【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题5.1 多边形的性质与计算（全国通用版）练习（解析版）

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专题1 多边形的性质与计算
知识梳理
【考点一】多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：

要点：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
【考点二】多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
【考点三】多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
例题讲解
【题型一】多边形的概念与分类
◇典例1：
如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．

【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解．
【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形．
◆变式训练
1.下列图形中不是多边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案．
【详解】
解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
2.仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形．
【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形
【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的．
【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形．
【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形．
【题型二】正多边形的概念辨析
◇典例2：
对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【答案】A
【分析】A. 由正多边形的性质可得
B. 举反例判断即可
C. 举反例判断即可
D. 举反例判断即可
【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确
B. 菱形不是正方形，错误
C. 矩形不是正方形，错误
D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．
◆变式训练
1.下列图形中，是正八边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正多边形的定义判断即可．
【详解】解：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选项中的图形是正八边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形．
2.已知正六边形的周长是36cm，则这个多边形的边长等于 cm．
【答案】6
【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键．
【详解】解：∵正六边形的周长是36cm，
∴这个多边形的边长为36÷6=6cm，
故答案为：6．
【题型三】多边形截角后的边数问题
◇典例3：
把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形．
【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形．
故选：D．
◆变式训练
1.如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．以上都有可能
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可．
【详解】解：如图，
，剩余图形是四边形；
，剩余图形是五边形；
，剩余图形是六边形；
故选D．
2.一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ．
【答案】2021或2022或2023
【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变．
【详解】解：一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为2021，2022，2023
故答案为：2021，2022，2023．
【题型四】多边形的周长与面积问题
◇典例4：
若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为
【答案】2ncm/2n厘米
【分析】根据正n边形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵正n边形的边长相等，且边长为2cm，
∴其周长为2ncm，
故答案为：2ncm．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键．
◆变式训练
1.如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形ABCD的面积为 ．
【答案】1212
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
5×5−12×4×1−12×1×1−12×4×2−12×3×4=1212，
故答案为：1212．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
2.如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为S1，图②中汉字的面积为S2，则S1−S2的值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】D
【分析】利用割补法分别求出S1和S2的面积，再作差即可．
【详解】解：如图，
S1＝5×7−12×2×4×2−12×1×1×2−12×（1+5）×4
＝35−8−1−12
＝14，
S2＝4×9−12×4×4×2−12×（1+7）×3
＝36−16−12
＝8，
∴S1−S2＝6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
【题型五】多边形对角线的条数问题
◇典例5：
一个多边形从一个顶点处可以引出7条对角线，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键．
一个n边形从一个顶点处可以引出n−3条对角线，由此计算即可．
【详解】解：一个n边形从一个顶点处可以引出n−3条对角线，
∴n−3=7，
∴n=10，
故选：D．
◆变式训练
1.六边形对角线的条数是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了多边形对角线条数的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据多边形所有对角线的条数公式nn−32求解即可．
【详解】解：根据多边形所有对角线的条数为nn−32，
∴六边形的对角线的条数为66−32=9．
故答案为：9．
2.过某多边形的一个顶点可以引2024条对角线，则这个多边形的边数是 条
【答案】2027
【分析】本题可根据多边形对角线的相关性质来求解多边形的边数，即根据过n边形的一个顶点可引出(n−3)条对角线这一关系建立方程求解．本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握过n边形一个顶点可引出(n−3)条对角线是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
∵ 过n边形的一个顶点可以引(n−3)条对角线，且过该多边形的一个顶点可以引2024条对角线
∴ n−3=2024
∴ n=2024+3=2027
故答案为：2027．
【题型六】对角线分成的三角形个数问题
◇典例6：
在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成n−2个三角形是解题的关键．
从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成n−2个三角形，由此计算即可．
【详解】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是5+2=7，
故答案为：7．
◆变式训练
1.自八边形一个顶点能引（ ）条对角线，这些对角线可将八边形分成（ ）个三角形．
A．4，5B．5，6C．6，7D．7，8
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的相关概念，解题关键是画出图形求解．
直接画出图形求解．
【详解】解：如图，
自八边形一个顶点能引5条对角线，这些对角线可将八边形分成6个三角形，
故选：B．
2.探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于n边形n>3，过一个顶点可以作 条对角线，它把n边形分成 个三角形；（用含n的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1)1；2
(2)2；3
(3)n−3；n−2
(4)103
【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究．
