湖南省常德市2026届高三下学期二模 数学试题+答案

这是一份湖南省常德市2026届高三下学期二模 数学试题+答案，共9页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3 ．本试卷共 4 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4 ．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名 准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！
2026 年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．已知集合M = ，N = {x |1 ≤ x ≤ 3}，则 M ∩ N =
A ．{x |1 ≤ x ≤ 2} B ．{x |1 ≤ x < 2}
C ．{x | _1< x ≤ 3} D ．{x | _1< x < 2}
2 ．已知i 是虚数单位，复数z 满足z _ 2z = _1+ 3i ，则 z =
A ．1+ i B ．1_ i C ．1+ 2i D ．1_ 2i
3 ．一个袋中有 6 个大小和质地相同的球，其中红球 2 个，白球 4 个，现从中依次不放回地随机摸取 2 次，每次摸出 1 个球，则第二次摸出的球是红球的概率为
2 1
A ． B ．
3 9
2 1
C
D
A
F
C ． D ．
9 3
———→ ———→
4 ．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、
E
AE 的中点，则 AE . DF =
A ．_1 B ．1
B
C ．_ D ．
1 1
2 2
5 ．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为
A ．1 B ． C ． D ．
6 ．已知圆C :(x _ 2)2 + y2 = 1与双曲线E a > 0, b > 0) 的渐近线相切，则椭圆T 的离心率e =
A ． B ． C ． D ．
7 ．已知实数 x，y 满足：5x = 7y _ 2y ，则
A ．x ≥ 1 B ．y ≥ 1
C ．(x _1)(y _1) ≥ 0 D ．(x _1)(y _1) ≤ 0
8 ．已知 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边， △ ABC 的面积
S tan C ，角 C 的平分线交 AB 于 D 点，且 a = 2 ，CD = ，则 BD =
3 4 5
A ． B ． C ． D ．3
5 3 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 ．已知 tan x = 2 ，则
10 ．下列说法正确的是
A ．样本数据 2 ，3 ，3 ，4 ，7 ，8 ，10 ，18 的第 80 百分位数为 10
B ．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数r 的值越大
C．根据分类变量x 与y 的成对数据，计算得到 x2 = 2.947＜x0.05 ，依据a = 0.05 的独立性检验，结论为变量x 与y 不独立
D ．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内
11 ．已知 a, b, c 成等差数列，若关于x, y 的方程组 恰有 2 组解，则a
A ．ab < 0 B ． a > 0 C ．a + b > 0 D ． + 1 > 0 b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 ．已知曲线 y = ex 在x = 0 处的切线l 与圆C : (x _ 1)2 + y2 = 4 相交于 A、B 两点，则| AB |= .
13 ．已知函数f 为奇函数，则实数 a = .
14 ．函数y 的值域为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 ．(本小题满分 13 分)
已知数列{an } 的前 n 项和Sn = 2an _ 2 ，n ∈ N* .
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）设bn = lgan 2，数列 {bnbn+1 } 的前 n 项和为Tn ，求证：Tn < 1 ．
16 ．(本小题满分 15 分)
如图，三棱柱ABC _ A1B1C1 中，平面BCC1B1 丄 平面AA1C1C ，BC = AC = 2CC1 = 2 ， Ð B1C1C M 为AC 的中点.
（1）证明：平面 A1BM 丄 平面AA1C1C ；
（2）若 Ð CAA ，求直线 AB 与平面A1BM 所成角的正弦值.
17 ．(本小题满分 15 分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布. 若随机变量 X 服从参数为λ(λ>0) 的泊松分布（记作 X ~ π(λ) ），则其概率分布为P ，k ∈ N ，其中e 为自然对数的底数.
（1）当 λ ≥ 20 时，泊松分布可以用正态分布来近似，当λ ≥ 50 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X ~ N(λ, λ) .若X ~ π(81) ，求 P(90＜X＜99) 的值；
（2）设 X ~ B(n，p) ，当 p ≤ 0.05 且n ≥ 20 时，二项分布可近似看成泊松分布，即p = Cpk n_k e_ k ∈ N ，其中 λ = E(X) .
某工厂生产电子元器件，次品率为 0.3%，各元件是否为次品相互独立，记 X 为产品中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这 1000 件产品中恰有 2 件次品的概率；
（ii）求使得 P(X = i)最大时的X 值．
(参考数据：e_3 ≈ 0.05 ；若 X ~ N(μ, σ 2) ，则有 P(μ _ σ 0 ,
所以 (x _1)(ln x + 1) < 0 ,
所以f (x) _ (_x + e + 1) < 0 ，即 f (x) < _x + e + 1 8 分法二：当x 时，设g(x) = f (x) _ (_x + e + 1) = (x _1) ln x + x _1，
则g , + 1 = ln x 分所以函数g , 上单调递增，又g e < 0 ，g , = 1 > 0 ,
由零点存在定理，存在唯一x ，使得 g ,(x0) = 0 ,
1
当x ∈ ( , x0) 时g ,(x) < 0 ；当 x ∈ (x0 ,1) 时g ,(x) > 0 .
e
所以g(x) 在 上单调递减，在 (x0 ,1) 上单调递增 分又g ，所以 g(x) < 0 ，
所以f (x) < _x + e + 1 8 分
1
（3）如图，由(1)可知，f (x) 在 ( ,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增， e
y
y=b
因为f (1) = e ，f = 2e _1 > f 所以b < e x1 < 1 < x2 < e 分易知f (x) 在x = e 处的切线为l : y x 分
设h = f x = ln x + e x 1 e x
则h, ln x
所以函数h,(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，又h,(e) = 0 ，
所以当x ∈ (0, e) 时h,(x) < 0 ；当 x ∈ (e, +∞) 时h,(x) > 0 ，
所以h(x) 在 (0, e)上单调递减，在 (e, +∞)上单调递增，
所以h(x) ≥ h(e) = 0 ，即 f x 分所以b = f x2 ，所以 x2 ≤ b ① 分由(2)知，当x 时，f (x) < _x + e + 1，所以 b = f (x1) < _x1 + e + 1，
所以x1 < _b + e + 1 ② 16 分由①+②得，xx2 < e + 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
D
D
A
C
B
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
AD