2024学年中考数学第三次模拟考试广东广州卷试题（含答案）

这是一份2024学年中考数学第三次模拟考试广东广州卷试题（含答案），共11页。试卷主要包含了一组数据等内容，欢迎下载使用。
本试卷共7页，三大题，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与2B．2与C．3与D．0与3
2．如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A．2B．C．D．0
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．一组数据：3，4，4，4，5，下列对这组数据的统计量说法错误的是（ ）
A．平均数是4B．中位数是4C．方差是4D．众数是4
6．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在距离铁轨的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）
A．B．
C． D．
8．为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30kmB．36kmC．40kmD．46km
9．如图，P为外一点，、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．8B．6C．12D．10
10．已知方程x2-x+2m=0有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．m-1B．m+1C．1-mD．±（m-1）
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ．
12．已知抛物线经过点和，则 （填“”“ ”或“”）．
13．如图是根据中国女子代表团在第30届奥运会上获得的奖牌情况绘制的扇形统计图，共计获得奖牌50枚，图中金牌对应扇形的圆心角的度数是 ．
14．四边形是正方形，E，F分别是和的延长线上的点，且，连接，，．若，，则的面积为 ．
15．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．

16．如图，四边形中，点、分别为、的中点，延长交延长线于点，交延长线于点，若与互余，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分4分）
解方程：．
（本小题满分4分）
如图，在中，D是AB的中点，过点D作，且，连接AE、CD．求证：．
19．（本小题满分6分）
2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率．
20．（本小题满分6分）
已知，△ABC在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣3，5）、C（﹣2，3），正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1．
(2)画出△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到的△A1B2C2，点B2的坐标为 ．
(3)求点C1绕点A1旋转到C2所经过的路径长为 ．
21．（本小题满分8分）
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
（1）；
（2）．
22．（本小题满分10分）
学校为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度是椅子的高度的一次函数，表中列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请确定与的函数关系式；
(2)现有一把高的椅子和一张高为的课桌，它们是否配套？为什么？
23．（本小题满分10分）
如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
24．（本小题满分12分）
如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．

(1)求的值，并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本小题满分12分）
有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，点M是的中点，连接交于点N．

(1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形的边长为m，将其沿翻折，点D的对应点G恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．
2024年中考第三次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与2B．2与C．3与D．0与3
【答案】A
【分析】根据相反数的定义求解：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
【详解】解：根据定义，与2互相反数；
故选：A
【点睛】本题考查相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
2．如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识．认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为长方体和长方体的结合体，
故选：D．
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限得出，从而可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
故选：C．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项； 根据完全平方公式判断B选项；根据合并同类项判断C选项；根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．
【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项不符合题意；
C选项，，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方与幂的乘方，掌握公式是解题的关键．
5．一组数据：3，4，4，4，5，下列对这组数据的统计量说法错误的是（ ）
A．平均数是4B．中位数是4C．方差是4D．众数是4
【答案】C
【分析】分别求解平均数、中位数、方差和众数，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意得，平均数为：，正确，故不符合要求；
中位数为：4，正确，故不符合要求；
方差为：，错误，故符合要求；
众数为：4，正确，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差和众数．解题的关键在于正确运算．
6．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：

故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．如图所示，在距离铁轨的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点B作于点M，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，可得到的长；再利用勾股定理求出的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速．
【详解】解：过点B作于点M，
∴，
∵当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这列动车的平均车速为．
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
8．为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30kmB．36kmC．40kmD．46km
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程．
设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶，根据乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的列出方程，解方程即可．
【详解】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶的路程，根据题意列方程，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km
故选：B．
9．如图，P为外一点，、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．8B．6C．12D．10
【答案】C
【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理，得到，进而得到的周长为，即可．
【详解】解：由切线长定理，可知：，
∴的周长；
故选C．
10．已知方程x2-x+2m=0有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．m-1B．m+1C．1-mD．±（m-1）
【答案】C
【分析】关于x的方程x2-x+2m=0有两个实数根，即判别式△=b2-4ac≥0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，代入即可得到结果．
【详解】解：∵x2-x+2m=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac=8－8m≥0
∴m≤1，
∴=|m-1|=1-m，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3600亿，用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12．已知抛物线经过点和，则 （填“”“ ”或“”）．
【答案】
【分析】分别把和代入，求出，，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．
13．如图是根据中国女子代表团在第30届奥运会上获得的奖牌情况绘制的扇形统计图，共计获得奖牌50枚，图中金牌对应扇形的圆心角的度数是 ．
【答案】或度
【分析】本题主要考查了求扇形统计图中对应项目的圆心角度数，用360度乘以金牌所在的扇形的占比即可得到答案．
【详解】解：
，
∴金牌对应扇形的圆心角的度数是．
故答案为：
14．四边形是正方形，E，F分别是和的延长线上的点，且，连接，，．若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，解决本题的关键是证明，得到，．
【详解】解：四边形是正方形，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
15．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．
【详解】如图：过点作于点，