（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作4−3=1条对角线，它把四边形分成4−2=2个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作5−3=2条对角线，它把五边形分成5−2=3个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作6−3=3条对角线，它把六边形分成6−2=4个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作7−3=4条对角线，它把七边形分成7−2=5个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作n−3条对角线，它把n边形分成n−2个三角形；
故答案为：n−3，n−2．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，n−3=100，
∴n=103，
故答案为：103．
【题型七】多边形内角与外角
◇典例7：
如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，∠1=120°，再利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：由量角器可知，∠1=120°，
∴∠2=∠1=120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
◆变式训练
1.如图， 是△ABD的外角，以∠ADB为外角的三角形有 个，它们是 ．
【答案】 ∠BDC 2 △DEC和△BDC
【分析】本题考查三角形的外角的定义，根据“三角形的一边的延长线与另一边形成的夹角是三角形的外角”求解即可．
【详解】观察图形可得：∠BDC是△ABD的外角，
以∠ADB为外角的三角形有△DEC和△BDC，共2个，
故答案为：∠BDC，2，△DEC和△BDC．
2.一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，则这个多边形的一个外角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，设正多边形的一个外角等于x°，则这个正多边形的一个内角为3x°，即可得出方程x+3x=180，解方程得出外角度数，从而即可得出边数．
【详解】解：设正多边形的一个外角等于x°，则这个正多边形的一个内角为3x°，
根据题意得：x+3x=180，
解得：x=45，
∴这个多边形的一个外角为45°，
故选：B．
真题在线
一、单选题
1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为，根据内角和可解得，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为，
则可得，
解得，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为，
故选：A．
2．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12B．C．16D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴，，
∴，
∴，，
同理，
∴，
∴矩形的面积是．
故选：B．
3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
4．（2025·北京·中考真题）若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ）
A．60B．90C．120D．150
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是，
∴每个内角的度数为：，
故选：C．
5．（2025·甘肃兰州·中考真题）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，求解即可．
【详解】解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，
∴，
故选：D．
6．（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角和公式的运用以及三角形的外角，熟练掌握相关公式是解题关键．根据正多边形的内角和公式求出，然后根据三角形外角的性质求出即可．
【详解】解：八边形是正八边形，
，
八边形是正八边形
∴，，
，
∵是的外角
，
故选：D．
7．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．
延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：延长与直线交于点，
∵正六边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得，，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：六边形是正六边形，
，
，
，
，
同理可求：，
在中，
，
同理可求：，
四边形是菱形，
四边形的面积是：
；
故选：A．
二、填空题
9．（2025·江苏无锡·中考真题）正七边形的内角和为 度．
【答案】900
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式计算即可得出答案．
【详解】解：正七边形的内角和为，
故答案为：900．
10．（2025·四川巴中·中考真题）正多边形的一个内角是，这个正多边形是正 边形．
【答案】六
【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴正多边形的一个外角是，
∴这个正多边形的边数为，
即正多边形是正六边形，
故答案为：六．
11．（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可．
由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：，
则第一次回到出发点时，该机器人共走了步，
故答案为：．
12．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；
故答案为：．
三、解答题
13．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】(1)，
(2)2.0千米
(3)
【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可；
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
14．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．
【问题初探】
如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比．
解：设，，则．
，
请补全以上解题过程；
【问题再探】
如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【知识迁移】
如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：；
【延伸拓展】
如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点．
【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析
【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可；
[问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点；
[知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明；
[延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明．
【详解】[问题初探]
解：设，，则．
，
∴，
解得：，（舍），
∴，
∴黄金比为；
[问题再探]
解：如图，点即为的黄金分割点：
[知识迁移]
证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，，
∵点为线段的黄金分割点，
∴，
∴，
∴；
[延伸拓展]
证明：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点是的黄金分割点．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
15．（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系；
（2）在射线上截取，连接，过点作于点，同（1）得，则，，可得，根据，即可求解；
（3）同（2）的方法，即可求解．
【详解】（1）
如图2，在射线上截取，连接，
∵，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
（2）解：正五边形的一个内角为
如图4，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴；
（3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得
∴
∴
∵
∴
∴即
故答案为：．
专项练习
一、单选题
1．从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（ ）
A．10个B．9个C．8个D．7个
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键．从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得．
【详解】解：∵十边形的边数为10，
∴分成三角形的个数是（个）．
故选：C．
2．一个九边形的内角和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键．
根据多边形的内角和公式：且为整数，进行计算即可．
【详解】解：多边形内角和公式为，
九边形的边数，
代入公式得：
．
故选：C．
