专题01+三角形的证明及其应用（期中真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册含答案

这是一份专题01+三角形的证明及其应用（期中真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册含答案，共5页。
考点02多边形的内角和与外角和问题
考点03三角形中的折叠问题
考点04 利用等腰（等边）三角形的性质求解
考点05 含30°的直角三角形性质的应用
考点06 利用垂直平分线的性质求解
考点07 利用角平分线的性质求解
考点08 全等三角形与HL综合问题
考点09 等腰三角形性质和判定的综合问题
考点10 等边三角形性质和判定的综合问题
考点11 等腰（等边）三角形中的动点问题
考点12 等腰（等边）三角形有关的新定义问题
地 城
考点01
利用三角形的内角和定理求解
1．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角的性质，即可求．
【详解】根据三角形外角的性质可得．
2．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________．
【答案】/28度
【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则___________．（用表示）．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△△是解题的关键．由，得，而，，即可根据“”证明△△，得，，再推导出，则．
【详解】解：，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
故答案为：．
4．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线，
(1)若，，那么___________．
(2)若，求的度数用含α的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义．
（1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果；
（2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
又∵，分别是，的外角平分线，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）．
(3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：．
，
∵点P是和的平分线的交点，
；
（2）∵外角，的角平分线交于点Q，
，
，
，
，
，
∵，
；
（3）延长至F，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；
，
，
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或．
地 城
考点02
多边形的内角和与外角和问题
6．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）从数学角度看，用多边形覆盖平面（平面镶嵌）的问题就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌．下面全等形不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．全等的三角形B．全等的四边形
C．全等的五边形D．全等的正六边形
【答案】C
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
本题主要考查了镶嵌的条件，正多边形能否镶嵌只需验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解：根据题意，得三角形的内角和为，，
故全等的三角形能镶嵌，不符合题意；
四边形的内角和为，，
故全等的四边形能镶嵌，不符合题意；
正六边形的每个内角为，，
故全等的正六边形能镶嵌，不符合题意；
五边形的内角和为，，不是整数倍，
故全等的五边形不能镶嵌，符合题意；
故选：C
7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ．
【答案】
【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴．
8．（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究．
（1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________．
（2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________．
【答案】 6 /24度
【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键．
（1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出；
（2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算．
【详解】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为，
个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为，
中间的正多边形的边数为，
；
故答案为：；
（2）正三角形的内角为，
正方形的内角为，
正五边形的内角为，
正六边形的内角为，
，
．
故答案为：
9．（25-26九年级上·北京·期中）2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？
【答案】组成正八边形的相邻两架飞机的距离是20米．
【分析】本题考查了正八边形的性质，连接，根据正八边形的性质求得，再得到，设米，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：
，均为正八边形的一个内角，
，
，
设米，
∴，
解得：，（舍去）
∴组成正八边形的相邻两架飞机的距离是20米．
10．（24-25八年级上·北京·期中）（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）；
①的度数为______；连接，______；
②证明：；
（2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：；
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______．
【答案】（1）①；②证明见解析（2）选择①，证明见解析
【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用正六边形的内角、对称性及等边三角形的性质进行推理．
（1）①利用正六边形内角和公式求，结合等边三角形性质求，
②证明都是等边三角形，根据等边三角形性质证内错角相等，从而得平行；
（2）选择条件①，利用三角形外角性质证，由内错角相等，从而得平行．
【详解】解：（1）①∵是正六边形，
如图中，连接交于点，
，
∴，，都是等边三角形，
，
故答案为：；
②证明：∵，
∴都是等边三角形，
；
（2）证明：选择条件①，
，
又∵，
，
．
地 城
考点03
三角形的折叠问题
11．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故选：C．
12．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____．
【答案】/100度
【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，使点落在点处，
∴，
∴．
13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为_________________．
【答案】64
【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：64．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键．
（1）直接利用三角形的内角和求得答案即可；
（2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得．
，然后利用平角等于列式计算即可得解．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
．
由题意，得，
．
15．（23-24八年级上·四川成都·月考）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．

(1)若，则的度数为 ；
(2)若，，求的长；
(3)当，的面积为时，求的周长．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据三角形内角和定理可以计算出，进而得到；
（2）根据折叠可得，设，则，再在中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，进而得到的长；
（3）根据三角形的面积可得，进而得到，再在中，，再把左边配成完全平方可得的长，进而得到的周长．
【详解】（1）解：把沿直线折叠，使与重合，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）把沿直线折叠，使与重合，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
