31.图形的相似——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

这是一份31.图形的相似——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm
2．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC=10，则AB的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3． 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（4，0）C．（6，0）D．（8，0）
4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．12B．1C．2D．3
5．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB=50cm，则CD的长是（ ）
A．30cmB．1003cmC．20cmD．254cm
6． 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是 .
7．如图，E是▱ABCD边AB上一点，连接AC、DE交于点F，AEEB=23，则S△AEFS△CDF= ．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若DEBC=13，则S△ADES△ABC= ．
9． 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 AC=6，CFBE=35，求BC的长.
10．如图，在▱ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若△DEF的面积为4，DFCF=23，求△ABE的面积．
11．如图，在等边△ABC中，点P、D分别是BC、AC边上的点，连接AP、PD，且∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若BP=4，CD=3；求AB的长．
二、能力题
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBE的值为（ ）
A．23B．733C．523D．833
13．如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（ ）
A．S△DEF=14S△BCFB．S△ADE=12S四边形BCED
C．S△DBF=12S△BCFD．S△ADC＝S△AEB
14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OA=AD．若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．8B．12C．16D．18
15． 已知 abc=bac=cab=2, 则 a2+b2+c2abc 的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
16．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，BC=22，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AD=33，则MN的长度为 ．
17．如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF= .
18．如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
19．如图，在菱形ABCD中，点E是边CD的中点，点F是BE的中点，AF的延长线交边BC于点H，若CF⊥DF，则FHBH的值为 ．
20．如图，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
21．如图，矩形ABCD中， AB＜AD.
（1）求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 AB=2,AD=4,，求（1）中所作的正方形的边长.
三、拓展题
22．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题． 实践报告如下：
实践报告
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
23．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即CBAC=ACAB，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵CBAC=ACAB，
∴⋯⋯
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
24．综合与实践
（1）【初步感知】如图①，△ABC和△ADE中，∠C=90°，AE⋅AB=AD⋅AC，∠CAD=∠EAB，求∠E的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S△AEF=12S矩形ABCD，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=8，BC=16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFG=18S梯形ABCD，当△ADG的面积最小时，求EG的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作横线的垂线，交点B所在横线于点D，交点C所在横线于点E，如图所示，
则AD:AE=2:5，
∵BD∥CE，
∴ADAE=ABAC，即25=AB10，
∴AB=4，
故选：B．
【分析】
可过点A作横线的垂线，交点B所在横线于点D，交点C所在横线于点E，则AD:AE=2:5，再由平行线分线段成比例定理得到ADAE=ABAC，据此求解即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC
∴ADDB=AEEC=1
∴DE=12BC=1
故答案为：B.
【分析】先由平行线分线段成比例定理得ADDB=AEEC=1，即DE为△ABC的中位线，则DE等于BC的一半.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
∴CDAB=23，
∵AB=50cm，
∴CD=23×50=1003cm，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得△COD∽△BOA，则CDAB=23，代值计算即可求出答案.
6．【答案】1：3
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比=OBOD=26=13.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
7．【答案】425
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴△AEF~△CDF，
∵AEEB=23，
∴AEAB=AECD=25，
∴S△AEFS△CDF=AECD2=252=425.
故答案为：425.
【分析】根据平行四边形的性质得CD∥AB，CD=AB，从而有△AEF~△CDF，根据AEEB=23得AECD=25，最后根据相似三角形的性质进行求解即可.
