2026高考数学二轮复习讲义第九章 平面向量（教师版+学生版）

这是一份2026高考数学二轮复习讲义第九章 平面向量（教师版+学生版），共7页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，典例2-1，典例2-2，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有：
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
经典真题回顾
1．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“a+b·a−b=0”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024年天津高考数学真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC,若BE=λBA+μBC，其中λ,μ为实数，则λ+μ= ；设F是线段上的动点，G为线段的中点，则的最小值为 ．
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a,b满足a=1,a+2b=2，且b−2a⊥b，则b=（ ）
A．12B．C．D．1
4．（2023年北京高考数学真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，则|a|2−|b|2=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
5．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=（ ）
A．B．3C．D．5
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则csa+b,a−b=（ ）
A．117B．1717C．D．255
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，则（ ）
A．−45B．−25C．D．45
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则的最大值为（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．
9．（2023年天津高考数学真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD=12AB,CE=12CD，记AB=a,AC=b，用a,b表示AE= ；若BF=13BC，则的最大值为 ．
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足a−b=3，a+b=2a−b，则b= ．
考点一：平面向量基本定理及其应用
解题思路：
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．
【典例1-1】如图，在△ABC中，AN=12AC，P是BN的中点，若，则m+n=（ ）
A．12B．1C．32D．34
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若BF=xAB+yAC，则（ ）
A．−1B．−34C．−12D．−14
【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则（ ）
A．12AB+34ACB．12AB+56AC
C．12AB+ACD．12AB+32AC
【变式1-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形ABCD中，M, N分别在边CD, AD上，DM=MC, AN=2ND，AM, BN相交于点P，则AP=（ ）
A．14AB+12ADB．12AB+14AD
C．13AB+23ADD．34AB+13AD
高考预测
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足BE=13EC，点F为CD的中点，则（ ）

A．B．C．D．
考点二：平面向量共线的充要条件及其应用
解题思路
1、平面向量共线定理：已知OA=λOB+μOC，若λ+μ=1，则A,B,C三点共线；反之亦然．
2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量a=x1,y1，b=x2,y2，则a//b的充要条件是x1y2−x2y1=0；（2）若a//b(b≠0)，则a=λb．
【典例2-1】在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM，AC=4AN，D在边BC上（不包含端点）．若AD=xAM+yAN，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【典例2-2】已知a,b是平面内两个不共线的向量，AB=a+λb,AC=μa+b,λ，μ∈R，则A,B,C三点共线的充要条件是（ ）
A．λ−μ=1B．λ+μ=2C．λμ=1D．λμ=1
【变式2-1】如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，则x+9y的最小值为（ ）
A．52B．4C．D．3
【变式2-2】如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE=xBA+yBC，则2x+1y的最小值（ ）
A．1B．3C．5D．8
高考预测
1．已知O是△ABC所在平面内一点，若OA+OB+OC=0,AM=xAB,AN=yAC,MO=λON,x,y均为正数，则xy的最小值为（ ）
A．12B．49C．1D．43
考点三：平面向量的数量积
解题思路：
1、向量的数量积：设两个非零向量a,b的夹角为θ，则a⋅|b|⋅csθ叫做a与b的数量积，记作a⋅b．
2、数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|csθ的乘积．
3、设向量a=x1,y1，b=x2,y2，则a⋅b=x1x2+y1y2，由此得到：
（1）若a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2．
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，则A，B两点间的距离AB=|AB|=x2−x12+y2−y12
（3）设两个非零向量a,b，且a=x1,y1，b=x2,y2，则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
（4）若a,b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ=a⋅b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
【典例3-1】如图，在平行四边形ABCD中，O,E分别为AC,BC的中点，F为AE上一点，且FA=FB，AD=2AB=4，则 ．
【典例3-2】已知向量，满足a−2b=2a−b=2，且b=1，则a⋅b= ．
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若AC=2，AB=3，则AP⋅CD的值为 .
【变式3-2】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若，则BC⋅DC= .
高考预测
1．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F．使得DE=2EF，则AF⋅BC= ．
考点四：平面向量的模与夹角
解题思路
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0,π]．
(2)求非零向量a,b的夹角一般利用公式csθ=a⋅b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
【典例4-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量，满足a=3,4，，a−b=7，则b= ．
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在△AOB中，∠AOB=120°，OB=2OA=23，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当PA⋅PB取最大值时，cs∠APB= ．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期末）已知非零向量满足：a,b=π2，且a+b,a−b=23π，则ab= .
【变式4-2】已知平面内两个向量a=2k,1，b=1,k2，若与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 .
高考预测
1．平面向量a, b满足2a=b，a⊥b，若a+b+c=0，则csa,c= .
