2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-离心率的范围（最值）（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-离心率的范围（最值）（Word版解析版），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2025·江西模拟)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的一条渐近线(过第一、三象限)的斜率小于33，则C的离心率的取值范围为( )
A.0，2B.1，2
C.(0，233)D.(1，233)
解析：选D.由题意知，0＜ba＜33，则e＝ca＝1+ba2∈1，233.
2.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.［33，1)B.(0，33］
C.13，1D.0，13
解析：选C.由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，
所以2m＋m＝2a，得到m＝23a，
又m≥a－c，所以23a≥a－c，得到c≥13a，
所以e≥13，又0＜e＜1，故13≤e＜1.
3.(2025·山西太原一模)已知△ABC的三条边长分别为3，4，5，△ABC的两个顶点是椭圆E的焦点，另一个顶点在椭圆E上，则E的离心率的最大值为( )
A.13B.12
C.57D.78
解析：选C.已知△ABC的三条边长分别为3，4，5，因为32＋42＝52，所以△ABC是直角三角形.
设△ABC的两个顶点为椭圆E的焦点，另一个顶点在椭圆E上.
情况一：若焦距2c＝3，则椭圆上一点到两焦点距离之和2a＝4＋5＝9.此时离心率e1＝ca＝2c2a＝39＝13.
情况二：若焦距2c＝4，则椭圆上一点到两焦点距离之和2a＝3＋5＝8.此时离心率e2＝ca＝2c2a＝48＝12.
情况三：若焦距2c＝5，则椭圆上一点到两焦点距离之和2a＝3＋4＝7.此时离心率e3＝ca＝2c2a＝57.
所以椭圆E的离心率的最大值为57.
4.(2025·河北秦皇岛三模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，过C的右焦点的直线l交C于A，B两点，若存在直线l使得｜AB｜＝a2，则C的离心率的取值范围是( )
A.［12，1)B.［22，1)
C.［33，1)D.［32，1)
解析：选D.法一：设C的右焦点坐标为(c，0)，长轴是过C的右焦点的最长弦，
当直线l不垂直于y轴时，设直线l的方程为x＝ty＋c，
由x＝ty＋c，b2x2＋a2y2＝a2b2消去x得(b2t2＋a2)y2＋2b2cty－b4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y1＋y2＝－2b2ctb2t2＋a2，y1y2＝－b4b2t2＋a2，则｜AB｜＝1+t2·(y1＋y2)2－4y1y2＝1+t2·(－2b2ctb2t2＋a2)2＋4b4b2t2＋a2＝2ab2(t2+1)b2t2＋a2＝2ab2b2＋c2t2+1≥2b2a，当且仅当t＝0时取等号，
依题意，a2≥2b2a，解得b2a2≤14，则C的离心率e＝1－b2a2∈［32，1).
法二：因为椭圆中的焦点弦中通径最短，所以｜AB｜＝a2≥2b2a，解得b2a2≤14，则C的离心率e＝1－b2a2∈［32，1).
5.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：x2＋y2a＝1(a＞1)上的两个动点，动点P在直线3x＋4y－10＝0上，若∠APB∈0，π2恒成立，则E的离心率的取值范围为( )
A.(0，63)B.(33，1)
C.13，1D.0，23
解析：选A.根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为x2＋y2＝a＋1，
其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，
因此当直线3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2＝a＋1相离时，∠APB∈0，π2，
由a+1＜0+0－1032＋42，解得1＜a＜3.
所以离心率e＝1－1a∈0，63.
6.设F1，F2为椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0与双曲线C2公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且MF1＝2.若椭圆C1的离心率e∈［38，49］，则双曲线C2的离心率取值范围是( )
A.54，53B.［32，＋∞)
C.1，4D.32，4
解析：选D.因为F1，F2为椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2的公共的左、右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且MF1＝2，
设MF2＝F1F2＝2c(c＞0)，由椭圆C1的离心率e∈［38，49］，
即e＝F1F2MF1＋MF2＝2c2+2c∈［38，49］，解得1c∈［54，53］，
由点M在第一象限，得双曲线C2的离心率e'＝F1F2MF1－MF2＝2c2－2c＝11c－1∈［32，4］.
