2025-2026学年下学期河北保定高二数学3月月考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河北保定高二数学3月月考试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 若 An2=4Cn−1n−3 ,则 n= ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 设随机变量 X 的分布列为 PX=i=a12i,i=1,2,3 ,则 a 的值为( )
A. 78 B. 87 C. 716 D. 167
3. 2x+1x−1x5 的展开式中 x2 项的系数为( )
A. 10 B. -10 C. -20 D. 20
4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为( )
A. 58 B. 89 C. 78 D. 67

5. 用 4 种不同的颜色给图中 6 个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有( )
A. 384 种 B. 168 种
C. 192 种 D. 108 种
6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈, 成为春节假期旅游城市中的“顶流”. 甲、乙等 6 名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊 4 个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独 1 人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( )
A. 96 种 B. 132 种 C. 168 种 D. 204 种
7. 一袋中装有编号分别为1,2,3,4的 4 个球,现从中随机取出 2 个球,用 X 表示取出球的最大编号，则 EX= ( )
A. 2 B. 3
C. 113 D. 103
8. 一袋中装有 4 个白球和 2 个红球, 现从袋中往外取球, 每次任取一个不放回, 取出后记下颜色, 若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 X ,则 PX≤2= ( )
A. 45 B. 25 C. 15 D. 35
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分)
9. 已知 3x−13n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn ，且第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，则( )
A. n=11 B. 展开式的二项式系数和为 212
C. 展开式的各项系数和为 8312 D. a13+a232+⋯+an3n=211+1311
10. 已知随机变量 X 的分布列如下，则( )
A. a=112 B. PX≥1=15
C. E4X+1=−1 D. PX≥0∣X≤1=511
11. 甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由 A,B,C 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序 A,B,C 的概率分别为0.5,0.3,0.2，当他负责工序 A,B,C 时，该项目达标的概率分别为0.6,0.8,0.7,则下列结论正确的是( )
A. 该项目达标的概率为 0.68
B. 若甲不负责工序 C ,则该项目达标的概率为 0.54
C. 若该项目达标，则甲负责工序 A 的概率为 1534
D. 若该项目未达标，则甲负责工序 A 的概率为 58
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 x2+1x3n 的展开式中二项式系数和为 32，则展开式中的常数项为_____.
13. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲、乙、丙等七人分别上台演讲，其中甲、乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有_____. 种
14. 盒子中有 4 个红球, 6 个白球, 从盒中每次取 1 个球, 取出后将原球放回, 再加入 2 个同色球, 所有的球除颜色外其它均相同，则第 2 次取到红球的概率为_____；在第 2 次取到红球的前提下， 第 3 次取到白球的概率为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知 3x2+1xn 的二项展开式有 7 项.
(1)求 n ，并求出所有二项式系数之和；
(2)求展开式中含 x7 项的系数；
(3)求展开式中的有理项.
16.(15分)某次文艺晚会上计划演出 7 个节目，其中 2 个歌曲节目，3 个舞蹈节目，2 个小品节目, 需要制作节目单:
(1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目:一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》 和一个快板节目, 但是不能改变原来节目的相对顺序, 有多少种排法?
17. (15 分)2024 年初，OpenAI 公司发布了新的文生视频大模型:“Sra”，Sra 模型可以生成最长 60 秒的高清视频. Sra 一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮. 为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营. 选拔考试分为“Pythn 编程语言” 和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束. “Pythn 编程语言”考试合格得 4 分, 否则得 0 分; “数据结构算法”考试合格得 6 分, 否则得 0 分. 已知甲同学参加“Pythn 编程语言”考试合格的概率为 0.8 ，参加“数据结构算法”考试合格的概率为 0.7 .
(1)若甲同学先进行“Pythn 编程语言”考试，记 X 为甲同学的累计得分，求 X 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由.
18.(17 分)某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满 300 元的顾客，均可获得一次摸奖机会. 摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4 个球 (红、黄、白、黑). 顾客不放回地每次摸出 1 个球, 若摸到黑球, 则摸奖停止, 否则就继续摸球. 按规定:摸到红球奖励 20 元，摸到白球或黄球奖励 10 元，摸到黑球不奖励.
(1)如果 1 名顾客第 3 次摸到黑球，求该顾客第 1 次摸到红球的概率；
(2)记随机变量 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求 X 的分布列和数学期望.
19. (17 分) 设 fx,n=1+xn,n∈N∗ .
(1)求 fx,6 的展开式中系数最大的项；
(2) n∈N∗ 时，化简 Cn04n−1+Cn14n−2+Cn24n−3+⋯+Cnn−140+Cnn4−1 ；
(3)求证: Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn=n×2n−1 .
2024 级高二 3 月月考数学答案
1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. C 7. D 8.A
9.AD 10. AD 11ACD.
6.依题意其余4位主播有两种情况:①3位主播去一个景点，1位主播去另外一个景点；② 分别都是 2 位主播去一个景点; 所以不同游玩方法 C41 A44+C42C22 A22⋅A44=168 (种).
8.令 X=k 表示前 k 个球为白球,第 k+1 个球为红球,
此时 PX=0=26=13,PX=1=46×25=415,PX=2=46×35×24=15 ,
则 PX≤2=PX=0+PX=1+PX=2=13+415+15=45 .