8．【答案】19​​​​​​​
【解析】【解答】解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADES△ABC=DEBC2=19
故答案为：19
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠DCB=90∘
∵CD⊥AB
∴∠B+∠DCB=90∘
∴∠ACD=∠B
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵△ACF∽△ABE
∴ACAB=CFBE
∴6AB=35
∴AB=10
∵∠ACB=90∘
∴BC=AB2−AC2=102−62=8
【解析】【分析】(1)根据等角的余角相等以及角平分线的定义即可证明 △ACF ∽ △ABE；
(2)利用相似三角形的性质可求AB，再由勾股定理求解。
10．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∠A=∠C，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB。
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD，
∴△DEF∽△AEB，
∵DFCF=23
∴DFCD=DFAB=25，
∴S△DEFS△AEB=252=425，
∵S△DEF=4，
∴S△ABE=25．
【解析】【分析】（1）本题首先根据平行四边形的性质得出AD∥BC,∠A=∠C，然后结合平行线的性质得出∠CBE=∠E，最后利用AA即可证明三角形相似；
（2）首先结合平行四边形的性质以及平行关系，即可得出△DEF∽△AEB，从而得出对应边成比例DFCD=DFAB=25；然后依据相似三角形面积比与相似比的平方关系，可以得出∴S△DEFS△AEB=252，最后将S△DEF=4代入计算即可。
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∠A=∠C，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD，
∴△DEF∽△AEB，
∵DFCF=23
∴DFCD=DFAB=25，
∴S△DEFS△AEB=252=425，
∵S△DEF=4，
∴S△ABE=25．
11．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠BPA=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠CPD+∠BPA=120°
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD．
（2）解：由（1）△ABP∽△PCD，
∴ABCP=BPCD，即ABBP=CPCD，
即AB4=AB−43，
∴AB=16．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠B=∠C=60°，根据三角形内角和定理可得∠BAP+∠BPA=120°，根据补角可得∠CPD+∠BPA=120°，则∠BAP=∠CPD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得ABCP=BPCD，即ABBP=CPCD，代值计算即可求出答案.
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠BPA=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠CPD+∠BPA=120°
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD．
（2）由（1）△ABP∽△PCD，
∴ABCP=BPCD，即ABBP=CPCD，
即AB4=AB−43，
∴AB=16．
12．【答案】A
【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵tan∠ABC=ACBC=tan60°，
∴AC=3BC；
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，
∴点A，C，E，B四点共圆，
∵CE⏜=CE⏜，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，
∴∠F=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AE⊥BF，
∴BE=EF即BF=2BE；
∵∠BCF=∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴ADBF=ACBC=3BCBC=3，
∴AD2BE=3，
∴ADBE=23.
故答案为：A.
【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知，
因为BE， CD为 △ABC的中线，
所以点F为 △ABC的重心，
所以 DE∥BC,DE=12BC,
所以 △DEF∽△CBF,
所以 S△DEFS△BCF=(DEBC)2=14,
所以 S△DEF=14S△BCF.
故A选项不符合题意.
因为 DE‖BC,
所以 △ADE∽△ABC,
所以 S△ADES△ABC=(DEBC)2=14,
所以 S△ADE=13S四边形BCED.
故B选项符合题意.
因为点F为 △ABC的重心，
所以 DF=12CF,
所以 S△DBF=12S△BCF.
故C选项不符合题意.
因为DE∥BC，
所以， S△DBE=S△DCE,
所以， S△ADC=S△AEB.
