2026年中考数学二轮复习常考考点专题-整式试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-整式试题（含答案），共32页。试卷主要包含了已知整式M等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•苍梧县一模）下列计算正确的是（ ）
A．a5+a2＝a3B．3a•5a＝15a2
C．2（a+2）＝2a+2D．（a+b）2＝a2+b2
2．（2025•东光县二模）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（ ）
A．（x•x）xB．xx+xC．（xx）2D．x•xx
3．（2025•哈尔滨校级四模）下列运算不一定正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．（﹣2x）2＝﹣4x2
C．（x2）3＝x6D．5x﹣2x＝3x
4．（2025•慈利县一模）一个长方形的面积为4a2﹣b2，长为2a+b，则长方形的宽为（ ）
A．a+bB．a+2bC．a﹣2bD．2a﹣b
5．（2025•沙坪坝区校级三模）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，W＝A+B，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且W≤4．例如，当n＝2，a1＝0时，整式M：a2x2+a0，则A＝a2+a0，B＝2，W＝a2+a0+2．下列说法：
①当n＝0时，满足条件的整式M共有4个；
②当W＝3时，满足条件的所有整式M的和为3x+4；
③满足条件的整式M共有13个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2025•岳麓区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣m3）2＝﹣m5B．3mn﹣m＝3n
C．（m﹣1）2＝m2﹣1D．m2n•m＝m3n
7．（2025•沈阳三模）如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
8．（2025•巴中）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a4•a2＝a8
C．2a（a﹣b）＝2a2﹣bD．（a+b）2＝a2+2ab+b2
9．（2025•云南校级模拟）按照一定规律排列的式子：x23，x45，x67，x89⋯⋯，第7个式子是（ ）
A．x1413B．x1415C．x1613D．x1615
10．（2025•徐州校级模拟）下列计算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m6B．m6÷m2＝m3
C．（﹣3m2）3＝﹣9m6D．2m3•m4＝2m7
11．（2025•新宾县校级模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+b＝3abB．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a4
C．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2bD．﹣2（x﹣4）＝﹣2x﹣8
12．（2025•博山区一模）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．（﹣3a3）3＝﹣9a9
B．2a2•a3＝2a5
C．（3a+b）2＝9a2+b2
D．（2a+b）（﹣2a+b）＝4a2﹣b2
二．填空题（共8小题）
13．（2025•琼中县一模）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝100，已知BG＝14，则图中阴影部分面积为 ．
14．（2025•双流区模拟）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，则这两个正方形的边长之和为 cm．
15．（2025•东港区校级三模）对于正整数n，定义F(n)=n2，n＜10f(n)，n≥10，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝|12﹣32|＝8．规定F1（n）＝F（n），Fk+1（n）＝F（Fk（n））（k为正整数），例如，F1（123）＝F（123）＝8，F2（123）＝F（F1（123））＝F（8）＝64．按此定义，则F2025（3）＝ ．
16．（2025•武安市二模）如图1，边长为a+b的大正方形内有两个边长分别为a，b的小正方形（a＞b），此时阴影部分的面积为12．将图1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为a，b的两个小正方形按图2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则ab＝ ．
17．（2025•武城县二模）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣1）2﹣a（1﹣b）的值为 ．
18．（2025•库车市校级模拟）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为16，求m的值 ．
19．（2025•长汀县模拟）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 ．
20．（2025•路南区校级三模）有一个数学游戏，如图，A、B、C均为含x的整式，且x的系数均为正整数．若“↔”上是两个对应整式相乘的结果，则“？”处应填 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•涿州市校级三模）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（a＞b）．
（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为 ，还可以用两边的乘积表示为 ，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式 ；
（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为90cm2，每个丙种矩形纸板的面积为18cm2，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．
22．（2025•宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