3．四边形的外角和与三角形的外角和相比（ ）
A．四边形外角和大B．三角形外角和大C．一样大D．无法比较
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握任意多边形的外角和恒为，与边数无关是解题的关键．
多边形的外角和恒为，与边数无关．
【详解】解：∵ 任意多边形的外角和都等于，
∴ 四边形的外角和为，三角形的外角和也为，
∴ 两者一样大．
故选：C．
4．把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n，则的值为（ ）
A．7B．4C．12D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形分对角线问题和多边形分三角形问题，过t边形的一个顶点的对角线条数为条，过t边形的一个顶点的对角线把多边形分割成个三角形，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n，
∴， ，
∴．
故选：C．
5．五边形∽五边形，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质．
根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解．
【详解】解：∵五边形∽五边形，
∴．
∵五边形内角和为，，
∴，
∴．
故选：B．
6．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数．
【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、．
∵任意四边形的外角和为，
∴．
解得，
即：．
最大的外角为．
逐一分析选项：
A、，与计算结果一致，符合题意；
B、，与计算结果不符，不符合题意；
C、，与计算结果不符，不符合题意；
D、，与计算结果不符，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数．
7．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ）
A．11条B．12条C．13条D．14条
【答案】A
【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为，
∴ 对角线数为，
故选：A．
8．从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题考查多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可．
【详解】解：设多边形有条边，由题意，得：，
，
故选：C．
9．如图，在正十边形中，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故选：B．
10．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
则，，
∴，
∵是某正多边形的一个外角，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．如图，正八边形和正六边形的一边重合，则的度数为 °．
【答案】15
【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和定理的计算．
根据正多边形的性质，多边形内角和定理（是多边形的边数），得到正八边形，正六边形的每个内角的度数即可求解．
【详解】解：正八边形的每个内角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为，
∴，
故答案为：．
12．已知一个正多边形的外角是，则这个多边形的边数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．根据多边形外角和定理，正多边形的每个外角相等，用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
【详解】解：多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，且已知一个外角为，
边数．
故答案为：．
13．四边形中，，则 ．
【答案】
【分析】根据四边形内角和定理，四边形的内角和为，结合角度比例设未知数列方程求解．
本题主要考查了四边形内角和为，熟练掌握并运用是解题的关键．
【详解】解：设，，，，
则，
解得，
故．
故答案为：．
14．已知四边形中，与互补，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了四边形内角和定理与互补角的性质，掌握四边形内角和为、互补角的和为是解题的关键．
利用四边形内角和定理及互补角性质计算的度数．
【详解】解：∵与互补，
∴
∵ 四边形的内角和为，且，
∴
故答案为：．
15．如果一个正边形的每个内角是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握正多边形每个内角的计算公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式表示出每个内角的度数，然后列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，
两边同时乘以，得，
解得 ．
故答案为：．
16．如图，，则的值是 ．
【答案】70
【分析】本题考查了四边形外角和定理与邻补角的性质，掌握四边形外角和为、邻补角的和为是解题的关键．
先利用四边形外角和为，求出第四个外角的度数，再根据邻补角的和为，计算出的值．
【详解】解：∵四边形的外角和为，且，
∴ 第四个外角的度数为，
∵ 与这个外角互为邻补角，
∴．
故答案为： ．
三、解答题
17．求出下列图形中的值．
【答案】36；40
【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程．
先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可．
【详解】解：图①：四边形的内角和等于，
，
解得．
图②：四边形的内角和等于，
，
解得．
18．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数．
【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14
【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键．
先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数．
【详解】解：设这个多边形的边数为．
由题意，得，
解得，即这个多边形的边数为．
总对角线条数为．
19．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值．
【答案】
【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键．
先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和．
【详解】解：，
的外角为，
．
20．阅读与思考
连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
(1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______；
(2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______；
(3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
【答案】(1)①，②
(2)
(3)44个
【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用．
（1）根据所给图形总结规律解答即可；
（2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．
（3）根据（2）的结论求解即可．
【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
…，
∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
故答案为：①，②；
（2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．
故答案为：；
（3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）．
21．如图①，正六边形对角线的交点称作正六边形的中心，中心到顶点的线段称作正六边形的半径．研究发现正六边形半径将其分割成6个全等的等边三角形．
【探究一】如图②，以正六边形一组对边为对边的矩形，其长边长为，求这个正六边形的半径．
【探究二】如图③，若将一个矩形放在正六边形中，、为正六边形边的中点，且正六边形能完全覆盖住这个矩形．已知，为保证正六边形能完全覆盖矩形，则矩形的边长不能超过________．
【答案】[探究一]；[探究二]
【分析】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．
[探究一]根据正六边形的性质求出，继而求得，，然后解求出，即可求解正六边形的半径；
[探究二]先证明出，然后解求出，再由即可求解．
【详解】解：（1）在正六边形中，，，
∴，
∴
由等边三角形可得，，
∴，
∴这个正六边形的半径为；
（2）如图，
由题意得，，
∴
∴为等边三角形，而为中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴为等边三角形，
∴
同理，
∴，
∴
∵矩形中，，
又∵，
∴
∴在中，，
∵为保证正六边形能完全覆盖矩形，
∴，
∴矩形的边长不能超过，
故答案为：．
多边形的顶点数/个
4
5
6
7
8
……
从一个顶点出发的对角线的条数/条
1
2
3
4
5
……
①_____
分割成的三角形个数/个
2
3
4
5
6
……
②_____