黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果函数在处的导数为1，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4.
5．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
6．2026年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1幅，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有1000人，则恰好获得1幅春联的人数为（ ）
A．83B．84C．85D．86
7．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（ ）

A．函数有四个极值点B．为的极大值点
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
10．已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．，D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值
B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
三、填空题
12．已知函数在处取得极小值，则 ．
13．在等比数列中，，，则
14．已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值．
16．设等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)求数列的前项和．
17．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
18．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值.
19．已知正项数列的前项和为满足，数列满足且.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：；
(3)若对任意正整数恒成立，求的取值范围.
1．C
由极限的性质结合导数的定义计算即可.
【详解】因为函数在处的导数为1，
所以，
故选：C
2．B
令，解得，即可求得的最小值.
【详解】令，因为，所以解得，
所以数列的前3项为负，第四项起为正，
的最小值为.
故选：B
3．C
求导，令，解不等式求解单调区间即可.
【详解】由题意得，定义域为，，
令，解得，
故函数的单调递减区间是.
故选：C
4．D
利用等差数列的性质求解.
【详解】由等差数列的性质得，
所以，
，
故选：D
5．A
求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案.
【详解】由，可得，
所以曲线在处的切线方程是，
令得，所以
.
故选：A．
6．B
将能被3除余1且被4除余1的正整数从小到大排列所得的数列记为，由题意可得是12的倍数，从而得，再令，求解即可.
【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数从小到大排列所得的数列记为，
则既是3的倍数也是4的倍数，所以是12的倍数，
即数列是首项为0，公差为12的等差数列，
所以，即，
令，解得，
又因为，且，
所以，即共有84人获得1幅春联.
故选：B.
7．A
令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案.
【详解】 令，，则，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以等价于，即，
所以，即不等式的解集为．
故选：A．
8．D
将不等式变形为，构造函数，利用导函数与函数单调性的关系确定函数的单调性，进而可得在上恒成立，再进一步构造，利用导数研究单调性和最值即可求解.
【详解】不等式可变形为，
即在上恒成立，
令，
易得在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立，
也即在上恒成立，
所以，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即，故实数的取值范围是．
故选：D
9．ABC
由极值点定义及导数符号与函数单调性关系逐项判断.
【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负，
所以函数共有三个极值点，A错误；
对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误；
对于C：由图象，在为负，在为正，
所以在单调递减，在单调递增，C错误；
对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确；
故选：ABC.
10．BC
设设公比为，由得解出，逐一验证选项即可.
【详解】设公比为，根据题意有，
所以或，
当时，，，
当时，，故A错误，B正确；
当时，，，
当时，，，
所以，，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：BC.
11．AD
求导，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断ACD，利用导数的几何意义判断B.
【详解】由题意可得：，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递减，在上单调递增，
可知的极大值为，极小值为，
且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，
可得的图象如下：

对于选项A：可知的极小值为，故A正确；
对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；
对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，
由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；
对于选项D：若时，，则，
所以的最小值为2，故D正确；
故选：AD.
12．
由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可.
【详解】由，又函数在处取得极小值，
则，解得，或，
当时，，
令，则，或，
当时，，当时，，则处取得极小值，
故时符合题意；
当时，，
令，则，或，
当时，，当时，，则处取得极大值，
故时不符合题意.
故答案为：.
13．
设，结合等比数列下标和的性质可得，即可求解.
【详解】设，
则
，
所以.
故答案为：
14．
将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数最值即可.
【详解】对，使得等价于：
当时，，
因为在上单调递增，
所以，而，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
由，得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)见解析
(2)极小值，极大值
（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；
（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
【详解】（1）由题意可知，的定义域为.
因为，所以
令即，解得，
令即，解得或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）由（1）可知，当变化时，的变化情况如下表：
所以的极小值为，
极大值为.
16．(1)
(2)
(3)
（1）应用等差数列通项公式计算求解；
（2）应用等差数列求和公式计算求解；
（3）应用裂项相消计算求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，且
所以，所以，
所以；
（2）；
（3）因为，
所以
17．(1)
(2)不存在，理由见解析
（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式；
（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，从而得解.
【详解】（1）由题意知当时，①，
当时，②，
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
18．(1)答案见解析
(2).
【详解】（1）函数的定义域为，
当，即时，在区间上恒成立，
所以函数在区间上单调递减；
当，即时，，所以函数在区间上单调递增；
时，，所以函数在区间上单调递减；
当，即时，，所以函数在区间上单调递增；
时，，所以函数在区间上单调递减；
当，即时，，所以函数在区间上单调递增，
，，所以函数在区间上单调递减.
综上，
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减.
（2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减，
所以在上的最大值为，解得，不合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在上的最大值为，
整理得，即，所以，符合题意，
综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为.
19．(1)证明见解析，
(2)证明见解析
(3).
（1）由递推关系式得到是公比为2的等比数列，进而求出的通项公式.
（2）利用裂项相消法求出的表达式，进而证明不等式即可.
（3）先判断数列是公差为4的等差数列，然后求出的通项公式，然后化简不等式求出解集即可.
【详解】（1）由，得
故是公比为2的等比数列，
因，令得，又得.
故，的首项为，
故，所以.
（2）因为
故
（3）因，故，
作差得
移项得
.
由于数列是正项数列，故
所以数列是公差为4的等差数列.
故.
由，得，设，只需求出的最大值即可.
可知，故
故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
A
B
A
D
ABC
BC
题号
11









答案
AD









0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增