山西省太原市2026届高三下高考模拟考试（—)数学试卷

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太原市 2026 年高三年级模拟考试（一）数学试题参考答案及评分建议
一．选择题： BDCABCAA二. 选择题： 9.BCD10.ACD11.ABD
161
三．填空题:12. 2x  y  2  0
四．解答题:
13.
3
14. 
2
15.解：（1）S 
1 absinC ，
3
22
ab sin C 
1 c(a sin A  b sin B  c sin C) ，……2 分
2
由正弦定理可得
abc 
3
2
1 c(a 2
2
b2
 c2
) ，cs C 
a2  b2  c2 
2ab
，………6 分
3
2
 0  C  180 ，C  30 .………7 分
3
（2）由（1）得C  30， AD // BC ，CAD  ACB  30 ，………8 分在△ ACD 中，由余弦定理得CD2  AC2  AD2  2AC  ADcsCAD，………9 分
3  4  AD2  4
3 AD ， AD 
2

2
.………13 分
解:（1）设G 是 PB 的中点，连接 EG, CG ，
四边形 ABCD 是菱形， AB // CD ， AB  CD  AD  2 ，
 E 是 AP 的中点， EG // AB ， EG  1 AB  1 ，
2
 F 是CD 的中点，CF  1 CD  1 ， EG // CF ， EG  CF ，………4 分
2
四边形CFEG 是平行四边形， EF // CG ，………5 分
 EF  平面 PBC ，CG  平面 PBC ， EF // 平面 PBC .………6 分
（2）设O 是 AD 的中点，连接 BO, PO, BD ，
3
 AD  PA  PD  2 ，△ PAD 是等边三角形，OP  AD ， OP ，
3
底面 ABCD 是菱形，BAD  60 ，△ ABD 是等边三角形，OB  AD ，OB ，
6
 PB ， PB2  OB2  OP2  6 ，OP  OB ，………9 分
以O 为坐标原点，OA, OB, OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，则 A(1,0,0) , B(0, 3,0) , C(2, 3,0) , P(0,0, 3) ,
设 m  (x1 , y1 , z1 ) 是平面 PAB 的一个法向量，
则m  AB,   x1  3 y1  0,

m  BP,


3 y1 
3z1  0,
取 x1 
3
，则 y1  z1  1 ， m  (
3,1,1) ， ……11 分
设 n  (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PBC 的一个法向量，
则m  BC,  2x1  0,
取 y  1 ，则 x
 0, z
 1， n  (0,1,1) ，………13 分


m  BP,
3 y1 
3z1
 0,111

| cs  m, n ||

m  n |
| m || n |
210
5  2

，
5
10
平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为
5
.………15 分
解：（1）设“小明发一次球，他发出“优质球”、“有效球”、“一般球””分别为事
()
件 A , A , A ，则 P( A )  ( 2)3  8 ， P( A )  C 2  2 2  1  4 ，
123
1327
23339
P( A )  C1  2 
1 2 
1 3 
7
，………3 分
333(3)(3)27
52102
由题意得 X 的所有取值为0,1，P( X  1)  6 P( A1 )  3 P( A2 )  21 P( A3 )  3 ，………5 分
 P( X  0)  1 P( X  1)  1 ， E( X )  0  P( X  0) 1 P( X  1)  2 . ………8 分
33
（2）由题意得可知双方还需打 6 个球，且最后两球都是小明得分.设 Bi  “双方打 6 个球，小明第i 个球得分”， i  1,2,3,4,5,6 ，则所求事件为 B1 B2 B3 B4 B5 B6 ∪ B1 B2 B3 B4 B5 B6
∪ B1B2 B3 B4 B5 B6 ∪ B1B2 B3 B4 B5 B6 ，………10 分
由（1）及题意可得 P(B)  2 , P(B)  1 ， P(B )  P(B )  1 ， i  1,2,3 ，
2i13
2i132i
2i2
所求事件的概率为 P(B1 B2 B3 B4 B5 B6 ∪ B1 B2 B3 B4 B5 B6 ∪ B1B2 B3 B4 B5 B6 ∪ B1B2 B3 B4 B5 B6 )
 P(B1 B2 B3 B4 B5 B6 )  P(B1 B2 B3B4 B5 B6 )  P(B1B2 B3 B4 B5 B6 )  P(B1B2 B3 B4 B5 B6 )
 (2  1  2  1  2  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1) 2  1  1 .………15 分
3 2 3 23 2 3 23 2 3 23 2 3 23 212
e  c  3,
a
 916
a 1,
y 2
 2
解：（1）由题意得
ab2
1, 得b 