23．（2025•福州模拟）已知整数a，b，m，n满足a﹣b＝mn．
（1）求证：a2﹣b2﹣2mnb为非负数；
（2）若m，n为两个连续的正整数，且m＜n，c=a−m−b+a+n−b，求证：c一定是奇数．
24．（2025•惠州模拟）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120202)×(1−120212)．
25．（2025•武强县校级模拟）现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为S1，S2．
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2；
（2）当a＝3时，求S1+S2的值．
2026年中考数学常考考点专题之整式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一．选择题（共12小题）
1．（2025•苍梧县一模）下列计算正确的是（ ）
A．a5+a2＝a3B．3a•5a＝15a2
C．2（a+2）＝2a+2D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；单项式乘单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式可以得到正确答案．
【解答】解：根据合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式逐项分析判断如下：
A．a5，a2不能合并，故 A 不符合题意；
B．3a•5a＝15a2，故 B 符合题意；
C．2（a+2）＝2a+4，故C不符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故 D 不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式，熟练使用这些公式是解题的关键．
2．（2025•东光县二模）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（ ）
A．（x•x）xB．xx+xC．（xx）2D．x•xx
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方法则，逐个计算得结论．
【解答】解：∵（x•x）x＝x2x，xx+x＝x2x，（xx）2＝x2x，x•xx＝xx+1，
∴计算结果和其他三个不同的式子是x•xx．
故选：D．
【点评】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方法则是解决本题的关键．
3．（2025•哈尔滨校级四模）下列运算不一定正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．（﹣2x）2＝﹣4x2
C．（x2）3＝x6D．5x﹣2x＝3x
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及合并同类项法则，逐项运算得结论．
【解答】解：x2•x3＝x5，故选项A运算正确；
（﹣2x）2＝（﹣2）2•x2＝4x2≠﹣4x2，故选项B运算错误；
（x2）3＝x6，故选项C运算正确；
5x﹣2x＝3x，故选项D运算正确；
综上，运算不正确的是B．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及合并同类项法则是解决本题的关键．
4．（2025•慈利县一模）一个长方形的面积为4a2﹣b2，长为2a+b，则长方形的宽为（ ）
A．a+bB．a+2bC．a﹣2bD．2a﹣b
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意列式，再把列出的分式进行约分即可求出结果．
【解答】解：由题意得：4a2−b22a+b=(2a−b)(2a+b)2a+b=2a−b，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练运用因式分解，正确找出公因式是解决问题的关键．
5．（2025•沙坪坝区校级三模）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，W＝A+B，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且W≤4．例如，当n＝2，a1＝0时，整式M：a2x2+a0，则A＝a2+a0，B＝2，W＝a2+a0+2．下列说法：
①当n＝0时，满足条件的整式M共有4个；
②当W＝3时，满足条件的所有整式M的和为3x+4；
③满足条件的整式M共有13个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】整式的加减；规律型：数字的变化类．
【专题】特定专题；整式；能力层次；运算能力．
【答案】B
【分析】本题侧重对题干中整式M、A、B、W定义的理解，同时需结合题干中的相关取值范围进行分类讨论，从而解出题目．
【解答】解：由题意可知：当n＝0时，整式M：a0，则A＝a0，B＝0，W＝a0+0＝a0．
又∵W≤4且W为正整数，∴M：a0＝1或2或3或4，∴说法①正确；
当W＝3时，即A+B＝3，且由题意可知A为正整数、B为自然数，
∴当A＝3，B＝0时，则n＝0，M＝a0，A＝a0＝3，故M＝3；
当A＝2，B＝1时，则n＝1，M＝a1x+a0，A＝a1+a0＝2，
当a1＝2、a0＝0时，M＝2x；
a1＝1、a0＝1时，M＝x+1；
当A＝1，B＝2时，则n＝2，a1＝0，M＝a2x2+a0，A＝a2+a0＝1，则a2＝1、a0＝0，M＝x2；
故当W＝3时，满足条件的所有整式M的和为3+2x+（x+1）+x2＝x2+3x+4，∴说法②错误；
由题干中W≤4可得：A+B＝4或A+B＝3或A+B＝2或A+B＝1，
当A+B＝4时，A＝4，B＝0，则n＝0，M＝a0＝A＝4，共1种；
A＝3，B＝1，则n＝1，M＝a1x+a0，A＝a1+a0＝3，则a1＝3、a0＝0，或a1＝2、a0＝1，或a1＝1、a0＝2，则M为3x或2x+1或x+2，共3种；
A＝2，B＝2，则n＝2，a1＝0，M＝a2x2+a0，A＝a2+a0＝2，则a1＝2、a0＝0或a1＝1、a0＝1，则M为2x2或x2+1，共2种；
A＝1，B＝3时，可分为：
n＝2时，M＝a2x2+a1x+a0，A＝a2+a1+a0＝1，无解；
n＝3时，a2＝0，a1＝0，M＝a3x3+a0，A＝a3+a0＝1，则a3＝1、a0＝0，此时M为x3，共1种；
当A+B＝3时，由说法②可得满足条件的所有整式M共4种；
当A+B＝2时，