则；
（3）的面积为，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
即的周长为．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
地 城
考点04
利用等腰（等边）三角形的性质求解
16．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
17．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在中，和分别平分和，过点D作分别交于点E，F，若则 _____．
【答案】7
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，
先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据角平分线的定义得即可得，然后根据“等角对等边”得，同理得，最后根据得出答案．
【详解】解：因为，
所以，
因为平分，
所以
所以，
所以，
同理，
所以，
即．
故答案为：7．
18．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论；
（2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：延长到M，使，连接，如图所示：
由（1）知：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
19．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解；
（2）利用，得到，进而得到；
（3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵和都是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示：
由（1）知，，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：在上截取，连接，
由（1）知：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点．
(1)试判断与是否相等，并说明理由；
(2)若平分，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长度．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)16
【分析】（1）根据，即可证明结论；
（2）过点F作于点G，求出，得出，证明；
（3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：．
证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点F作于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
地 城
考点05
含30°的直角三角形性质的应用
21．（25-26八年级上·河南许昌·期中）将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形中所对的直角边与斜边的关系．
确定出最长边为，由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得的长度，同理可得的长度
【详解】解：由全等三角形的性质得，，
根据含角的直角三角形的性质得，，
，，
为等边三角形，
，
，
又，
，
，
故选：
22．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，， ， ，则长（ ）
A．2B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”和角对的直角边是斜边的一半推导线段长度．
过作，由得；结合的“三线合一”性质得，进而计算出的长度．
【详解】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
23．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ．
【答案】6
【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形得到，，最后根据求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
24．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点．
(1)若，求的长；
(2)判断的形状并说明理由．
【答案】(1)8
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）求出，得，求出，；
（2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵的平分线分别交，于点，
∴，
∴，，
∴
∴是等边三角形．
25．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解答
(2)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
地 城
考点06
利用垂直平分线的性质求解
26．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点D．若，的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长．
27．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．11D．13
【答案】D
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．
【详解】解：如图，连接，
是的边的垂直平分线，为垂足，
，
的周长为：．
28．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值___________．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，交于，交于，连接，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∵是边上的动点，
∴，
∴，
∴、、三点在一条直线上，且时，有最小值，
∵，，，，
∴，即，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：
29．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于．
(1)求的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键．
（1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可；
（2）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用线段的垂直平分线的性质得到，进而利用等边对等角求得即可解答．
【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴，
∴．
30．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F．
(1)若，则的度数为______；
(2)若，试求的度数（用含的代数式表示）；
(3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解．
【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段，
，，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2），分别垂直平分线段和线段，
，，，
，，
，，
，
，
四边形的内角和为，
，
；
故答案为：；
（3）如图所示，
，分别垂直平分线段和线段，
，，
，
的周长为8，
，
的周长为18，
，
，
，分别垂直平分线段和线段，
，，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
地 城
考点07
利用角平分线的性质求解
31．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，平分交于点D，，，则的面积为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于点，
，
∵平分，，
∴，
∴，
故选：D．
32．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（ ）
A．B．7C．8D．14
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，准确添加辅助线是解题的关键．
过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点作交于点，如下图所示：
根据该作图方式，可判断为的角平分线，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
33．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______．
【答案】
【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出．
【详解】解：作于交延长线于G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴．