二、多选题
7.已知双曲线C：x2λ+6－y23－λ＝1，则( )
A.λ的取值范围是(－6，3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1，3)
解析：选AC.对于A，因为x2λ+6－y23－λ＝1表示双曲线，
所以(λ＋6)(3－λ)＞0，解得－6＜λ＜3，故A正确；
对于B，由A项可得－6＜λ＜3，故λ＋6＞0，3－λ＞0，
所以C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的焦距为2c(c＞0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，
所以c＝3，即焦距2c＝6，故C正确；
对于D，离心率e＝3λ+6，
因为－6＜λ＜3，所以0＜λ+6＜3，
所以e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误.
8.已知椭圆Γ1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，将Γ1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的k(k＞0，k≠1)倍得到椭圆Γ2，则下列说法正确的是( )
A.若t＞0，则ba＜b＋ta＋t
B.若Γ1，Γ2的离心率分别为e1，e2，则e1＝e2
C.若Γ1，Γ2的周长分别为C1，C2，则C2＝C1k
D.若Γ1的四个顶点构成的四边形面积为｜F1F2｜24，则Γ1的离心率为2(2－1)
解析：选AB.设点(x'，y')为椭圆Γ2上任意一点，则由题意知x'＝kx，y'＝ky，
即x'k＝x，y'k＝y， 代入椭圆Γ1的方程得(x')2k2a2＋(y')2k2b2＝1，
所以椭圆Γ2的方程为(x')2k2a2＋(y')2k2b2＝1(a＞b＞0)，
因为a＞b＞0，t＞0，所以ba＜b＋ta＋t，所以A正确；
由已知得，e1＝a2－b2a，e2＝ka2－b2ka＝e1，所以B正确；
由已知得，Γ1∽Γ2，其相似比为1∶k，
所以C1C2＝1k，所以C2＝kC1，
因为k＞0，k≠1，所以C错误；
设c＝a2－b2，因为Γ1的四个顶点构成的四边形的面积为｜F1F2｜24，
所以12·2a·2b＝(2c)24，所以2ab＝c2，
所以2aa2－c2＝c2，所以e4＋4e2－4＝0，
所以e2＝－4+42－4×(－4)2＝2(2－1)(负值舍去)，所以D错误.
三、填空题
9.(2025·河北秦皇岛三模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的左焦点为F，直线l经过点F与C的左、右两支各有一个交点，若l与C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率的取值范围为 .
解析：由题意可得双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的两渐近线方程为y＝±bax，
由对称性不妨设直线l与渐近线y＝－bax垂直时，由题意可得直线l的斜率为ab，
又直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点，则ab＜ba，
所以a2＜b2，所以a2＜c2－a2，所以2a2＜c2，所以2＜c2a2，即2＜e2，解得e＞2，
所以C的离心率的取值范围为2，＋∞.
答案：2，＋∞
10.(2025·四川成都三模)设椭圆E：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的一个焦点为F3，0，A(－2，3)为E内一点，若E上存在一点M，使得MA＋MF＝10，则椭圆E离心率的取值范围是 .
解析：令椭圆E：x2a2＋y2b2＝1的左焦点为F'，则F'－3，0，
由椭圆的定义知MF'＋MF＝2a，则AM＋MF＝2a＋AM－MF'，
设直线AF'交椭圆E于M1，M2两点(如图)，
而AM－MF'≤AF'＝－2+32＋32＝2，即－2≤AM－MF'≤2，
当且仅当点M，A，F'共线时取等号.
当点M与M1重合时，AM－MF'max＝2，则AM＋MFmax＝2a＋2，
当点M与M2重合时，AM－MF'min＝－2，则AM＋MFmin＝2a－2，
所以2a－2≤10≤2a＋2，即4≤a≤6，经检验，此时点A(－2，3)在E内，
所以12≤e＝3a≤34.
答案：［12，34］