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OA=AD，
∴2OA=OD，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OAOD=12，
∴S△ABCS△DEF=122=14，
∵S△ABC=4，
∴S△DEF=4S△ABC=4×4=16，
故答案为：C ．
【分析】根据根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OAB∽△ODE，根据相似三角的形的性质得到ABDE=OAOD=12，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可．
15．【答案】D
【解析】【解答】解：∵abc=bac=cab=2，
∴a2abc=b2abc=c2abc=2，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴a2+b2+c2abc=2abc+2abc+2abcabc=6abcabc=6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
16．【答案】572
【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P
∵AB＝3，AD=33，∠ABD=90°
∴BD=332−32=32
∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°
∴BM=12AD=AM=332，BN=12CE=CN
∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN
∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°
∴∠CBN+∠ABM=90°
∵∠ABC=30°
∴∠MBN=30°+90°=120°
∴∠PBN=60°
∵∠P=90°
∴∠PMB=30°
∴PB=12BM=334
∴PM=BM2−PB2=94
∵∠ABD=∠CBE=90°，∠DAB=∠E
∴△ABD∽△EBC
∴BDBC=ADCE，即3222=33CE
∴CE=23
∴BN=3
∴NP=PB+BN=734
∴MN=PN2+PM2=572
故答案为：572
【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得BM=12AD=AM=332，BN=12CE=CN，根据等边对等角可得∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN，再根据角之间的关系可得∠PMB=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得PB，根据勾股定理可得PM，再根据相似三角形判定定理可得△ABD∽△EBC，则BDBC=ADCE，代值计算可得CE，再根据边之间的关系可得NP，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】1
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=2，
∴△AEF∽△DEC，
∴AFCD=AEDE，
∵DE=2AE，
∴AF2=12，
∴AF=1，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得AB∥CD，CD=AB=2，然后推理得到△AEF∽△DEC，根据对应边成比例解答即可．
18．【答案】3或43​​​​​​​
【解析】【解答】解： ∵点D为AC中点，CA=4，
∴AD=2，
∵△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当AEAD=ABAC时，
∵∠A=∠A，
∴∆AED~∆ABC，
∴AE=AB×ADAC=6×24=3，
②当ADAE=ABAC时，
∵∠A=∠A，
∴∆ADE~∆ABC，
∴AE=AC×ADAB=4×26=43，
综上可知AE=3或43，
故答案为：3或43.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分AEAD=ABAC和ADAE=ABAC两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
19．【答案】12
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于G点，
∵CF⊥DF，点E是边CD的中点，∴EF=DE=EC，
∵点F是BE的中点，∴DE=EC=EF=BF，
令DE=EC=EF=BF=1，则DC=2,BE=2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AM∥BC，
∴∠MDE=∠BCE，
又∵DE=EC，∠DEM=∠CEB，
∴△CBE≌△DME(ASA)，
∴BC=MD=2，BE=ME=2，
∵MD∥BG，
∴△BFG∽△MFD，
∴BGMD=FGFD=BFMF=13，
∴BG=13MD=23，
同理△HFG∽△AFD，
∴HGAD=FGFD=13，
∴HG=13AD=23，
∴CH=BC−BG−HG=2−23−23=23，
∴CH=GH,BH=BC−CH=2−23=43，
∴FH是Rt△CFG的中线，
∴FH=GH=CH=23，
∴FHBH=23÷43=12．
故答案为：12．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可知EF=DE=EC，再由点F是BE的中点可得到DE=EC=EF=BF，令DE=EC=EF=BF=1，则DC=2,BE=2，利用菱形的性质和平行线的性质可得∠MDE=∠BCE，进而根据全等三角形的判定定理可证得△CBE≌△DME(ASA)，即可得到BC=MD=2，BE=ME=2，再证得△BFG∽△MFD，得到BGMD=FGFD=BFMF=13，利用△HFG∽△AFD，得到HGAD=FGFD=13，即可得到BF和FH，进而可求得FHBH的值即可 ．
20．【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，y=12AP⋅BP=12x2（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴CP'CP=CFCB，
∴7−x4=FP'3，
解得：FP'=21−3x4，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FB=12x2+3+21−3x42×（x﹣3）=−38（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴y=12x2，0＜x≤3−38(x−7)2+10.5，3＜x≤7；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴AD=2AB=62，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，AB2=AP2+DP2，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴PC=BC2−BP2=52−32=4，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
21．【答案】（1）解：如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.
​​​​​​​
（2）解：连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴ODOB=OEOG =1,
∴OB=OD.
在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，
∴BD=AB2+AD2=25,
∴OD= 12 BD=5.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB，
∴△EOD ∽△BAD，
∴OEAB=ODAD,即 OE2=54,
∴OE= 52.
