2026年中考数学二轮复习常考考点专题-图形的相似试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-图形的相似试题（含答案），共11页。试卷主要包含了cm等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•铜梁区校级一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．若△ABC与△DEF的周长之比为1：2，则OAOD的值为（ ）
A．1B．14C．13D．12
2．（2025•庐阳区校级二模）如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，且AD＝AC，点E为△ABC外一点，连接DE、AE，若△ADE∽△CDB，则∠CDE的度数是（ ）
A．45°B．36°C．30°D．22.5°
3．（2025•龙岩二模）如图，在正方形网格中，△ABC与△DEF（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）
A．点RB．点OC．点PD．点Q
4．（2025•伊通县校级模拟）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点A对应的数是（ ）
A．10B．8C．6D．5
5．（2025•锡林郭勒盟三模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A．DFBF=EFCFB．DFCF=AECEC．ADAB=EFBFD．ADBD=DEBC
6．（2025•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A．AEEC=EFCDB．EGAB=EFCDC．CGBC=AFADD．AFFD=BGGC
7．（2025•路北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D为AB中点，分别以点A、点C为圆心，AC长为半径画弧，交于点E，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交于点F，连接DE，DF．则以下4个结论：①F，A，E三点共线；②四边形BDEC为平行四边形；③AC⊥DE；④S△ACE：S四边形BCEF＝1：6，正确的是（ ）
A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
8．（2025•岳塘区校级二模）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．5−1B．35−3C．65−6D．125−12
9．（2025•攀枝花）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（ ）
A．MN⊥BDB．MN＝2C．AB=43D．△BAD∽△COD
10．（2025•灌云县一模）如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（1，0），点A的坐标是（0，1），线段CD是由线段AB以点P为位似中心放大3倍得到的，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，4）C．（﹣3，3）D．（﹣3，4）
11．（2025•新乡二模）如图，AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC．
条件①：CD平分AB；
条件②：OB=3OA；
条件③：AD2＝AO•AB．
则所有可以添加的条件序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
12．（2025•南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．DHFH=CHBHB．GEDF=CGCBC．AFCE=HGCGD．FHAG=BFFA
二．填空题（共8小题）
13．（2025•东海县校级二模）如图，线段AB为圆O的直径，AB＝4，C为OB的中点，点P为圆O上的动点，连接CP，以CP为直角边向上作等腰Rt△CPD，使∠CPD＝90°，连接OD，则OD的最大值为 ．
14．（2025•浙江模拟）如图，已知直线AB∥CD∥EF，若DF＝2BD，AB＝3，CD＝5，则线段EF的长为 ．
15．（2025•光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为 cm．
16．（2025•临沧模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为 秒．
17．（2025•仁寿县一模）如图，在△ABC中，作DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，作DF∥AC交BC于点F，AD：DB＝2：5，BF＝10，则边DE的长为 ．
18．（2025•岳塘区校级二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将△ABC按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是 ．
19．（2025•泉山区校级模拟）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，点F在AC边上，DF交AB于E，若AE：BE＝3：2，DE：EF＝5：4，则AF：FC＝ ．
20．（2025•光明区校级模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，AB：BC＝1：2，如果EF＝10，那么DE的长为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•湖北模拟）【问题背景】如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，点M在AC上（不与点A重合），MN∥BC交AB于点N，E为BC的中点，连接ME并延长至点F，使EF＝EM，连接BF，将△AMN绕点A逆时针旋转，如图2，连接BN，探究在△AMN绕点A旋转的过程中，线段BN与BF的数量关系与位置关系．
【特例探究】
（1）①若∠BAC＝30°，则BNBF= ，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为 ；
②若∠BAC＝45°，则BNBF= ，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为 ；
【得出结论】
（2）如图2，若∠BAC＝α，则线段BN与BF之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示），BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为多少？证明你的结论；
