为正方形 的中心， 为棱 的中点，过点
的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ）
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A. 16 B. 18 C. D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 过点 作直线 ，分别交 于点 ，先证明
，推得平面 即过点 的截面，所求即为多面体 的体积，利用棱柱的
体积公式计算即得.
【详解】
如图，取 的中点 ，连接 过点 作直线 ，分别交 于点 ，连接
，
因 为正方形 的中心，则 ，因 ，则易得
.
又因 为棱 的中点，则易得 ，即四边形 为平行四边形，
则得 ，故 ，于是，平面 即过点 截面，
显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体 ，记其体积为 ，
则 .
8. 已知曲线 ，则曲线 上的点到原点距离的最小值为（ ）
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A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，则得 ，设 ，求导判断其单调性，可得 ，进而
，利用两点之间距离公式与二次函数的性质即可求得答案.
【详解】设 ，则得 ，显然 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
又 ，则 ，此时， ，
设曲线 上任一点 ，则 ，且 ，
则 ，
故当 时， 取得最小值为 .
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减 有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】对于 A，因函数 在 上单调递减，故 在区间 上单调递增，故 A
错误；
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对于 B，函数 的最小正周期为 ，且在 上单调递减，故 B 正确；
对于 C，函数 的最小正周期为 ，故 C 错误；
对于 D，因函数 的最小正周期为 ，则函数 的最小正周期为 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减且函数值为正，
故函数 在 上单调递减，即 D 正确.
10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件 存在如下关系：
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第
一天选择室内健身的概率为 ，选择户外运动的概率为 ．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选
择室内健身的概率为 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为 ．则张同学（
）
A. 第二天去室内健身的概率为
B. 第二天去户外运动的概率为
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
【答案】ACD
【解析】
【详解】设 表示张同学第一天选择室内健身， 表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动， 表示张同学第二天选择户外运动.
则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
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因为 ，所以 ，
对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，故 B 错误；
对于 C，因为 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，故 D 正确.
11. 在半径为定值的球 的表面上有四个不共面的点 ，且 为球 的直径，已知 和
的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体 存在的情况下，使得四面体 体积有唯
一值的条件可以是（ ）
A. 长
B. 的大小
C. 与平面 所成角的大小
D. 二面角 的大小
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意判断哪些边是唯一值，结合四面体的体积计算公式，判断四面体体积唯一解的决定条件.
【详解】如图，因 是球 的直径，所以 ，
又 的大小已知，从而 为定值，从而 也为定值，
由 的大小已知，所以 为定值（ 唯一确定），
由 （其中 为点 到平面 的距离），要使四面体 的体积有唯一值（即为定
值）只需点 到平面 的距离 为定值即可.
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对于选项 A，当 的长为已知时，由 ，那么 也为定值，四面体
的 6 条边均可以唯一确定，四面体 的体积为唯一值，满足题意.
对于选项 B，当 的大小已知时，那么 为定值（ 唯一确定），同理，由 ，
也为定值，四面体 的 6 条边均可以唯一确定，四面体 的体积为唯一值，
满足题意.
对于选项 C，当 与平面 所成角已知时，不妨设为 ，那么 ，为定值，四面体 的
体积为唯一值，满足题意.
对于选项 D，二面角 为已知时，可以确定点 到平面 的距离为定值，由于 为定值，
不能唯一确定点 ， 不能唯一确定，不合题意.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______．
【答案】27
【解析】
【详解】依题意， .
13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两
圆的圆心分别为坐标原点 和点 ，月牙尖的坐标分别为 ，则圆 的标准方程为______
．
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【答案】
【解析】
【详解】由题易知，圆 的半径为 ，圆心 在 的垂直平分线上，
又 的斜率 ，则直线 的方程为 ，
设 ，所以 ，解得 ，
所以圆 的方程为 .
14. 如图， 为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，过 分别作椭圆 的切线 的垂线，
垂足分别为 ．当 时， 的面积为______．
【答案】2
【解析】
【分析】切线 ，与椭圆方程联立，由 得 ，求出直线 方程，进
而求得 坐标，计算 ，得解.
【详解】由题意可知直线 的斜率存在，设切线 ，
联立 ，消去 整理得 ，
，化简得 ；
因为 ，且 ，则直线 ，
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联立 ，解得 ，所以 ，
同理，可得 ，
，
同理，可得 ，
又 ，所以 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定
的区域内，超出指定区域的答案无效．
15. 如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形，
．
（1）求证： ， ， ， 四点共面；
（2）设 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 ,设 ,通过向
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量法可证得 ，即 共面;
(2)分别求出平面 与平面 的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可.
【小问 1 详解】
由平面 平面 ， ，得 平面 ，以 为坐标原点，建立如图所示的直
角坐标系 ：
设 ，
则 ，
故 ， ，
共面.
【小问 2 详解】
设 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，
得 ，取 ，可得 ；
，
设平面 的法向量为 ，
由 ，
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得 ，取 ，所以 ，
，
设平面 与平面 夹角为
,
即平面 与平面 夹角的余弦值 .