A＝2，B＝0，则n＝0，M＝a0＝A＝2，共1种；
A＝1，B＝1，则n＝1，M＝a1x+a0，A＝a1+a0＝1，则a1＝1，a0＝0，M＝x，共1种；
当A+B＝1时，A＝1，B＝0，则n＝0，M＝a0＝A＝1，共1种；
∴满足条件的整式M共有14种，说法③错误；
综上，只有说法①正确，正确的个数是1个，
故选：B．
【点评】本题综合考查了整式与一定的分类讨论能力，具备一定的创新性和思维深度．
6．（2025•岳麓区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣m3）2＝﹣m5B．3mn﹣m＝3n
C．（m﹣1）2＝m2﹣1D．m2n•m＝m3n
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的应用，合并同类项的方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵（﹣m3）2＝m6，
∴选项A不符合题意；
∵3mn﹣m≠3n，
∴选项B不符合题意；
∵（m﹣1）2＝m2﹣2m+1，
∴选项C不符合题意；
∵m2n•m＝m3n，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，合并同类项的方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；（3）①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
7．（2025•沈阳三模）如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【考点】平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．
【解答】解：总体大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
4个长方形的面积为4ab，
根据各个部分面积之间的关系可得，
（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键．
8．（2025•巴中）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a4•a2＝a8
C．2a（a﹣b）＝2a2﹣bD．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】整式的乘除法法则进行逐项分析计算即可．
【解答】解：A、原式＝a6，故本选项不符合题意，
B、原式＝a6，故本选项不符合题意，
C、原式＝2a2﹣2ab，故本选项不符合题意，
D、原式＝a2+2ab+b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．
9．（2025•云南校级模拟）按照一定规律排列的式子：x23，x45，x67，x89⋯⋯，第7个式子是（ ）
A．x1413B．x1415C．x1613D．x1615
【考点】单项式．
【专题】整式；数感．
【答案】B
【分析】由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解．
【解答】解：按照一定规律排列的式子：x23，x45，x67，x89⋯⋯x2n2n+1，第7个式子是x1415，
故选：B．
【点评】本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数．
10．（2025•徐州校级模拟）下列计算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m6B．m6÷m2＝m3
C．（﹣3m2）3＝﹣9m6D．2m3•m4＝2m7
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据关于幂的运算法则计算出正确结果，再判断正误即可．
【解答】解：m3和m2不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可得：m6÷m2＝m6﹣2＝m4，故B错误，不符合题意；
根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，可得：（﹣3m2）3＝（﹣3）3×（m2）3＝﹣27m6，故C选项错误，不符合题意；
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：2m3•m4＝2m3+4＝2m7，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了关于幂的运算法则，解决本题的关键是掌握幂的运算法则计算出正确结果．
11．（2025•新宾县校级模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+b＝3abB．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a4
C．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2bD．﹣2（x﹣4）＝﹣2x﹣8
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝﹣5a2，不符合题意；
C、原式＝﹣a2b，符合题意；
D、原式＝﹣2x+8，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2025•博山区一模）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．（﹣3a3）3＝﹣9a9
B．2a2•a3＝2a5
C．（3a+b）2＝9a2+b2
D．（2a+b）（﹣2a+b）＝4a2﹣b2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式和平方差公式逐项分析判断即可．
【解答】解：（﹣3a3）3＝﹣27a9，故选项A错误，不符合题意；
2a2•a3＝2a5，故选项B正确，符合题意；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
（2a+b）（﹣2a+b）＝b2﹣4a2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•琼中县一模）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝100，已知BG＝14，则图中阴影部分面积为 24 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】24．