【深入探究】
（3）如图3，若AC＝6，∠BAC＝45°，AM＝4，△AMN的旋转角为β（0°＜β＜180°），当点N到直线AB的距离为2时，求BN2的值．
22．（2025•珠海校级一模）在正方形ABCD中，AB＝4，点E是直线AB上的动点，连接CE．
（1）如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC；
（2）如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，求线段FG的最小值；
（3）如图3，当点E运动到线段AB的中点时，过点B作BH⊥CE于点F，交AD于点H，连接AC交BH于点M，求BMCE．
23．（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
24．（2025•黄冈校级模拟）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
（1）嘉嘉发现：当BD＝60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度．
（2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．
25．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
2026年中考数学常考考点专题之图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一．选择题（共12小题）
1．（2025•铜梁区校级一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．若△ABC与△DEF的周长之比为1：2，则OAOD的值为（ ）
A．1B．14C．13D．12
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的图形，△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△AOB∽△DOE，
∴OAOD=ABDE=12，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
2．（2025•庐阳区校级二模）如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，且AD＝AC，点E为△ABC外一点，连接DE、AE，若△ADE∽△CDB，则∠CDE的度数是（ ）
A．45°B．36°C．30°D．22.5°
【考点】相似三角形的性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据∠ACB＝90°，AC＝BC得出∠B＝∠CAB＝45°，再由AD＝AC得出∠ACD＝∠ADC=180°−∠CAB2=180°−45°2=67.5°，故可得出∠BCD＝90°﹣67.5°＝22.5°，再由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠BCD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，故可得出∠ADE的度数，再由∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC=180°−∠CAB2=180°−45°2=67.5°，
∴∠BCD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵△ADE∽△CDB，
∴∠DAE＝∠BCD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠E＝180°﹣22.5°﹣45°＝112.5°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝112.5°﹣67.5°＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，等腰直角三角形，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．
3．（2025•龙岩二模）如图，在正方形网格中，△ABC与△DEF（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）
A．点RB．点OC．点PD．点Q
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形，
∴如图：连接AD，BE，
则AD，BE相交于一点O，
∴这两个三角形的位似中心是点O．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换，
4．（2025•伊通县校级模拟）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点A对应的数是（ ）
A．10B．8C．6D．5
【考点】相似三角形的判定与性质；数轴．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】设点A对应的数是a，先证△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质即可求出a的值．
【解答】解：如图，设点A对应的数是a，
∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OAB，
∴OCOA=ODOB，
∴6a=35，
∴a＝10，即点A对应的数是10，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，数轴，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2025•锡林郭勒盟三模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A．DFBF=EFCFB．DFCF=AECEC．ADAB=EFBFD．ADBD=DEBC
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴DFCF=EFBF，
∴故A错误，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，
∴DFCF=DEBC，AEAC=DEBC，
∴DFCF=AEAC，故B错误，
∵DE∥BC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBCDEBC=EFBF，
∴ADAB=EFBF，故C正确；D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．（2025•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A．AEEC=EFCDB．EGAB=EFCDC．CGBC=AFADD．AFFD=BGGC