34．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点平分交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）由于点D，得，则，由，得，推导出，而，则，即可证明为等腰三角形；
（2）由，推导出，则，因为，所以，则，由，得，则，求得．
【详解】（1）证明：∵于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为3．
35．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，中，于点．
(1)求证：平分，
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4
【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等．
（1）根据，可得，证明即可求证；
（2）根据（1）可得，，推出，代入即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，
∴平分，
（2）解：由（1）中可得，，
∴，
∵，
∴．
地 城
考点08
全等的性质与HL综合问题
36．（24-25八年级下·江西抚州·月考）如图，，且，能保证成立的条件有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答．
【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等，
和满足定理“”，
①∵，，
∴
又∵，
∴
条件③，不能证明
故选：C．
37．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，于，且，若，则_____．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到．
【详解】解：过点A作于点H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
38．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为_______．
【答案】18
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：18．
39．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角．
（1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到；
（2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
40．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，于点，于点，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，
（1）由题所给条件可得，即得；
（2）证明，结合（1）可得，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
地 城
考点09
等腰三角形性质与判定的综合问题
41．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．过C作交于F，先根据已知条件和等腰直角三角形的性质证明，从而证明，可得，再求出，最后根据求解即可．
【详解】证明：如图， 过C作交于F，
．
和均为等腰直角三角形，
，，．
，
即．
在和中，
，
，
．
，，
，．
∴．
，
．
．
．
，
．
．
故选：C．
42．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是______．
【答案】18
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，由角平分线的定义及平行线的性质可得，，即得，再根据直角三角形的性质可得，进而根据的周长即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：平分，平分，
，
∵，
，
∴，，
，
平分，
，
，
，
的周长
，
故答案为：．
43．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解．
【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线，
∴，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
44．（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在和中，，且，点在上．过点作，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）求出，根据证出即可；
（）根据全等推出，根据等腰三角形性质得出，根据平行线性质得出，推出，根据等腰三角形的判定推出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解决本题的关键是证明．
45．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F．
(1)求的度数；
(2)用等式表示的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，
（1）证明即可得出；
（2）过点C作交于点H，证明得出，再求出，，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．即，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点C作交于点H，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
地 城
考点10
等边三角形性质与判定的综合问题
46．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，点在线段上．若，，则的周长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得，推出，得是等边三角形，即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
∴，即；
∴是等边三角形，
∴的周长为：；
故选：B
47．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知，若的一边长为，，则的周长是_________．
【答案】12
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的性质，利用三角形内角和定理得出为等边三角形是解题关键．由可证为等边三角形，再根据全等三角形的性质，得到即可解答．
【详解】解：在中，，
根据三角形内角和定理，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴的周长为．
故答案为：12．
48．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在等边三角形中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，，在上有一动点E，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及轴对称的性质是解题的关键；由题意易得，，，作点关于的对称点，连接，，然后可得当且仅当点三点共线时，取得最小值，最小值即为的长，进而问题可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，D为中点，，
∴，，，
作点关于的对称点，连接，，如图所示：
根据轴对称的性质可知：，
∴，
∴当且仅当点三点共线时，取得最小值，最小值即为的长，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
49．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，．
(1)求的长；
(2)若，求证：．
【答案】(1)8
(2)证明见详解
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
（1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果；
（2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即．
50．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知．
(1)求证：；
(2)若，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由推得，根据边角边推得三角形全等；
（2）由推得，根据等腰三角形的判定得到是等腰三角形，所以，结合推得是等边三角形．
【详解】（1）（1），
，
即．
，，
．
（2）（2），
，
是等腰三角形，
．
，
是等边三角形．
地 城
考点11
等腰（等边）三角形中的动点问题
51．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，，
，
在和中，
，
，
，，
，
垂线段最短，
当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，如图，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键．