11.记甲负责工序 A 为事件 M1 ，甲负责工序 B 为事件 M2 ，甲负责工序 C 为事件 M3 ，该项目达标为事件 N . 对于选项 A ,该项目达标的概率为
PN=PM1PN∣M1+PM2PN∣M2+PM3PN∣M3=0.5×0.6+0.3×0.8+0.2×0.7=0.68 ,故 A 正确； PN∣M1+M2=PM1PN∣M1+PM2PN∣M2PM1+PM2=0.5×0.6+0.3×0.80.5+0.3=2740 ,故 B 错误;
对于选项 C,PM1∣N=PM1PN∣M1PN=0.5× ,所选项 C 正确;
对于选项 D,PM1∣N=PM1PN∣M1PN=0.5×1−0.61−0.68=58 ,所以选项 D 正确
三、12.10 13. 960 14. 25;12
13.将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲，则丙的位置有 4 个，将剩余 5 个元素再排序有 A55 A22=240 种方法,故不同的安排方法共有 4×240=960 种.
14.记事件 Ai= “第 i 次取到红球”,则 PA1A2=PA1PA2∣A1=410×612=15 , PA1A2=PA1PA2∣A1=610×412=15 ,所以 PA2=PA1A2+PA1A2=25 ,即第 2 次取到红球的概率为 25 ; PA2A3=PA1A2A3+PA1A2A3=PA1A2PA3∣A1A2+PA1A2PA3∣A1A2=15×614+15×814=15 ,所以 PA3∣A2=PA2A3PA2=1525=12 ,即在第 2 次取到红球的前提下,第 3 次取到白球的概率为 12 .
15.(1)因为 3x2+1xn 的二项展开式有 7 项,所以 n=6 ,所以所有二项式系数之和为 26=64 ;
(2)由(1)知 n=6 ，所以 3x2+1x6 的二项展开式的通项为 Tk+1=C6k3x26−kx−12k=C6k⋅36−k⋅x12−5k2 ， 令 12−5k2=7 ，解得 k=2 ，所以展开式中含 x7 项的系数为 C62⋅34=1215 ；
(3)因为 3x2+1x6 的二项展开式的通项为 Tk+1=C6k⋅36−k⋅x12−5k2 ，因为 0≤k≤6 ，且 k∈N ，所以能使 12−5k2 为整数的 k=0,2,4,6 ,所以展开式中的有理项分别为
T1=C60⋅36⋅x12=729x12, T3=C62⋅34⋅x7=1215x7, T5=C64⋅32⋅x2=135x2, T7=C66⋅30⋅x−3=x−3.
16.(1)将 3 个舞蹈节目看成整体，优先排布，有 A33=6 种排法. 再将剩下 4 个节目全排列， 有 A44=24 种排法.最后,将舞蹈节目整体放入剩下 4 个节目排布时产生的不含两端的 3 个空中, 有 3 种排法，故共有 3 A33 A44=432 种排法;
(2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有 2 A33 A22=24 种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中,有 A32 种排法. 则共有 2 A33 A22 A32=144 种排法.
(3)将新增两个节目放入 7 个节目排布产生的 8 个空中. 若两个节目放入同一个空，有 8A22=16 种排法,若两个节目不放入同一个空,有 A82=56 种排法,故共有 16+56=72 种排法.
17.(1)由题意 X 的所有可能取值为0，4，10，所以 PX=0=1−0.8=0.2 ，
PX=4=0.8×1−0.7=0.24, PX=10=0.8×0.7=0.56,
所以 X 的分布列为:
(2)甲同学选择先回答“Pythn 编程语言”考试这类问题，理由如下:
由(1)可知 EX=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56 ，甲同学先进行“数据结构算法”考试，记 Y 为甲同学的累计得分,则 Y 的所有可能取值为 0,6,10, PY=0=1−0.7=0.3,PY=6=0.7×1−0.8=0.14 , PY=10=0.7×0.8=0.56 ,所以 Y 的分布列为: EY=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44 ,所以 EX>EY , 所以甲同学选择先回答“Pythn 编程语言”考试这类问题.
18.(1)设“第 3 次摸到黑球”为事件 A ，“第 1 次摸到红球”为事件 B ，可知 PA=A32 A44=14,PAB=A21 A44=112 ,可知 PB∣A=PABPA=11214=13 .
(2) X 的可能结果有0,10,20,30,40.
当 X=0 时,第一个就是黑球 PX=0=14 ,
当 X=10 时,第一个是白球或者黄球,第二个是黑球 PX=10=24×13=16 ,
当 X=20 时,前两个是白球和黄球,第三个是黑球,或者第一个是红球,第二个是黑球
PX=20=24×13×12+14×13=16,
当 X=30 时,第一个是白球或者黄球,第二个是红球,第三个是黑球,或者,第一个是红球,第二个是白球或者黄球,第三个是黑球 PX=30=24×13×12×2=16 ,
当 X=40 时,前三个是白球和黄球和红球,第四个是黑球 PX=40=A33 A44=14 ,
故 X 分布列为:
数学期望 EX=0×14+10×16+20×16+30×16+40×14=20 .
19.解: (1) fx,6=1+x6 ,通项为: Tk+1=C6kxk ,
故各项的系数即为二项式系数,故系数最大的项为 T4=C63x3=20x3 ;
(2) Cn04n−1+Cn14n−2+Cn24n−3+⋯+Cnn−140+Cnn4−1
=14Cn04n+Cn14n−1+Cn24n−2+⋯+Cnn−141+Cnn=14−4+1n=54 ;
(3)证明:令 S=Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+n−1Cnn−1+nCnn ①，
则 S=nCnn+n−1Cnn−1+n−2Cnn−2+⋯+2Cn2+Cn1 ，
所以 S=nCn0+n−1Cn1+n−2Cn2+⋯+2Cnn2+Cnn+ ②,
①+②得: 2S=nCn0+Cn1+⋯⋯+Cnn=n⋅2n ， ∴S=n⋅2n−1 .X
- 1
0
1
2
P
12
1 3
a
112
X
0
4
10
P
0.2
0.24
0.56
Y
0
6
10
P
0.3
0.14
0.56
X
0
10
20
30
40
P
1 4
1 6
1 6
1 6
1 4