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】利用平行线分线段成比例定理，由EF∥AB得到AEAC=EFCD，则可对A选项进行判断；再由EG∥AB得到EGAB=CECA，则可对B选项进行判断；由EG∥AB得到CGCB=CECA，由EF∥AB得到AFAD=AEAC，则可对C选项进行判断；由EG∥AB得到BGCG=AECE，由EF∥AB得到AECE=AFFD，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴AEAC=EFCD，所以A选项错误；
∵EG∥AB，
∴EGAB=CECA，
∴EGAB≠EFCD，所以B选项错误；
∵EG∥AB，
∴CGCB=CECA，
∵EF∥AB，
∴AFAD=AEAC，
∴CGBC≠AFAD，所以C选项错误；
∵EG∥AB，
∴BGCG=AECE，
∵EF∥AB，
∴AECE=AFFD，
∴BGGC=AFFD，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
7．（2025•路北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D为AB中点，分别以点A、点C为圆心，AC长为半径画弧，交于点E，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交于点F，连接DE，DF．则以下4个结论：①F，A，E三点共线；②四边形BDEC为平行四边形；③AC⊥DE；④S△ACE：S四边形BCEF＝1：6，正确的是（ ）
A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；作图—基本作图．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】求解∠BAC＝90°﹣30°＝60°，证明AB＝2AC，证明△ACE，△ABF为等边三角形，可得F，A，E三点共线；可得①符合题意；
证明AD＝BD＝AC＝CE，AB∥CE，可得四边形BDEC为平行四边形；可得②符合题意；
证明AC⊥BC，可得AC⊥DE，可得③符合题意；
证明S四边形BDEC＝2S△ADE＝2S△ACE，S△ABC＝2S△ACE，△FBD≌△BAC，可得S△ABF＝2S△BDF＝2S△ABC，可得④不符合题意．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AB＝2AC，
由作图可得：AC＝AE＝CE，AB＝AF＝BF，
∴△ACE，△ABF为等边三角形，
∴∠CAE＝∠BAF＝60°＝∠BAC，
∴∠FAE＝3×60°＝180°，
∴F，A，E三点共线；故①符合题意；
∵D为AB中点，AB＝2AC，
∴AD＝BD＝AC＝CE，
∵∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE，
∴四边形BDEC为平行四边形；故②符合题意；
∴DE∥BC，
∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∴AC⊥DE，故③符合题意；
∵D为AB中点，CE∥AB，CE＝BD，
∴S四边形BDEC＝2S△ADE＝2S△ACE，S△ABC＝2S△ACE，
∵等边三角形ABF，
∴FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDF＝90°，
∵AB＝BF，BD＝AC，
∴△FBD≌△BAC，
∴S△ABF＝2S△BDF＝2S△ABC＝4S△ACE，
∴S四边形BFEC＝7S△ACE，
∴S△ACE：S四边形BCEF＝1：7，故④不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记以上基础图形的判定与性质是解本题的关键．
8．（2025•岳塘区校级二模）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．5−1B．35−3C．65−6D．125−12
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】利用黄金分割的定义来进行计算求解．
【解答】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为12cm，
∴AP=5−12AB=5−12×12=65−6(cm)．
AP的长度为（65−6）cm．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C是线段AB的黄金分割点是解答关键．
9．（2025•攀枝花）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（ ）
A．MN⊥BDB．MN＝2C．AB=43D．△BAD∽△COD
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定定理对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：连接MD，MB，如图，
∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴BM=12AC，
∵∠ADC＝90°，N为BD的中点，
∴DM＝CM=12AC，
∴DM＝BM，
∵N为BD的中点，
∴MN⊥BD．
故A选项正确，不符合题意；
∵DM＝CM=12AC，
∴∠DMC＝∠ACD＝15°，
∴∠AMD＝∠DMC+∠ACD＝30°，
∵OD＝OM，
∴∠ODM＝∠AMD＝30°，
∵AC＝8，
∴DM=12AC＝4，
∵MN⊥BD，
∴∠DNM＝90°，
∴MN=12DM＝2，
故B选项正确，不符合题意；
∵∠BDC＝∠ODM+∠ODC＝45°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵MA＝MD＝MC＝MB=12AC＝4，
∴点A，B，C，D四点在以点M为圆心，半径为4的圆上，
∴∠BCA＝∠BDA＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC=22AC＝42，
∴C选项错误，符合题意；
∵∠ABD＝∠ACD，∠ADB＝∠BDC＝45°，
∴△BAD∽△COD，
∴D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2025•灌云县一模）如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（1，0），点A的坐标是（0，1），线段CD是由线段AB以点P为位似中心放大3倍得到的，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，4）C．（﹣3，3）D．（﹣3，4）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质可得xP−xC=3(xP−xA)yC−yP=3(yA−yP)，据此可得xC=−2yC=3，即点C的坐标是（﹣2，3）．