52．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为________．
【答案】9.6
【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接，三线合一，推出，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，最小，等积法求出的长即可．
【详解】解：连接，
∵是边上的中线，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
又∵E是边上的动点，
∴当时，最小，此时，即，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
53．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形．
【答案】4或12
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的思想．
分两种情况进行讨论，根据题意表示出线段的长度，根据线段相等列出方程求解即可．
【详解】解：①当点在点左侧时，，是等腰三角形，
此时，，
解得；
②当点在点右侧时，，是等腰三角形，
此时，，
解得；
③当点在点右侧时，，是等腰三角形，且，
∴是等边三角形，即，
此时，，
解得；
综上，当或时，是等腰三角形，
故答案为：4或12．
54．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．

(1)点、同时运动几秒后，、两点重合？
(2)点、同时运动几秒后，可得到等边？
(3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间．
【答案】(1)9秒
(2)3秒
(3)能；12秒
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可；
（2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可；
（3）根据证明得，列式计算即可．
【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得，
∴点、同时运动9秒时，、两点重合；
（2）解：设运动时间为秒，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形；
（3）解：如图，∵，
∴，

∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
此时运动的时间为12秒．
55．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为．
(1)如图1，当______时，是直角三角形；
(2)如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值；
(3)如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由．
【答案】(1)5
(2)当是直角三角形时，的值为或；
(3)和的面积相等，理由见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质，可得，若是直角三角形，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合已知可得，从而可得，除以点的运动速度即可；
（2）当是直角三角形时，或，分类讨论，由角所对的直角边与斜边的关系，列方程求解即可；
（3）作，交于点，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，可得，，可得，由运动过程，等量代换，可得，可证明，可得，从而可得和面积的关系．
【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
若是直角三角形，则，
∴，
∴，
∴，
∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，
∴，
∴当时，是直角三角形．
故答案为：．
（2）解：∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴当是直角三角形时，或，
若，则，
∴，
∴，
解得，
此时，点和点重合，点为的中点，
若，则，
∴，
∴，
解得，
∴当是直角三角形时，的值为或．
（3）解：和的面积相等，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
作，交于点，
∴，，
∴，
∴，
由运动过程可知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即和的面积相等．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，一元一次方程的实际应用，平行线的性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质．
地 城
考点12
与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题
56．（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是____________．
【答案】3或
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、平行线的性质、二次根式的运算，理解题中定义，分类讨论是解答的关键．根据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质，结合梯形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图1，为等腰直角三角形，，
∴，
∴；
如图2，为等腰直角三角形，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
综上，这个直角梯形的面积为3或．
57．（24-25八年级上·山西太原·期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“美好值”．若在等腰三角形ABC中，，则它的美好值等于________．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，顶角与底角的关系以及三角形内角和定理．
根据等腰三角形的性质，顶角与底角的关系以及三角形内角和定理，计算美好值．
【详解】解：在等腰中，，
当为顶角时，则底角，
；
当为底角时，则顶角的度数为，
；
故答案为：或．
58．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______
【答案】或或
【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
分三种情况讨论，
如图，当点P在延长线上，，则，
此时，
即，
∴①，
∵②，
由，可得，
∴；
如图，当点P在延长线上，时，则，
此时，即，
∴③，
∵④，
∴得，
∴；
如图，当点P在线段上时，，，
∴，
∴此时；
综上所述，的所有可能的度数为或或．
故答案为：或或．
59．（24-25八年级上·广东深圳·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形．
(1)①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形；
(2)若是黑神话悟空三角形，，，求的长．
【答案】(1)①是；②是
(2)的长为或．
【分析】本题考查了勾股定理，新定义“黑神话悟空三角形”，等边三角形的性质等知识，理解新定义“黑神话悟空三角形”的定义是解本题的关键．
（1）①设等边三角形的边长为，则，在由“黑神话悟空三角形”的定义即可得出结论；
②由，即可得出结论；
（2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是“黑神话悟空三角形”，
故答案为：是；
②∵，
∴该三角形是“黑神话悟空三角形”，
故答案为：是；
（2）解：∵是直角三角形，，
∴，即．
∵是黑神话悟空三角形，，
∴有三种情况：
①，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
②，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
③，此种情况不成立．
综上，的长为或．
60．（24-25八年级上·福建莆田·期中）新定义：共顶点的两个三角形，，若，，且，我们称与互为“顶补三角形”．已知是的中线．
(1)如图1，若为等边三角形时，求证：；
(2)如图2，若为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)结论仍然成立，见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，由互为“顶补三角形”定义可得，，由等腰三角形和直角三角形的性质可求；
（2）延长到G，使，连接，，由题意可证四边形是平行四边形，可得，，得出，由互为“顶补三角形”定义可得，，，可证，即．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵与互为“顶补三角形”，
∴，，
∵，是中线，
∴，
∴
∴
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，延长到G，使，连接，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵与互为“顶补三角形”，
∴，，，
∴，，且，
∴，
∴．