【分析】设BC＝a，CG＝b，依题意得S阴影＝1/2ab，S1+S2＝a2+b2＝100，a+b＝14，进而得（a+b）2＝142，由此得ab＝48，据此即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴正方形ABCD的面积S1＝a2，正方形CEFG的面积S2＝b2，S阴影=12ab，
∵S1+S2＝100，
∴a2+b2＝100，
又∵BG＝14，
∴a+b＝14，
∴（a+b）2＝142，
∴a2+2ab+b2＝196，
∴2ab＝196﹣100＝96，
∴ab＝48，
∴12ab＝24，
∴阴影部分的面积为24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了正方形的面积，完全平方公式，熟练掌握正方形的面积，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
14．（2025•双流区模拟）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，则这两个正方形的边长之和为 40 cm．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】40．
【分析】设正方形Ⅰ的边长为a cm，正方形Ⅱ的边长为b cm，根据题意可得：4a﹣4b＝96，a2﹣b2＝960，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设正方形Ⅰ的边长为a cm，正方形Ⅱ的边长为b cm，
由题意得：4a﹣4b＝96，a2﹣b2＝960，
∴a﹣b＝24，（a+b）（a﹣b）＝960，
解得：a+b＝40，
∴这两个正方形的边长之和为40cm，
故答案为：40．
【点评】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2025•东港区校级三模）对于正整数n，定义F(n)=n2，n＜10f(n)，n≥10，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝|12﹣32|＝8．规定F1（n）＝F（n），Fk+1（n）＝F（Fk（n））（k为正整数），例如，F1（123）＝F（123）＝8，F2（123）＝F（F1（123））＝F（8）＝64．按此定义，则F2025（3）＝ 45 ．
【考点】平方差公式；绝对值；规律型：数字的变化类．
【专题】整式；运算能力．
【答案】45．
【分析】分别计算F1（3）、F2（3）、F3（3）、F4（3）、F5（3）、F6（3），发现规律为每5次是一组循环即可求解．
【解答】解：由题意得，F1(3)=32=9，
∴F2(3)=F(F1(3))=F(9)=92=81，
F3(3)=F(F2(3))=F(81)=|82−12|=63，
F4(3)=F(F3(3))=F(63)=|62−32|=27，
F5(3)=F(F4(3))=F(27)=|22−72|=45，
F6(3)=F(F5(3))=F(45)=|42−52|=9，
……，
∴可知每5次9，81，63，27，45是一组循环，
∵2025÷5＝401，
∴F2025（3）＝F5（3）＝45，
故答案为：45．
【点评】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
16．（2025•武安市二模）如图1，边长为a+b的大正方形内有两个边长分别为a，b的小正方形（a＞b），此时阴影部分的面积为12．将图1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为a，b的两个小正方形按图2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则ab＝ 9 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】9．
【分析】数形结合得到ab=6a+b=5a＞b，求解即可得到a=3b=2，代入代数式求解即可得到答案．
【解答】解：由题图﹣1可知（a+b）2﹣（a2+b2）＝12，
∴ab＝6，
由条件可知题图﹣2中，边长分别为a，b的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则（a+b﹣1）2﹣（a2+b2）+1＝4，
∴2ab﹣2（a+b）＝2，
∵ab＝6，
∴a+b＝5，
综上所述，ab=6a+b=5a＞b，
解得a=3b=2，
∴ab＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合是解决问题的关键．
17．（2025•武城县二模）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣1）2﹣a（1﹣b）的值为 1 ．
【考点】整式的混合运算—化简求值；根与系数的关系．
【专题】整式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数之间的关系，得到a2﹣3a＝2，ab＝﹣2，然后将所求式子化简，再将a2﹣3a＝2，ab＝﹣2整体代入计算即可．
【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴ab＝﹣2，a2﹣3a＝2，
∴（a﹣1）2﹣a（1﹣b）
＝a2﹣2a+1﹣a+ab
＝a2﹣3a+1+ab
＝2+1﹣2
＝3﹣2
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查根与系数之间的关系、整式的化简求值，熟练掌握运算法则和两根之积等于ca是解答本题的关键，
18．（2025•库车市校级模拟）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为16，求m的值 6 ．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】6．
【分析】用两种方法表示图形面积，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：
（m+4）2＝m2+4×16，
m2+8m+16＝m2+64，
8m＝48，
m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据图形面积的两种表示方法列出等式是解题的关键．
19．（2025•长汀县模拟）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 16 ．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】16．