【解答】解：∵线段CD是由线段AB以点P为位似中心放大3倍得到的，
∴xP−xC=3(xP−xA)yC−yP=3(yA−yP)，
∴1−xC=3(1−0)yC−0=3(1−0)，
∴xC=−2yC=3，
∴点C的坐标是（﹣2，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
11．（2025•新乡二模）如图，AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC．
条件①：CD平分AB；
条件②：OB=3OA；
条件③：AD2＝AO•AB．
则所有可以添加的条件序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质．
【专题】图形的全等；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】连接AC，OC，令AB，CD交于点E，由垂径定理可知，CE＝BE，∠AED＝∠BEC＝90°，则AC＝AD，若选条件①，可是 AE＝BE，证△AED≌△BEC（SAS），可得 AD＝BC，若选条件②，可知OB=3OC，得 cs∠COE=OCOB=33，设 OA＝OC＝r，则OB=3r，OE=OC⋅cs∠COE=33r，可得BE=233r，AE＝r+33r，则AE≠BE，可得AD≠BC，若选条件③，可知ACOA=ABAC，即可证△CAO∽△BAC，进而可证∠OAC＝∠B，得AC＝BC，可知AD＝BC，即可判断答案．
【解答】解：连接AC，OC，令AB，CD交于点E，
∵AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，
∴CE＝BE，∠AED＝∠BEC＝90°，
则AC＝AD，
若选条件①，
∵CD平分AB，
∴AE＝BE，
∴△AED≌△BEC（SAS），
∴AD＝BC，
故①符合题意；
若选条件②，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BC是⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∵OB=3OA，
则OB=3OC，得cs∠COE=OCOB=33，
设OA＝OC＝r，
则 OB=3r，OE=OC⋅cs∠COE=33r，BE＝OB﹣OE=3r−33r=233r，AE＝OA+OE＝r+33r，
则AE≠BE，
∴AC≠BC，即AD≠BC，
故②不符合题意；
若选条件③，
∵AD2＝AO•AB，即AC2＝AO•AB，ACOA=ABAC，
又∵∠CAO＝∠BAC，
∴△CAO∽△BAC，
∴∠B＝∠OCA，
又∵∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴AD＝BC，
故③符合题意；
综上，所有可以添加的条件序号是①③，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键．
12．（2025•南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．DHFH=CHBHB．GEDF=CGCBC．AFCE=HGCGD．FHAG=BFFA
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴DHFH=CHBH，
故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∽△CDH，
∴GEDH=CGCH，
∴EGCG=DHCH，
∵AB∥CD，
∴CHCB=DHDF，
∴DHCH=DFCB，
∴GECG=DFCB，
∴GEFD=CGCB，
故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
∴DECE=HGCG，
∴AFCE=HGCG，
故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴FHAG=BFFA，
故本选项符合题目要求．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•东海县校级二模）如图，线段AB为圆O的直径，AB＝4，C为OB的中点，点P为圆O上的动点，连接CP，以CP为直角边向上作等腰Rt△CPD，使∠CPD＝90°，连接OD，则OD的最大值为 1+22 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】1+22．
【分析】作等腰Rt△COH，且∠COH＝90°，连接CH，OP，可证明△DCH∽△PCO得到DHOP=CHOC=2，则DH=2OP=22，故点D在以H为圆心，半径为22的圆上运动，当点H在OD上时，OD有最大值，最大值为1+22．
【解答】解：如图，线段AB为圆O的直径，AB＝4，C为OB的中点，作等腰Rt△COH，且∠COH＝90°，连接CH，OP，
∴OC=12OB=14AB=1，
∴OC＝OH＝1，
在直角三角形COH中，由勾股定理得：CH=OC2+OH2=2OC=2，
∵以CP为直角边向上作等腰Rt△CPD，使∠CPD＝90°，
∴∠PCD=∠OCH=45°，CD=2PC，
∴∠PCO＝∠DCH＝45°﹣∠PCH，
又∵CHOC=CDPC=2，
∴△DCH∽△PCO，
∴DHOP=CHOC=2，
∴DH=2OP=22，
∴点D在以H为圆心，半径为22的圆上运动，
∴当点H在OD上时，OD有最大值，最大值为1+22，
故答案为：1+22．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14．（2025•浙江模拟）如图，已知直线AB∥CD∥EF，若DF＝2BD，AB＝3，CD＝5，则线段EF的长为 9 ．
【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】9
【分析】过点B作BN∥AE，交CD于点M，交EF于点N，则四边形ECMN和四边形ABMC都是平行四边形，△BMD和△BNF相似，进而得EN＝CM＝AB＝3，BDBF=MDNF，再根据DF＝2BD，CD＝5得BF＝3BD，MD＝CD﹣CM＝2，由此得NF＝6，然后根据EF＝EN+NF即可得出答案．
【解答】解：过点B作BN∥AE，交CD于点M，交EF于点N，如图所示：
∵AB∥CD∥EF，
∴四边形ECMN和四边形ABMC都是平行四边形，△BMD∽△BNF，
∴EN＝CM＝AB＝3，BDBF=MDNF，
∵DF＝2BD，CD＝5，
∴BF＝DF+BD＝3BD，MD＝CD﹣CM＝5﹣3＝2，
∴BD3BD=2NF，
∴NF＝6，
∴EF＝EN+NF＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．
