2025年上海市上海市徐汇区南洋模范中学模拟预测数学试题（含答案）

这是一份2025年上海市上海市徐汇区南洋模范中学模拟预测数学试题（含答案），共26页。
考生注意：
1． 带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具
2． 不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．
一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. 下列命题中真命题是（ ）
A. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B. 无限小数就是无理数
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 相等的角为对顶角
【答案】A
3. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 若，且，则顺次链接四边形中点得到的四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
6. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丁C. 甲和丙D. 甲和丁
【答案】D
二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7. 分解因式：x3y﹣xy3=_____．
【答案】xy（x+y）（x﹣y）．
8. 若正比例函数过点，则_______
【答案】
9. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______．
【答案】且
10. 若数据1，2，4，x，5的平均数是3，则中位数是______．
【答案】3
11. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为_____．
【答案】
12. 已知一斜坡的高度为4米，坡长为5米．则坡比为_______．
【答案】
13. 已知在中，弦的长等于半径的倍，则弦所对的圆周角为______．
【答案】或
14. 观察图形，若有六边形个，则需火柴棍______根（用含的代数式表示）．
【答案】##
15. 某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在___________米内，才能确保隧道内行车安全．
【答案】
16. 天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是_________年
【答案】甲子
17. 某零件厂接到要铸造5000个铁质工件的订单，从三个方向看到的这种铁质工件的形状图如图所示（单位：），已知铸造这批铁质工件的原料是生铁，每立方厘米的生铁重克，忽略损耗．那么铸造这批铁质工件需要生铁_______吨
【答案】312
18. 凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部，且四个内角均小于180度的四边形．在平面直角坐标系中，已知凸四边形的边，且点，点，点B在x轴的正半轴，如果对角线把四边形分割成了两个等腰三角形，那么点C的坐标为________．
【答案】或
三．解答题（满分78分）
19. 计算：
【答案】
【详解】解：
．
20. 解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．
【答案】不等式组的解集是，不等式组的自然数解是0，1．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的自然数解是0，1．
21. 如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，

（1）如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长；
（2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，即．
答：的长为；
【小问2详解】
解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点，
则，，
设外半径为，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该混凝土管片的外圆弧半径为．
22. “巴山大峡谷”位于四川省达州市宣汉县，这里山势奇特，河水清澈，溶洞成群，动物多而珍贵，植物丰富而罕见，是个旅游的好地方．若购买9张大象洞门票和4张桃溪谷门票共花900元，购买3张大象洞门票和2张桃溪谷门票共花360元．
（1）大象洞门票，桃溪谷门票每张各多少元？
（2）若某旅游公司共有游客50人，设购买大象洞门票张，且购买大象洞门票不超过20张，设该旅游公司门票总费用为元，请写出与的函数关系式，并求出门票总费用最低为多少钱？
【答案】（1）大象洞门票的价格每张60元、桃溪谷门票每张90元
（2），门票总费用最低为3900元
【小问1详解】
解：设大象洞门票的价格每张元、桃溪谷门票每张元，
则，
解得：，
答：大象洞门票的价格每张60元、桃溪谷门票每张90元；
【小问2详解】
解：由题意得，
购买大象洞门票不超过20张，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为：（元，
门票总费用最低为3900元．
23. 如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
24. 如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值
（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【小问1详解】
解：由得，
∴；
∵点B的横坐标为2．
∴；
∴；
将、代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式：
【小问2详解】
解：∵点是线段上的动点．
∴，；
由题意得：
∴；
∵，
∴当时，线段有最大值，且最大值为；
【小问3详解】
解：由（2）可知：；
∵ 轴，且两点均为整点，
∴线段的长为整数；
∴或；
若，则，解得（不符合题意）；
若，则，解得；
故或
当为边时，有且；
则，
∵，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标为或；
即：整点R的坐标为或；
当为对角线时，设，
则，解得：；
或，解得：；
即：整点R的坐标为或；
综上所述：整点R的坐标或或或；
25. 新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形
新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形
（1）根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形
（2）如图5，已知为黄金三角形，，求：的长
（3）在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
证明：由折叠可知：，
又∵，
四边形是矩形，
又由折叠可知：，
四边形是正方形，
∴，
由题意得，
∴；
由折叠得，
∴，
∴，，
∴矩形是黄金矩形；
【小问2详解】
解：如图所示，作的角平分线交于D，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解．
【小问3详解】
解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，
∵，
∴；
由（2）可知，当平分时有，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
如图所示，连接，
在中，，
∵，
∴
．
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平
③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处
④展平纸片，按照所得到的点D折出