【分析】根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“H”的个数．
【解答】解：由图可得，
甲烷分子结构式中“H”的个数是2+2×1＝4；
乙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×2＝6；
丙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×3＝8；
…，
∴第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是：2+2×7＝16；
故答案为：16．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，发现“H”的个数的变化特点．
20．（2025•路南区校级三模）有一个数学游戏，如图，A、B、C均为含x的整式，且x的系数均为正整数．若“↔”上是两个对应整式相乘的结果，则“？”处应填 x2+2x ．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】x2+2x．
【分析】因为AB＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），BC＝x2﹣2x＝x（x﹣2），求出B＝x﹣2，A＝x+2，C＝x，？＝x（x+2）＝x2+2x，代入计算即可．
【解答】解：因为AB＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
BC＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
因为A、B、C均为含x的整式，且x的系数均为正整数，
所以B＝x﹣2，A＝x+2，C＝x，
AC＝x（x+2）＝x2+2x．
故答案为：x2+2x．
【点评】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式，解决本题的关键是将题中的式子进行因式分解．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•涿州市校级三模）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（a＞b）．
（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为 2a2+2b2+5ab ，还可以用两边的乘积表示为 （a+2b）（2a+b） ，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式 （a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab ；
（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为90cm2，每个丙种矩形纸板的面积为18cm2，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式．
【专题】整式．
【答案】（1）2a2+2b2+5ab，（a+2b）（2a+b），2a2+2b2+5ab＝（a+2b）（2a+b）．
（2）54cm．
【分析】（1）矩形纸板的面积可以用2个大正方形、2个小正方形和5个矩形的面积的和表示，也可以利用矩形的面积公式直接表示，所以得到多项式乘法（a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab；
（2）由于2a2+2b2＝90，ab＝18，所以a2+b2＝45，2ab＝36，两式相加得到（a+b）2＝81，则a+b＝9，而所有裁剪线（虚线）的长度之和为6（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为2a2+2b2+5ab，还可以用两边的乘积表示为（a+2b）（2a+b），
所以利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab；
故答案为：2a2+2b2+5ab，（a+2b）（2a+b），2a2+2b2+5ab＝（a+2b）（2a+b）；
（2）根据题意可得：2a2+2b2＝90，ab＝18，
∴a2+b2＝45，2ab＝36，
∴a2+b2+2ab＝45+36＝81，
∴（a+b）2＝81，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝9，
∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为6（a+b）＝6×9＝54（cm）．
【点评】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题．
22．（2025•宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ 不是 ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 b﹣c＝a ；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【考点】整式的加减．
【专题】整式；应用意识．
【答案】不是；
（1）b﹣c＝a．
（2）能被11整除；
设一个“极差数”为abc（a、b、c为正整数），
所以b﹣c＝a，b＝a+c，
所以abc=100a+10b+c
＝100a+10（a+c）+c
＝100a+10a+10c+c
＝110a+11c
＝11（10a+c），
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
【分析】若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为abc（a、b、c为正整数），b﹣c＝a，b＝a+c，abc=100a+10b+c＝11（10a+c），因为11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．
【解答】解：6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
故答案为：不是．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：b﹣c＝a．
故答案为：b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为abc（a、b、c为正整数），
所以b﹣c＝a，b＝a+c，
所以abc=100a+10b+c
＝100a+10（a+c）+c