15．（2025•光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为 15 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】15．
【分析】首先利用矩形性质可以证明△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，矩形护栏ABCD中，AB＝60cm，
∴AB∥CD，
∴△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，
∴AE：EC＝AH：GC＝1：4，
∴AF：CD＝AE：CE＝1：4，
∴AF=14CD＝15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用题目已知条件得出结论．
16．（2025•临沧模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为 3或4.8 秒．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】3或4.8．
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故答案为：3或4.8．
【点评】本题考查了方程的应用，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．
17．（2025•仁寿县一模）如图，在△ABC中，作DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，作DF∥AC交BC于点F，AD：DB＝2：5，BF＝10，则边DE的长为 4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】4．
【分析】由四边形DECF为平行四边形得出DE＝FC，再利用相似及条件建立等式ADAB=DEBC=27，通过等量代换进行求解即可．
【解答】解：在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE＝FC，
∵DE∥BC，AD：DB＝2：5，
∴ADAB=DEBC=27，
∴DEBF+DE=27，
∵BF＝10，
∴DE10+DE=27，
解得：DE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查相似三角形的性质，平行线段成比例，平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明出四边形DECF为平行四边形．
18．（2025•岳塘区校级二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将△ABC按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）．
【分析】利用位似图形的性质计算，得出答案．
【解答】解：由平面直角坐标系可知：点B的坐标为（2，1），
∵以原点O为位似中心，将△ABC按相似比2放大，
∴点B的对应点的坐标为（2×2，1×2）或（2×（﹣2），1×（﹣2）），即（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
19．（2025•泉山区校级模拟）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，点F在AC边上，DF交AB于E，若AE：BE＝3：2，DE：EF＝5：4，则AF：FC＝ 7：18 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】7：18．
【分析】过点E作EG∥AC交DC于点G，则△DEG∽△DFC，△BEG∽△BAC，从而有EG：FC＝5：9，EG：AC＝2：5，得FC=95EG，AC=52EG，即可求得结果．
【解答】解：在△ABC中，点D在CB的延长线上，点F在AC边上，DF交AB于E，过点E作EG∥AC交DC于点G，
则△DEG∽△DFC，△BEG∽△BAC，
∴EG：FC＝DE：DF＝5：9，BE：AB＝EG：AC＝2：5，
即FC=95EG，AC=52EG
∴AF=AC−FC=710EG，
∴AF：FC=710EG：95EG=7：18．
故答案为：7：18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造平行线得到相似三角形是解题的关键．
20．（2025•光明区校级模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，AB：BC＝1：2，如果EF＝10，那么DE的长为 5 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，即12=DE10，
解得：DE＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•湖北模拟）【问题背景】如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，点M在AC上（不与点A重合），MN∥BC交AB于点N，E为BC的中点，连接ME并延长至点F，使EF＝EM，连接BF，将△AMN绕点A逆时针旋转，如图2，连接BN，探究在△AMN绕点A旋转的过程中，线段BN与BF的数量关系与位置关系．
【特例探究】
（1）①若∠BAC＝30°，则BNBF= 32 ，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为 30° ；
②若∠BAC＝45°，则BNBF= 22 ，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为 45° ；
【得出结论】
（2）如图2，若∠BAC＝α，则线段BN与BF之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示），BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为多少？证明你的结论；
【深入探究】
（3）如图3，若AC＝6，∠BAC＝45°，AM＝4，△AMN的旋转角为β（0°＜β＜180°），当点N到直线AB的距离为2时，求BN2的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①32，30°；
②22，45°；
（2）BNBF=csα，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为α，证明见解析；
（3）BN2的值为26−122或26+122．
【分析】（1）①连接CM并延长交直线BN于点G，延长NB到点H，设AB交CG于点K，证明△ANB∽△AMC得到BNCM=ABAC=32，∠ABN＝∠ACM，进而得到∠BGK＝∠BAC＝30°，证明△MEC≌△FEB（SAS）得到BF＝CM，∠CME＝∠F，从而BNBF=32，BF∥CG，因此∠HBF＝∠BGC＝30°，即可解答；