16. 设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求 的值；
（2）设函数 ，证明： ．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由极值点处导数 0 即可求解出参数 ，代回检验得解；
（2）由（1）得 ，要证 ，即证 ，即证
，构造函数 ，利用导数证明.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，解得 ，
当 时， ， ，
当 时， ，则 ， ，故 ，
所以函数 在 上单调递增；
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当 时， ，则 ， ，故 ，
所以函数 在 上单调递减；
综上， 是函数 的极值点，符合题意，故 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，所以 ，
由（1）可知， 是函数 的最小值点，所以对任意的 ， ，
要证 ，即证 ，
即证 ，只需证 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
综上， 在 上恒成立.
17. 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记 .
（1）若 成等差数列，求 的最小值；
（2）若 成等比数列，求 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解；
（2）由（1）得 ，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解.
【小问 1 详解】
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，
因为 成等差数列，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
，
当 取得最大值时， 取得最小值，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最小值 1.
【小问 2 详解】
因为 成等比数列，所以 ，
由（1）知 ，
因为 ，所以 ，
将 代入 ，化简得 ，
两边同除以 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，得 ，
所以 的取值范围为 .
18. 设双曲线 的离心率为 2，其左、右焦点分别是 ，过 的直线 与双曲线
的右支交于点 ．当 与 轴垂直时， ．
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（1）求双曲线 的标准方程；
（2）求 的最小值；
（3）记 的内切圆 与双曲线 的一个公共点为 ，双曲线 的左顶点为 ，证明：
．
【答案】（1）
（2）9 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意列出关于 的方程组，求解即得双曲线的标准方程；
（2）设直线 的方程为 与双曲线方程联立，推得 ，写出 的表达式，
利用 的范围，即可求得 的最小值；
（3）先证明 与边 的切点即为点 ，再证 ，由此推得点 在直线 上，再
证 ，结合 ， 且 ，可得点 均在 上，即得证.
【小问 1 详解】
不妨设点 在第一象限，点 在第四象限，离心率 ① ，
在 中，当 时， ，故 ，即 ② ，
又因 ③ ，联立① ②③，解得 ，
故双曲线 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，当直线 的斜率为 0 时，直线 与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合
条件；
当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为 ，
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由 ，化简得 ，
设 ，则 ，解得 ，
则 ，
因 ，则 ，故 ，即 .
故 的最小值为 9.
【小问 3 详解】
如图，设 与边 切于点 ，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，
，即点 与点 重合，即 与边 切于点 .
设 与边 切于点 ，则 ，
在 中， .
设点 ，点 ，则 ，解得 ，
即点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，交直线 于点 ，
其中， ，
设点 关于直线 的对称点为点 ，所以 .
因为点 与点 ，点 与点 分别关于直线 对称，
所以 ， 且 ，
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所以点 均在 上，且 ，
所以 .
19. 甲社区有 个女生和 个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 个女生 和 个
男生 ，其中女生 认识男生 ，但不认识其他男生．现从
甲社区和乙社区分别选出 队选手参加社区比赛，每队选手均为 2 人．
（1）若 ， ，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
（2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 队的不同的选
法种数为 和 ．
（ⅰ）求 ，并证明：当 时， 递推公式，并说
明理由；
（ⅱ）若乙社区将选出的 个男生和 个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率．
【答案】（1）
（2）（i） ，证明见详解；（ii）
【解析】
【分析】（1）现根据古典概率公式求出甲乙社区的参赛选手都是男生或女生的概率，再根据互斥事件的概
率加法公式及独立事件的乘法公式求解；
（2）（i）根据题意结合排列数和组合数公式求出 ，观察 公式的结构特征，证明
；（ii）先求得 的递推关系式，得到 和 有相
同的递推关系和初始值，利用古典概率公式求解.
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【小问 1 详解】
设事件 表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件 表示“乙社区的参赛选手都是女生”，
事件 表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件 表示“乙社区的参赛选手都是男生”，
则 ， ， ，
所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即 ，
因为 ，所以 ，即事件 与 互斥，
又事件 与 互相独立，事件 与 互相独立，
所以所求事件的概率 .
【小问 2 详解】
（i）因为甲社区中男生和女生都认识，因此 ，
当 时， ，
，
所以 ，
，
，
因为 ，
两边 同乘以 ，得 .
（ii）先考虑 的递推关系式.
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当 时，考虑乙社区中的女生 ，有以下两种情况：
①当女生 被选中时，其余 队共有 种不同的选法，
可在余下 个男生中任选一人，有 种选法，
因此由乘法计数原理可知，共有 种选法；
②当女生 没被选中时，此时从 中选出 个女生，从 中选出 个男生组队，
共有 种选法；
所以当 时， ，
当 时，由前述分析可得 ，
由（i）可知 满足相同的递推公式 ，
因为 ， ， ，
所以 和 有相同的递推关系和初始值，
所以对任意 和 ，均有 .
所以 ，
设乙社区中各选 个男生和 个女生，男、女组成 个队，共有 种情况，且 ，
因此，满足组队要求的概率 .
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