＝100a+10a+10c+c
＝110a+11c
＝11（10a+c），
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
即任意一个“极差数”都能被11整除．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答．
23．（2025•福州模拟）已知整数a，b，m，n满足a﹣b＝mn．
（1）求证：a2﹣b2﹣2mnb为非负数；
（2）若m，n为两个连续的正整数，且m＜n，c=a−m−b+a+n−b，求证：c一定是奇数．
【考点】整式的混合运算；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a2﹣b2﹣2mnb为非负数；
（2）c一定是奇数．
【分析】（1）因为a﹣b＝mn，所以a＝b+mn，将这个式子代入到a2﹣b2﹣2mnb中，可得原式＝（mn）2，据此证明以a2﹣b2﹣2mnb为非负数；
（2）因为m，n为两个连续的正整数，且m＜n，所以n﹣1＝m，m+1＝n，以c=a−m−b+a+n−b=m2+n2=m+n，因为m，n为两个连续的正整数，所以m+n是奇数，据此得证．
【解答】解：（1）因为a﹣b＝mn，
所以a＝b+mn，
a2﹣b2﹣2mnb
＝（b+mn）2﹣b2﹣2mnb
＝b2+2mnb+m2n2﹣b2﹣2mnb
＝m2n2
＝（mn）2，
因为（mn）2≥0，
所以a2﹣b2﹣2mnb≥0，
所以a2﹣b2﹣2mnb为非负数．
（2）因为a﹣b＝mn，
且m，n为两个连续的正整数，且m＜n，
所以n﹣1＝m，m+1＝n，
所以c=a−m−b+a+n−b
=mn−m+mn+n
=m(n−1)+n(m+1)
=m2+n2
＝m+n，
因为m，n为两个连续的正整数，
所以m+n是奇数，
所以c一定是奇数．
【点评】本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简．
24．（2025•惠州模拟）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120202)×(1−120212)．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①7；②10112021．
【分析】（1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
【解答】解：（1）图1剩余部分的面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1−122）×（1−132）×（1−142）×…×（1−120202）×（1−120212）
＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1+14）×…×（1−12020）（1+12020）（1−12021）（1+12021）
=12×32×23×43×34×54×⋯×20192020×20212020×20202021×20222021
=12×20222021
=10112021．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
25．（2025•武强县校级模拟）现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为S1，S2．
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2；
（2）当a＝3时，求S1+S2的值．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】数形结合；整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图示运用长方形面积公式进行列式、计算；
（2）将a＝3代入S1+S2中后，再进行计算、求解．
【解答】解：（1）由题意得，
S1＝（a+a）（a+1）
＝2a（a+1）
＝2a2+2a，
S2＝a（a+4）＝a2+4a，
即S1＝2a2+2a，S2＝a2+4a；
（2）由（1）题可得，
S1+S2＝2a2+2a+a2+4a
＝3a2+6a，
当a＝3时，
S1+S2＝3×32+6×3
＝3×9+18
＝27+18
＝45．
【点评】此题考查了整式混合运算的应用能力，关键是能准确根据题意进行列式、计算．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
6．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
7．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
8．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
9．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
10．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
11．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
12．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
13．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
14．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
15．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
16．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
17．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
18．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
19．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
20．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
21．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
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