②同①思路即可求解；
（2）同（1）①思路求解即可；
（3）分两种情况：①当0°＜β≤90°；②当90°＜β＜180°，运用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）①如图2，连接CM并延长交直线BN于点G，延长NB到点H，设AB交CG于点K，
∵∠MAN＝∠BAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵ANAM=ABAC=cs30°=32，
∴△ANB∽△AMC，
∴BNCM=ABAC=32，∠ABN＝∠ACM，
∵∠AKC＝∠BKG，
∴∠BGK＝∠BAC＝30°，
在△MEC和△FEB中，
ME=FE∠CEM=∠BEFEC=EB，
∴△MEC≌△FEB（SAS），
∴BF＝CM，∠CME＝∠F，
∴BNBF=32，BF∥CG，
∴∠HBF＝∠BGC＝30°，
即BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为30°，
故答案为：32，30°；
②当∠A＝45°时，同理可证BNBF=22，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为45°，
故答案为：22；45°；
（2）BNBF=csα，BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为α；
证明：如图3，连接CM并延长交直线BN于点G，延长NB到点H，设AB交CG于点K，
∵∠MAN＝∠BAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵ANAM=ABAC=csα，
∴△ANB∽△AMC，
∴BNCM=ABAC=csα，∠ABN=∠ACM，
∵∠AKC＝∠BKG，
∴∠BGK＝∠BAC＝α，
在△MEC和△FEB中，
ME=FE∠CEM=∠BEFEC=EB，
∴△MEC≌△FEB（SAS），
∴BF＝CM，∠CME＝∠F，
∴BNBF=BNCM=csα，BF∥CG，
∴∠HBF＝∠BGC＝α，
即BN与BF所在直线夹角（锐角）的度数为α；
（3）①当0°＜β≤90°时，如图4，过点N作NP⊥AM于点P，
∵△AMN，△ABC都是等腰直角三角形，AM＝4，AC＝6，
∴AN=MN=22，AB=BC=32，
∴NP=AN2=2，
∵点N到AB的距离为2，
∴AM与AB重合，
∴AP＝2，
∴BP=32−2，
∴BN2=NP2+BP2=22+(32−2)2=26−122；
②当90°＜β＜180°时，如图5，过点N作NP⊥AB交BA的延长线于点P，
∴NP∥BC，
∴∠PNA＝∠PAN＝45°，
∴点N在CA的延长线上，
∵N到AB的距离为2，
∴NP＝AP＝2，
∴BP=32+2，
∴BN2=NP2+BP2=22+(32+2)2=26+122．
综上所述，BN2的值为26−122或26+122．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查性质的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
22．（2025•珠海校级一模）在正方形ABCD中，AB＝4，点E是直线AB上的动点，连接CE．
（1）如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC；
（2）如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，求线段FG的最小值；
（3）如图3，当点E运动到线段AB的中点时，过点B作BH⊥CE于点F，交AD于点H，连接AC交BH于点M，求BMCE．
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题．
【答案】（1）在正方形ABCD中，DF⊥CE，
∴BC＝CD，∠B＝∠DFC＝90°，
∵∠ECB+∠DCF＝90°，∠ECB+∠CEB＝90°，
∴∠DCF＝∠CEB，
∴△CFD∽△EBC；
（2）25−2；
（3）BMCE=23．
【分析】（1）利用正方形的性质，结合相似三角形的判定即可证明；
（2）由题意可知点F的轨迹在以BC为直径的圆上，根据点与圆的位置关系，D到圆上点的距离最小值为D到圆心O的距离减去半径，即可求解；
（3）由题意易求△ABH≌△BCE，可得BH＝CE，AH＝BE＝2，再求得△AMH∽△CMB，可得HMBM=HABC=12，即可求得BMCE=BMBH=BMBM+HM=23．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，DF⊥CE，
∴BC＝CD，∠B＝∠DFC＝90°，
∵∠ECB+∠DCF＝90°，∠ECB+∠CEB＝90°，
∴∠DCF＝∠CEB，
∴△CFD∽△EBC；
（2）解：如图2，
∵BF⊥CE，
∴点F在以BC为直径的圆上，
设BC中点为O，则OC=12BC=2，
∵由△CFD沿CE翻折得到△CFG，
∴FG＝FD，
∴求FG最小值即求FD最小值，根据点与圆的位置关系，D到圆上点的距离最小值为D到圆心O的距离减去半径，
在Rt△OCD中，OC＝2，CD＝4，
由勾股定理得：OD=OC2+CD2=22+42=25，
∵圆半径OF＝2，
∴FD最小值为OD−OF=25−2，即线段FG的最小值为25−2．
（3）解：∵四方形ABCD是正方形，BH⊥CE于点F，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠CFB＝90°，
∴∠ABH+∠CBF＝90°，∠BCE+∠CBF＝90°，
∴∠ABH＝∠BCE，
在△ABH和△BCE中，
∠ABH=∠BCEAB=BC∠HAB=∠EBC，
∴△ABH≌△BCE（ASA），
∴BH＝CE，AH＝BE，
∵AB＝4，点E是线段AB的中点，
∴AH=BE=12AB=12×4=2，
∵AD∥BC，
∴△AMH∽△CMB，
∴HMBM=HABC=24=12，
∴BMBH=BMBM+HM=22+1=23，
又∵BH＝CE，
∴BMCE=23．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和相似三角形的性质和判定是解题的关键．
23．（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）画图见解答；点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）见解答．
【分析】（1）利用网格画图，即可得出答案．
（2）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
24．（2025•黄冈校级模拟）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