，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．
16．如图，四边形中，点、分别为、的中点，延长交延长线于点，交延长线于点，若与互余，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，取中点为M，连接，根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，取中点为M，连接，
∵点、分别为、的中点，M为中点，
∴别为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴. 与互余，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形中位线定理，勾股定理，关键是根据三角形中位线定理和直角三角形的判定解答．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分4分）
解方程：．
【答案】，．
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法．方程左边利用平方差公式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程变形得：，
即，
解得：，．
（本小题满分4分）
如图，在中，D是AB的中点，过点D作，且，连接AE、CD．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，根据中点的性质得出，然后结合已知条件证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定定理即可得证．
【详解】证明：是的中点，
．
，
∴∠ADE=∠DBC
在∆ADE和中，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．（本小题满分6分）
2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率．
【答案】，画图见解析
【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意用列表法将情况一一列举出，即可求得本题答案．
【详解】解：∵小明从这四枚徽章中随机抽取两枚，
∴用列表法如下图所示：
，
设：抽到的两枚徵意中有一枚是会徽徽章为事件，
根据上方列表可知，共有12种情况，其中有6种符合情况，
∴．
20．（本小题满分6分）
已知，△ABC在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣3，5）、C（﹣2，3），正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1．
(2)画出△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到的△A1B2C2，点B2的坐标为 ．
(3)求点C1绕点A1旋转到C2所经过的路径长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，（1，3）
(3)π
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据点B2的位置写出坐标即可．
（3）利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A1B2C2即为所求作，点B2的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
（3）点C1绕点A1旋转到C2所经过的路径长＝＝π，
故答案为：π．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．（本小题满分8分）
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将原式前三项利用完全平方公式因式分解，然后与第四项结合，利用平方差公式进行因式分解；
（2）将将原式通过移项添括号变形为，然后先利用完全平方公式再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=
（2）
=
=
=
=
【点睛】本题考查利用公式法进行因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式的结构巧妙进行因式分解是解题关键．
22．（本小题满分10分）
学校为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度是椅子的高度的一次函数，表中列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请确定与的函数关系式；
(2)现有一把高的椅子和一张高为的课桌，它们是否配套？为什么？
【答案】(1)
(2)配套，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法求解一次函数的解析式是解题关键．
（1）设与的函数关系式为：，将点代入即可求解；
（2）令，计算出函数值，即可判断．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为：，
将点代入得：
，
解得：
∴与的函数关系式为：
（2）解：配套，理由如下：
当时，
∴一把高的椅子和一张高为的课桌是配套的
23．（本小题满分10分）
如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）只需要过点D作于F即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
24．（本小题满分12分）
如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．

(1)求的值，并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，G（0，52）
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可求出答案；
(2)如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
(3) 分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标为代入直线中，
得，
解得：，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由，
解得 或，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则，

，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴ ，
作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，
∵B，−2, 3，C(6,1)
∴B,C=−2−62+3−12=217，
∴BG+CG=B,C=217，
设的解析式为，
∵B，−2, 3，C(6,1),
∴ ，
解得： ，
解析式为，
当时，，
G（0，52）；
（3）解：存在．理由如下：
当点P在x轴上时，如图，

设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M，
四边形是矩形，
∴∠OBP1=900，
∵∠OMB=∠OBP1=900，∠BOM=∠P1OB,
∴，
∴，
，
，，
∴，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为；
当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，
设点 的坐标为，
四边形是矩形，
∴∠OBP2=900，
∵∠ONB=∠P2BO=900,,，，
∴，
∴，
即，
∴，
经检验符合题意，
∴点的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用轴对称解决线段和的最小值问题，能用分类讨论的思想解决问题．
25．（本小题满分12分）
有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，点M是的中点，连接交于点N．

(1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形的边长为m，将其沿翻折，点D的对应点G恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的四条边都相等、四个角都是直角，证明，得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明，再通过导角得，则，证得，；
（2）线段与之间的关系仍然成立，延长到点，使，连接，则，证明，，类比（1）中所用的方法可证得结论；
（3）延长到点，使，连接交于点，连接、，将转化为，可求出的最小值．
【详解】（1）如图1，交于点，

四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，，
是的中点，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，则，

，，
，
，，
，
，，
，
，
同理，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）如图3，延长到点，使，连接交于点，连接、，

，
，
垂直平分，
，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，，此时的值最小，
的值也最小，
，，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、直角三角形．
第一套
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椅子的高度
桌子高度
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