2,双曲线C 的方程为 x2 
2
 1 . ……4 分

c2

 a2
b2
c  3,
连接OP , OM , OQ , ON ，由对称性可知四边形 PMQN 的面积等于△ OPM 面积的 4 倍，设 P(x0 , y0 ) ，则Q( x0 , y0 ) ，
由题意得直线l1 的方程为 y 直线 PM 的方程为 y  y0  直线QM 的方程为 y  y0 
2x ，直线l2 的方程为 y  
2 ( x  x0 ) ，
2(x  x0 ) ，
2x ，
2
2
x
y  y   2(x  x ), y ,
由0
0 得
20  M (
y ,2 x
) ，………6 分
y  y  2(x  x )
200

00
y 
y
2x0 ,
|
2
y

2
2
02x0 |
2
| 2x 2  y 2 |
点 M 到直线OP : y  0 x 的距离d  2 
 00 ，………7 分
x 2  y 2
00
x0x 2  y 22
00
2
x 2  y 2
00
1| 2x 2  y 2 |
2 | 2x 2  y 2 |
△ OPM 面积 SOPM 
| OP | d 
2
2

4
 00  00 ，
x 2  y 2
00
2
4
2
 x0
y 22
 0  1 ， 2x0 2
 y0
 2 ，△ OPM 面积 SOPM  2 ，
四边形 PMQN 的面积为 4  SOPM
 2
.………11 分
2
设直线 F1Ti 交双曲线C 的左支于点 Ki ，连接 F2 Ki ， i  1,2,,50 ，
| F1Ti |  | F2Ti | | F1Ki |  | KiTi |  | F2Ti | | F2 Ki |  | KiTi |  | F2Ti | 2  2 ，………13 分设直线 F2Ti 交双曲线C 的右支于点 Hi ，连接 F1 Hi ， i  1,2,,50 ，
同理可得| F2Ti |  | F1Ti | 2 ， 2 | F1Ti |  | F2Ti | 2 ，………15 分
5050
 100  | F1Ti |  | F2Ti |  100 ，| d1  d 2 | 100 .………17 分
i 1i 1
解:（1）由题意得 f (2x 1)  f (2x 1)  2 sin(2x 1) sin(2x 1)  2  2cs2xsin1，
 f (2x 1)  f (2x 1)  2 ， 2 cs 2x sin1  0 ，sin1  0 ，cs 2x  0 ， ……3 分
cs 2x  1 2 sin 2 x ，1 2 sin 2 x  0 ， 
sin(2n 1)  sin(2n 1)
2  sin x 
2
2
.………5 分
2
 an  cs 2n 
2 sin1
， n  1,2,3, ，………6 分
Sn
 a1
 a2
 an
1
2sin1
[(sin3 sin1)  (sin5 sin3)  (sin(2n 1) sin(2n 1))]
1[(sin(2n 1)  sin1]  sin[(n 1)  n]  sin[(n 1)  n]  cs(n 1) sin n ，
2 sin1
2sin1
sin1
1  cs(n 1)  1， 1  sin n  1，1  cs(n 1) sin n  1 ，………9 分
 1 sin1
 Sn
1 sin1
.………10 分
2026
2026
2026
2026
由题意得 f (bi )  bi  sin bi  T2026  sin bi ，………11 分
i1
i1
i1
i1
sin b  sin b sin( b2026  b1  b2026  b1 )  sin( b2026  b1  b2026  b1 )
120262222
 2 sin b2026  b1 cs b2026  b1  2 sin T2026 cs 2025d ，………12 分
2220262
同理可得sin b  sin b
 2 sin T2026 cs (2027  2i)d ， i  2,3,,1013 ，………13 分
i2027i
20262

2026
i
sin b
 2(cs 2025d  cs 2023d dT2026 ，
cs) sin
i122
22026

2026
f (b )  T
 2(cs 2025d  cs 2023d dT2026  2026，……14 分
i
i1
2026
cs) sin
2025d
22
2023d
22026
dx
令 g(x)  x  2(cs
2
 cs
2
 cs
) sin
2
2026
 2026， x  R ，
则 g(x)  11(cs 2025d  cs 2023d  cs d ) csx1 1013  0，
101322
22026
1013
 g(x) 在R 上单调递增， g(2026)  0 ， g(x) 在R 上有唯一零点 x  2026，
T2026  2026.………17 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.