在Rt△EOH中，OE=OH，
∴EH=2OE= 102,
即正方形EFGH的边长为 102.
【解析】【分析】 （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD ∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.
22．【答案】解：∵BC⊥BD,DE⊥BD，
∴∠ABC=∠BDE=90°，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD，
∵BC=1.5，DE=1.8，BD=10，
∴+10，
解得：AB=50，
∴河的宽度AB为50米.
【解析】【分析】先推出BC∥DE，得△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应边成比例性质求出AB的值即可.
23．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴ACAB=BCAC，
即x1=1−xx，
解得x=5−12（负值舍去）．
即黄金比为5−12
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴ACAB=BCAC，
∴CDAB=BCAE，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD•AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD•AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程x1=1−xx，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为5−1的线段，斜边AB的长为5，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则AD=5−1，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则AE=5−1，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知BCAC=ACAB，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以BCAE=CDAB，又∠BCD=∠EAB=90°，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知∠AEM=∠ADE=36°，而∠EAM=∠DAE，从而证明△AME∽△AED，所以AMAE=AEAD，在△DME中，易求∠DME=∠DEM=72°，可知DM=DE=AE，故AMDM=DMAD，所以点M是AD的黄金分割点。
24．【答案】（1）解：∵∠CAD=∠EAB
∴∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB，即∠CAB=∠DAE．
∵AE⋅AB=AD⋅AC,
∴AEAC=ADAB．
∴△ABC∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等）．
∵∠C=90°，
∴∠E=∠C=90°
（2）证明：∵FA⊥EA，S△AEF=12S矩形ABCD
∴12AF⋅AE=12AB⋅AD，即AF⋅AE=AB⋅AD，
∴AFAB=ADAE
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴∠BAD=∠B=90°，BC=AD=4，
∵FA⊥EA，
∴∠FAE=90°
∴∠FAD=∠BAE=90°−∠DAE
∴△ABE∽△AFD
∴∠AFD=∠B=90°
∴F在以AD为直径的圆上运动，
∴F到BC的最大距离为12AD+AB=12×4+3=5
（3）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=8，BC=16，
∴S△EFG=18S梯形ABCD=18×12(AD+BC)×AB=116(8+16)×8=12，
∵GE⊥FE，
∴12GE·EF=12，即GE·EF=24，
∵点E是线段AB的中点，
∴BE=12AB=4，
如图，取BQ=6，作矩形QPEB，则PE=QB=6，∠PEB=∠B=90°，连接PG，
∴EB×PE=4×6=24，
∴EB⋅PE=GE⋅EF，
∴EGEB=PEEF，
又∠GEF=∠PEB=90°，
∴∠GEP=∠FEB=90°−∠PEF，
∴△PEG∽△FEB，
∴∠PGE=∠FBE=90°，
∴G在PE为直径的圆上，
∴当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形，
∴GP=GE=22PE=32
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得AFAB=ADAE，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得F在以AD为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是12AD+AB的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取BQ=6，作矩形QPEB，则PE=QB=6，∠PEB=∠B=90°，连接PG，可推出EGEB=PEEF，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出G在PE为直径的圆上，当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形，即可求出EG的长.活动课题
测量河的宽度
活动工具
标杆、卷尺
测量过程
如图，为了测量河的宽度AB，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案：
【步骤一】小康站在河岸BD的点B处立了一根标杆BC(BC⊥BD)； 小明站河岸的另一端点D处， 立了另一根标杆DE(DE⊥BD)；
【步骤二】小英适当调整自己所处的位置， 在点A处测得点A， B， D恰好在同一条直线上， 点A， C， E恰好在同一条直线上；
【步骤三】其他同学用卷尺测出标杆BC、DE及河岸BD的长；
【步骤四】记录数据 (单位：m)
标杆BC
1.5
标杆DE
1.8
河岸BD
10
解决问题
根据以上数据计算河的宽度．