2025-2026学年河南省郑州二十一中八年级（下）开学数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年河南省郑州二十一中八年级（下）开学数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.三边长分别为2、3、4的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A. 勾股定理的逆定理B. 勾股定理
C. 直角三角形两锐角互余D. 以上都不对
3.祖冲之是把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（ ）
A. 8，2B. 2，8C. 12，12D. 12，8
4.如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米.以OB所在的水平线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,点M的坐标为（8，1.5），则点A的坐标为（ ）
A. （0，1.5）B. （0，3）C. （0，4.5）D. （0，6）
5.下列命题中，假命题的个数有（ ）
（1）相等的角是对顶角
（2）如果a∥b,a∥c,那么b∥c
（3）同旁内角互补
（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（5）立方根等于它本身的数其算术平方根也等于它本身
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示.下列选项错误的是（ ）
A. 二楼离地面的高度为6米
B. 乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒
C. 当下行10s,乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米
D. 乙先到达一楼地面
7.若m=6n（m、n是正整数），且，则与实数的最大值最接近的数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.学校组织七年级362名同学去东钱湖研学.现已预备了大客车和中巴车共10辆，其中大客车每辆可坐55人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满.若设预备了大客车x辆，中巴车y辆，依题意列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图是一块长方体木块，长BC=5cm,宽CD=4cm,高DD1=5cm,棱DD1上的点P处有一滴蜂蜜，DP=3cm,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（ ）
A.
B.
C.
D. 10cm
10.如图，在边长是4的菱形ABCD中，∠B=120°，点P从B出发，沿折线BC→CD→DA运动，设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
​
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是______.
12.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点.若，则正方形ABCD的边长为 .
13.若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为 .
14.A，B两地相距14千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系.则乙出发 小时后，两人相距2千米.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=52°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得到△FDE，且满足EF∥AB，则∠EDF= .
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算；
（2）解方程组：.
17.(本小题10分)
为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（1）班、八（2）班各5名同学进行测试，其有效次数分别为：八（1）班：7，10，8，10，10；八（2）班：9，9，8，9，10．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c，d的值．
（2）请从众数和方差两个方面对八（1）、八（2）两班男生引体向上的成绩作出评价．
（3）如果男生引体向上有效次数10次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这10名同学的成绩为样本，估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数．
18.(本小题10分)
如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△DEF；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线MN上找一点P，使PB+PC的长最短.
19.(本小题10分)
综合与实践
数学活动课上，小明用尺规作图法探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【动手操作】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，小明同学设计如下作图步骤：作AC的垂直平分线交AB与点D，垂足为点E，连接CD.
（1）请根据小明同学设计的步骤在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）.
【证明结论】（2）证明；CD=AB；
【拓展应用】（3）若Rt△ABC的周长为24，∠C=90°，AC=8，求AB边上的中线长.
20.(本小题10分)
【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°.当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形.
（1）①如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段DE，使AD⊥DE，BE⊥DE，则CD与BE的数量关系是______ .
②如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段CE，使BE⊥CE，过点A作AD⊥CE于点D，若AD=2.5，DE=1.6，则BE的长为______ .
【变式运用】
（2）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDA=90°，CD=2，求△BDC的面积.
【拓展迁移】
（3）如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=15，以AC为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，请直接写出△BCD的面积.
21.(本小题10分)
2024年成都国际汽车展览会上的多款新能源汽车受到人们的喜爱，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行尝试销售.据了解，2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计70万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元.
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划用400万元且刚好用完，购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元.问：若购进A种型号的汽车a辆，求本次销售两种型号的汽车获得的总利润w（万元）与a（辆）之间的函数关系式.
22.(本小题15分)
一次函数y1=ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．
（1）若一次函数y1=ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；
（2）若有另一个一次函数y2=bx+a．
①点A（m,p）和点B（n,p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n=2；
②设函数y=y1-y2，当-2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】4
12.【答案】
13.【答案】5°，5°或132.5°，47.5°
14.【答案】1
15.【答案】71°
16.【答案】4
17.【答案】解：（1）八（1）班的测试数据中，10的次数最多，因此甲的众数是10，b=10，
八（2）班的平均数a=×（9+9+8+9+10）=9，
将八（2）班的测试数据从小到大排列为8，9，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c=9，
八（1）班的方差d=[（7-9）2+（8-9）2+3×（10-9）2]=1.6；
∴a=9，b=10，c=9，d=1.6；
（2）八（1）班的方差大于八（2）班的方差，因此八（2）班比较稳定，
八（1）班的众数大于八（2）班的众数，因此八（2）班成绩达到满分的人数较多；
（3）300×=120（人）．
答：估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数为120人．
18.【答案】与△ABC关于直线MN成轴对称的△DEF，如图1即为所求； 3 使PB+PC的长最短的点P，如图2即为所求．

19.【答案】画图见解答 证明见解答 AB边上的中线长为5
20.【答案】CD=BE;0.9 （2）2 （3）9或12或24
21.【答案】解：（1）设A种型号的汽车每辆进价x万元，B种型号的汽车每辆进价y万元，
由题意可得：，
解得，
答：A种型号的汽车每辆进价25万元，B种型号的汽车每辆进价20万元；
（2）由题意可得，
w=0.8a+0.6×=0.05a+12，
即本次销售两种型号的汽车获得的总利润w（万元）与a（辆）之间的函数关系式是w=0.05a+12．
22.【答案】（1）解：∵一次函数y1=ax+b经过点（1，0）和点（2，3），
∴a+b=0，2a+b=3，解得：a=3，b=-3，
∴y1的表达式为：y1=3x-3；
（2）①证明：∵一次函数y1=ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），
∴a+b=0，
∴b=-a,
∴y1的表达式为：y1=ax-a,
∵y2=bx+a,
∴y2=-ax+a,
∵点A（m,p）在一次函数y1=ax-a的图象上，
∴p=ma-a,
∵点B（n,p）在一次函数y2=-ax+a的图象上，
∴p=-na+a,
∴ma-a=-na+a,
即ma+na=2a,
∵a≠0，
∴m+n=2；
②解：由①得y1=ax-a,y2=-ax+a,
∵y=y1-y2，
∴y=（ax-a）-（-ax+a）=2ax-2a,
∵a≠0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a＜0时，
对于y=2ax-2a,y随x的增大而减小，
又∵-2≤x≤4，
∴当x=-2时，y为最大，
∴2a×（-2）-2a=6，
解得：a=-1
（ⅱ）当a＞0时，
对于y=2ax-2a,y随x的增大而增大，
又∵-2≤x≤4，
∴当x=4时，y为最大，
∴2a×4-2a=6，
解得：a=1，
综上所述：当-2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为-1或1． 数字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
频数
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14
组别
平均数
众数
中位数
方差
八（1）班
9
b
9
d
八（2）班
a
9
c
0.4