（1）嘉嘉发现：当BD＝60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度．
（2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．
【考点】相似三角形的应用；近似数和有效数字；生活中的平移现象．
【专题】图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】（1）42米（或43米）；
（2）46米．
【分析】（1）根据题意证明△CDQ∽△ABQ，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’
（2）设BD＝x m，依据题意得：QB＝（3+x）m，PB＝（26+x）m，证明△EFP∽△ABP，根据相似三角形的性质列出比例式得出AB=13+12x，进而证明△CDQ∽△ABQ，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，CD＝2m，QD＝3m，QB＝63m，
∴CD⊥PB，
∵AB⊥PB，
∴∠CDQ＝∠B＝90°，
∵∠CQD＝∠AQB，
∴△CDQ∽△ABQ，
∴CDAB=QDQB，
∴2AB=363，
解得：AB＝42m，
答：飞虹塔AB的高度是42米；
（2）设BD＝x m，依据题意得：QB＝（3+x）m，PB＝（26+x）m，
∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P，
∴△EFP∽△ABP，
∴EFAB=PFPB，
∵EF＝CD＝2m，PF＝4m，
∴2AB=426+x，
∴AB=13+12x，
∵△CDQ∽△ABQ，
∴CDAB=QDQB，
∴213+12x=33+x，
解得：x＝66，
经检验：x＝66是原方程的解，
∴AB＝46m，
答：飞虹塔的大致高度为46m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，近似数和有效数字，生活中的平移现象，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
25．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3.2厘米；（2）647厘米．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可；
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm，
∵AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA'B'=OAOA'．
∵AB∥A′B′，
∴△OAC∽△OA′D，
∴OAOA'=OCOD，
∴ABA'B'=OCOD，
∴8A'B'=3212.8，
∴A′B′＝3.2．
答：像A′B′的长度3.2厘米．
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，
∵A′E∥OD，MN∥A′B′，
∴四边形A′EOD为平行四边形，
∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D．
同理：四边形ACOP为平行四边形，
∴AP＝OC＝32cm，
∵AP∥CD，A′E∥OD，
∴AP∥A′E，
∴△APO∽△A′EO，
∴POOE=APA'E=3212.8=52，
∴POA'D=52．
∵MN∥A′B′，
∴△POF∽△A′DF，
∴POA'D=OFDF=52，
∴OF=57OD=647（厘米）．
答：凸透镜焦距OF的长为647厘米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
5．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
6．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
9．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
10．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
11．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
12．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
13．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
14．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5−12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：5−12．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5−12．
15．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
16．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
17．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
19．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
20．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
21．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
22．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
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跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图

测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝26米．（以上数据均为近似值）
题号
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答案
D
A
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A
C
D
B
C
C
A
B
题号
12
答案
D
主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图

测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝26米．（以上数据均为近似值）