考点五：等和线问题
解题思路
等和线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ+μ=k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
【典例5-1】已知在△ABC中，点P满足，动点M在△BPC的三边及内部运动，设AM=xAC+yAB，则6x+3y的取值范围为 .（用区间表示）
【典例5-2】如图，已知A,B,C是圆O上不同的三点，与AB交于点D（点O与点D不重合），若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)，则λ+μ的取值范围是 ．
【变式5-1】已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且，若OC=λOA+μOBλ,μ∈R，则λ+μ的取值范围是 .
【变式5-2】如图所示， ∠BAC=2π3，圆M与分别相切于点D,E， AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAEx,y∈R，则x+y的取值范围是 ．
高考预测
1．已知O为△ABC内一点，且，点M在△OBC内（不含边界），若，则λ+μ的取值范围是 ．
考点六：极化恒等式
解题思路
极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
|a+b|2+|a−b|2=2(|a|2+|b|2)
证明：不妨设AB=a,AD=b ，则AC=a+b，DB=a−b
AC2=AC2=a+b2=a2+2a⋅b+b2 ①
DB2=DB2=a−b2=a2−2a⋅b+b2 ②
①②两式相加得：
AC2+DB2=2a2+b2=2AB2+AD2
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：14a+b2−a−b2————极化恒等式
①平行四边形模式：a⋅b=14AC2−DB2
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．
②三角形模式：a⋅b=AM2−14DB2（M为BD的中点）
A
B
C
M
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆C的半径为2，点A满足AC=4，E，F分别是C上两个动点，且EF=23，则AE⋅AF的取值范围是（ ）
A．[6，24]B．[4，22]C．[6，22]D．[4，24]
【典例6-2】已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅PN的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式6-1】已知圆O的半径为2，弦长AB=23，C为圆O上一动点，则AC⋅BC的最大值为 .
【变式6-2】在△ABC中，，AC=6，∠ABC=π6，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=4，则的最大值为 ．
高考预测
1．已知点O为坐标原点，△ABC为圆M:(x−1)2+(y−3)2=1的内接正三角形，则OA⋅OB+OC的最小值为 ．
2．如图所示，正方形ABCD的边长为13，正方形边长为1，则AE⋅AG的值为 .若在线段AB上有一个动点M，则ME⋅MG的最小值为 .
考点七：矩形大法
解题思路
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OA2+OC2=OB2+OD2．
【典例7-1】已知圆C1:x2+y2=9与C2:x2+y2=36，定点P(2,0)，A、B分别在圆C1和圆C2上，满足PA⊥PB，则线段AB的取值范围是 ．
【典例7-2】在平面内，已知AB1⊥AB2，OB1=OB2=1，AP=AB1+AB2，若|OP|0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆（λ=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）．
【典例11-1】（2024·高三·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知a,b,c满足，则的取值范围为 ．
【典例11-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A−2,0、B2,0，点P满足PAPB=3，则PA⋅PB的最小值为 .
【变式11-1】已知平面向量a，b，c，满足a=b=2，且|a+b|=22，|a+b+c|=1，则12b+c+a+c的最小值为（ ）
A．152B．15C．172D．
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且a=b=2，c+a+b=1，则c+b+2c+a的最小值为（ ）
A．152B．15C．172D．
高考预测
1.已知平面向量a，b，c满足：a=b=c=1，a⋅b=0，则2c−a+12c−b的最小值为（ ）
A．172B．2C．52D．5
考点十二：平行四边形大法
解题思路
1、中线长定理
2AO→2=AB2+AD2−12DB2
2、P为空间中任意一点，由中线长定理得：
2PO→2=PA2+PC2−12AC2
2PO→2=PD2+PB2−12DB2
两式相减：PA2+PC2−(PD2+PB2)=AC2−BD22=2AB→⋅AD→
【典例12-1】如图，C，D在半径为1的⊙O上，线段AB是⊙O的直径，则AC⋅BD的取值范围是_________.
【典例12-2】半径为1的两圆M和圆O外切于点P，点C是圆M上一点，点B是圆O上一点，则PC⋅PB的取值范围为_______.
【变式12-1】如图，圆O是半径为1的圆，OA=12，设B，C为圆上的任意2个点，则AC→⋅BC→的取值范围是___________.
高考预测
1．设圆M，圆N的半径分别为1，2，且两圆外切于点P，点A，B分别是圆M，圆N上的两动点，则PA⋅PB的取值范围是（ ）
A．−8,12B．−16,34
C．−8,1D．−16,1
高分突破：向量对角线定理
解题思路：
AC⋅BD=(AD2+BC2)−(AB2+CD2)2
【典例13-1】已知平行四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，若记a=OA⋅OB，b=OB⋅OC，c=OC⋅OD，则（ ）
a